TFY4104 Fysikk. Institutt for fysikk, NTNU. Høsten 2017. Krumningsradius

Akselerasjonen til en partikkel som beveger seg med fart v langs en vilkålig (generelt krum) bane er

a = v̇r̂_{∥} + \frac{v^{2}}{R} r̂_{⊥}.

Her er r̂_{∥} en enhetsvektor langs banen, i fartsretningen, mens r̂_{⊥} er en enhetsvektor vinkelrett på banen, med retning inn mot sentrum av en tenkt sirkel, med radius R, som tangerer partikkelens bane. Med andre ord, vi må kjenne banens krumningsradius R for å bestemme a.

Banen y(x) i figuren har en krumning som varierer med x. Vi ønsker å finne et uttrykk for banens krumningsradius R i posisjonen merket med 1. Banen fra 1 til 2, med lengde Δs, kan da oppfattes som en liten del av en sirkel, med radius R ≃ R_{1} ≃ R_{2}, og med sentrum i C. Da er omløpt vinkel definert som Δθ = Δs/R, slik at krumningsradien blir R = Δs/Δθ. Banens krumning er ganske enkelt den inverse av krumningsradien, K = 1/R = Δθ/Δs. Når omløpt vinkel og buelengde blir tilstrekkelig små, kan vi erstatte Δ med d overalt:

R = \frac{ds}{dθ} , K = \frac{dθ}{ds}.

Da kan vi også ta i bruk Pythagoras:

(ds)^{2} = (dx)^{2} + (dy)^{2} ⇒ ds = \sqrt{(dx)^{2} + (dy)^{2}} = dx\sqrt{1 + (dy/dx)^{2}}.

Kjerneregelen for derivasjon gir

K = \frac{dθ}{ds} = \frac{dθ}{dx} \frac{dx}{ds} = \frac{dθ}{dx} · \frac{1}{\sqrt{1 + (dy/dx)^{2}}} .

Fra figuren ser vi at tan θ = dy/dx, slik at θ = arctan(dy/dx). Dermed:

\frac{dθ}{dx} = \frac{d^{2}y/dx^{2}}{1 + (dy/dx)^{2}} ,

slik at

K = \frac{d^{2}y/dx^{2}}{(1 + (dy/dx)^{2})^{3/2}} .

Krumningsradien er da

R = \frac{1}{K} = \frac{(1 + (dy/dx)^{2})^{3/2}}{d^{2}y/dx^{2}} .

Vi ser at mens krumningen K alltid har endelig verdi, kan krumingsradien R bli uendelig stor, slik den blir for en rett linje – da er som kjent d^{2}y/dx^{2} = 0.