FORMLER TFY4104 2024

FORMLER TFY4104 2024

Fete symboler angir vektorer. Symboler med hatt over angir enhetsvektorer. Formlenes gyldighetsområde og de ulike symbolenes betydning antas forøvrig å være kjent. Symbolbruk og betegnelser som i forelesningene.

MEKANIKK

• Newtons andre lov: F = dp/dt  p = mv = mṙ
• Konstant akselerasjon: v = v_{0} + at  x = x_{0} + v_{0}t + \frac{1}{2}at^{2}
• Konstant vinkelakselerasjon: ω = ω_{0} + αt  θ = θ_{0} + ω_{0}t + \frac{1}{2}αt^{2}
• Arbeid: dW = F · dr  Kinetisk energi: K = \frac{1}{2}mv^{2}  Effekt: P = \frac{dW}{dt} = F · v

• Konservativ kraft og potensiell energi: U(r) = − ∫\begin{matrix}r \\ r & 0 \end{matrix} F · dr  F = −∇U(r)
• Friksjon,  statisk: f ≤ μ_{s}N  kinetisk: f = μ_{k}N
• Luftmotstand (liten v): f = −kv  Luftmotstand (stor v): f = −Dv^{2}v̂
• Tyngdepunkt: R^{CM} = \frac{1}{M} ∑_{i} r^{i}m^{i} → \frac{1}{M} ∫ r · dm
• Sirkelbevegelse: v = rω Sentripetalakselerasjon: a = v^{2}/r Baneakselerasjon: a = dv/dt = r dω/dt
• Dreiemoment: τ = r × F  Statisk likevekt: ΣF_{i} = 0 Στ_{i} = 0
• Dreieimpuls: L = r × p  N2 rotasjon: τ = dL/dt
• Stivt legeme, refleksjonssymmetri mhp rotasjonsaksen: L = L_{b} + L_{s} = R_{CM} × MV + I_{0}ω
• Kinetisk energi, stivt legeme: K = \frac{1}{2}MV^{2} + \frac{1}{2}I_{0}ω^{2}

• Treghetsmoment: I = ∑_{i} m^{i}r_{i}^{2} → ∫ r^{2}dm
Kompakt sylinder (skive): I_{0} = \frac{1}{2}MR^{2}  Kompakt kule: I_{0} = \frac{2}{5}MR^{2}  Kuleskall: I_{0} = \frac{2}{3}MR^{2}

Tynn stang: I_{0} = \frac{1}{12}ML^{2}

• Stivt legeme, rotasjon om fast akse: K = \frac{1}{2}Iω^{2}
• N2 rotasjon, akse med fast orientering: τ = I \frac{dω}{dt}

FORMLER TFY4104 2024

• Steiners sats (parallellakseteoremet): I = I_{0} + Md^{2}
• Gravitasjon: F = −\frac{GMm}{r^{2}} r̂ U(r) = −\frac{GMm}{r} g = F /m
• Enkel harmonisk oscillator: ẍ + ω_{0}^{2}x = 0 T = 2π/ω_{0} f = 1/T = ω_{0}/2π

Masse i fjær: ω_{0} = \sqrt{k/m} Matematisk pendel: ω_{0} = \sqrt{g/L}

Fysisk pendel: ω_{0} = \sqrt{mgd/I} Torsjonspendel: ω_{0} = \sqrt{κ/I_{0}}

• Fri, dempet svingning, langsom bevegelse i fluid:  mẍ + bẋ + kx = 0
⇒ ẍ + 2γẋ + ω_{0}^{2}x = 0  ω_{0}^{2} = k/m  γ = b/2m
Underkritisk demping (γ < ω_{0})  x(t) = Ae^{−γt} sin(ωt + ϕ)  ω = \sqrt{ω_{0}^{2} − γ^{2}}
Overkritisk demping (γ > ω_{0})  x(t) = Ae^{−α_{1}t} + Be^{−α_{2}t}  α_{1,2} = γ ± \sqrt{γ^{2} − ω_{0}^{2}}

Kritisk demping (γ = ω_{0}) x(t) = Ae^{−γt} + Bte^{−γt}

• Tvungen svingning, harmonisk ytre kraft:  mẍ + bẋ + kx = F_{0} cos ωt

(partikulær-)løsning: x(t) = A(ω) sin(ωt + ϕ(ω))

amplitude: A(ω) = \frac{F_{0}/m}{\sqrt{(ω^{2} − ω_{0}^{2})^{2} + (2γω)^{2}}}

halvverdibredde:  Δω ≃ 2γ  Q-faktor:  Q = ω_{0}/Δω

ELEKTRISITET OG MAGNETISME Elektrostatikk

• Coulombs lov:

F = \frac{qq_{0}}{4πε_{0}r^{2}} r̂

• Elektrisk felt og potensial:

E = F /q_{0}  E = −∇V  ΔV = ΔU/q_{0}  ΔV = V_{B} − V_{A} = − ∫_{A}^{B} E · dl

• Elektrisk potensial fra punktladning:

V = \frac{q}{4πε_{0}r}

• Elektrisk dipolmoment; for punktladninger ±q i innbyrdes avstand d: p = qd

• Elektrisk dipol i ytre elektrisk felt: τ = p × E_{0} , U = −p · E_{0}

• Lineær respons:

E = E_{0}/ε_{r} ε = ε_{r}ε_{0}

FORMLER TFY4104 2024

• Kapasitans:

C = q/V

Seriekobling, parallellkobling:

C = (∑_{j} C_{j}^{−1})^{−1} C = ∑_{j} C_{j}

• Parallellplatekondensator (ideell; feltstyrke σ/2ε fra ett stort og jevnt ladet plan): E = σ/ε , C = εA/d

