TFY4104 Fysikk. Institutt for fysikk, NTNU. Høsten 2015.

Harmonisk oscillator: Alternative former på løsningen

Den generelle løsningen av ligningen for en harmonisk oscillator,

ẍ + ω_{0}^{2}x = 0,

kan skrives

x(t) = c_{1} cos ω_{0}t + c_{2} sin ω_{0}t

eller

x(t) = A cos(ω_{0}t + ϕ).

I begge tilfeller har vi to foreløpig ubestemte konstanter, hhv c_{1} og c_{2} og A og ϕ, som kan fastlegges med to initialbetingelser, f.eks x(0) = x_{0} og ẋ(0) = v_{0}. Hva må sammenhengene være mellom disse konstantene for at de to løsningene skal være ekvivalente? Det finner vi ut ved å skrive den siste på samme form som den første, ved hjelp av den trigonometriske identiteten

cos(a + b) = cos a cos b − sin a sin b.

Med a = ω_{0}t og b = ϕ har vi da

A cos(ω_{0}t + ϕ) = A cos ω_{0}t cos ϕ − A sin ω_{0}t sin ϕ.

Nå må leddene som inneholder cos ω_{0}t være like, og leddene som inneholder sin ω_{0}t må være like:

c_{1} cos ω_{0}t = A cos ω_{0}t cos ϕ,
c_{2} sin ω_{0}t = −A sin ω_{0}t sin ϕ.

Med andre ord,

c_{1} = A cos ϕ,
c_{2} = −A sin ϕ.

Nå er vi i mål dersom vi kjenner A og ϕ og skal bestemme c_{1} og c_{2}. Hvis vi kjenner c_{1} og c_{2}, derimot, må vi løse de to siste ligningene med hensyn på A og ϕ. Da må vi eliminere hhv ϕ og A, for å stå igjen med en ligning som bare inneholder A eller ϕ (samt c_{1} og c_{2}, selvsagt). Divisjon av siste ligning med den første eliminerer A og gir

\frac{c_{2}}{c_{1}} = − tan ϕ,

dvs

ϕ = − arctan \frac{c_{2}}{c_{1}} .

Kvadrering av begge ligninger og addisjon av de to kvadrerte ligningene eliminerer ϕ og gir

c_{1}^{2} + c_{2}^{2} = A^{2} (cos^{ϕ} + sin^{ϕ}) = A^{2},

siden cos^{2} α + sin^{2} α = 1 for alle verdier av α. Dermed:

A = \sqrt{c_{1}^{2} + c_{2}^{2}}.