• Energitetthet i elektrisk felt:

u_{E} = \frac{1}{2}ε_{0}E^{2}

Elektrisk strøm

• Strømstyrke, strømtetthet:

I = dQ/dt , j = I/A

• Ohms lov:

j = σE , V = RI

• Drudemodellen:

σ = \frac{ne^{2}τ}{m_{e}}

• Resistans R og konduktans G:

R = G^{−1} = l/σA = ρl/A, σ = konduktivitet, ρ = resistivitet

R(T) = R_{0} (1 + α(T − T_{0}))

Seriekobling, parallellkobling:

R = ∑_{j} R_{j} , R = (∑_{j} R_{j}^{−1})^{−1}

• Elektrisk effekt:

P = V I

• Midlere effekt med vekselspenning:

P = V_{rms}I_{rms} = \frac{1}{2}V_{0}I_{0}

Magnetostatikk

• Magnetisk fluks:

ϕ = ∫ B · dA

FORMLER TFY4104 2024

• Magnetfelt fra strømførende leder (Biot–Savarts lov):

B = \frac{μ_{0}}{4π} I ∫ \frac{ds × r̂}{r^{2}}

• Lang rett leder:

B(x) = \frac{μ_{0}I}{2πx}

• På aksen til sirkulær strømsløyfe:

B(x) = \frac{μ_{0}IR^{2}}{2(x^{2} + R^{2})^{3/2}}

• Magnetisk dipolmoment; for plan strømsløyfe: m = IA = IAn̂

• Magnetisk dipol i ytre magnetfelt: τ = m × B_{0} , U = −m · B_{0} • Lineær respons:

B = μ_{r}B_{0} μ = μ_{r}μ_{0}

• Lorentzkraften:

F = qE + qv × B

• Magnetisk kraft på strømførende leder; generelt:

F = ∫_{L} dF = I ∫_{L} ds × B

• Magnetisk kraft på rett strømførende leder:

F = IL × B

• Energitetthet i magnetfelt:

u_{B} = \frac{1}{2μ_{0}} B^{2}

Elektrodynamikk og elektromagnetisk induksjon

• Faradays induksjonslov:

ΔV = −\frac{dϕ}{dt}

• Selvinduktans:

L = \frac{ϕ}{I}

• Gjensidig induktans:

M = \frac{ϕ_{2}}{I_{1}} = \frac{ϕ_{1}}{I_{2}}

• Transformator:

V_{2}/V_{1} = N_{2}/N_{1}

FORMLER TFY4104 2024

• Spole (ideell):

B = μ(N/l)I , L = μN^{2}A/l

• Energitetthet i elektromagnetisk felt:

u = \frac{1}{2}ε_{0}E^{2} + \frac{1}{2μ_{0}} B^{2}

Kretser

• Spenning over motstand, kapasitans, induktans: RI Q/C L dI/dt

• Tidskonstanter, RC-krets og RL-krets:

τ = RC τ = L/R

• Opplading av kondensator i RC-krets:

Q(t) = Q_{0} (1 − e^{−t/τ} )

• Oppbygging av strøm i RL-krets:

I(t) = I_{0} (1 − e^{−t/τ} )

KONSTANTER, OMREGNINGSFAKTORER OG DEKADISKE PREFIKSER

• Fundamentale konstanter:

G = 6.67 · 10^{−11} Nm^{2}/kg^{2} (g = 9.81 m/s^{2})
m_{e} = 9.11 · 10^{−31} kg
m_{p} = m_{n} = 1.67 · 10^{−27} kg
u = 1.66 · 10^{−27} kg
e = 1.60 · 10^{−19} C
ε_{0} = 8.85 · 10^{−12} F/m
\frac{1}{4πε_{0}} = 9 · 10^{9} Nm^{2}/C^{2}
μ_{0} = 4π · 10^{−7} H/m
k_{B} = 1.38 · 10^{−23} J/K
N_{A} = 6.02 · 10^{23} mol^{−1}
h = 6.63 · 10^{−34} Js
c = 3.00 · 10^{8} m/s

FORMLER TFY4104 2024

• Omregningsfaktorer:

1 eV = 1.60 · 10^{−19} J
1 Å = 10^{−10} m

• Dekadiske prefikser: p = piko = 10^{−12}, n = nano = 10^{−9}, μ = mikro = 10^{−6}, m = milli = 10^{−3}, c = centi = 10^{−2}, k = kilo = 10^{3}, M = mega = 10^{6}, G = giga = 10^{9}, T = tera = 10^{12}

• Geometri:

Areal, sirkulær skive: πr^{2}. Kuleflateareal: 4πr^{2}. Kulevolum: 4πr^{3}/3.

MATEMATIKK

• Krumningsradius:

ρ = \frac{[1 + (dy/dx)^{2}]^{3/2}}{|d^{2}y/dx^{2}|}

•

\frac{d}{dx} e^{αx} = αe^{αx}

•

∫ e^{αx} dx = \frac{1}{α}e^{αx}

•

∫ \frac{dx}{x} = ln x

• Gradient:

∇f(x) = x̂ df/dx , ∇f(r) = r̂df/dr

MIDDELVERDI OG FEIL I MÅLINGER • Middelverdi (gjennomsnittsverdi): \overline{x} = \frac{1}{N} ∑_{i=1}^{N} x_{i}

• Standardavvik (feil i enkeltmåling): δ_{x} = \sqrt{(\frac{1}{N−1} ∑_{i=1}^{N} (x_{i} − \overline{x})^{2})}

• Standardfeil (feil i middelverdi): δ\overline{x} = δ_{x}/\sqrt{N}