\documentclass[11pt]{article}
\usepackage{epsfig}
\usepackage[norsk]{babel}
\topmargin=-1.5cm
\oddsidemargin=-1.0cm
\evensidemargin=-1.0cm
\textheight=25cm
\textwidth=18cm
\setlength{\parindent}{0cm}

\begin{document}
\newcommand{\bold}[1]{\mbox{\boldmath $#1$}}
\newcommand{\half}{\frac{1}{2}}

\begin{center}
\begin{bf}
TFY4104/TFY4125 Fysikk. Institutt for fysikk, NTNU.

L{\o}sningsforslag til Ekstra 11.
\end{bf}
\end{center}


\vspace{1.2cm}
\noindent
{\bf Oppgave 1}

\vspace{0.5cm}
\noindent
I stor avstand fra str{\o}msl{\o}yfa kan vi sette
$$x^2+R^2 \simeq x^2$$
Dermed blir magnetfeltet tiln{\ae}rmet lik
$$B(x) \simeq \frac{\mu_0 I R^2}{2x^3}.$$
Str{\o}msl{\o}yfas magnetiske dipolmoment er
$$m = IA = I \cdot \pi R^2,$$
s{\aa} vi kan skrive dette magnetfeltet p{\aa} formen
$$B(x) = \frac{\mu_0 m}{2\pi x^3}.$$
Det er vel verdt {\aa} sammenligne dette resultatet med det elektriske feltet
p{\aa} aksen til en elektrisk dipol, i stor avstand $x$ fra dipolen:
$$E(x) = \frac{p}{2\pi\varepsilon_0 x^3},$$
der $p$ er dipolens elektriske dipolmoment. Alts{\aa} n{\o}yaktig samme resultat,
med $m$ istedetfor $p$ og $\mu_0$ istedetfor $1/\varepsilon_0$.
Det er mange analogier mellom elektrostatikk og magnetostatikk!


\vspace{1.3cm}
\noindent
{\bf Oppgave 2}

\vspace{0.2cm}
\noindent
$a)$ Sentripetalakselerasjonen er $v_0^2/R$ mens Coulombkraften er
$e^2/4\pi\varepsilon_0 R^2$. Newtons 2.\ lov gir da
$$m_e \frac{v_0^2}{R} = \frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0 R^2} \;\;\; \Rightarrow \;\;\;
R = \frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0 m_e v_0^2}$$
Atomets magnetiske dipolmoment blir dermed
$$\bold{m}_0 = I \bold{A} = - \frac{e}{2\pi R/v_0} \cdot \pi R^2 \;\hat{z} =
-\frac{1}{2}e v_0 R \;\hat{z}.$$


%%FIGURE
\vspace{0.5cm}
%\centerline{\epsfxsize=2.8in \epsfbox{los14_fig1.eps}}
\vspace{0.5cm}
%%END FIGURE


\vspace{0.2cm}
\noindent
$b)$ Den valgte retningen p{\aa} $\bold{B}$ f{\o}rer til at den magnetiske kraften
$\bold{F}_m = -e\;\bold{v}\times\bold{B}$ blir rettet innover mot kjernen, dvs i
samme retning som den tiltrekkende Coulombkraften. Med uendret baneradius $R$ bestemmes
dermed hastigheten $v$ av ligningen
$$m_e \frac{v^2}{R} = \frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0 R^2} + evB.$$
Dette er en annengradsligning for $v$,
$$v^2 - \frac{eB R}{m_e}\;v - \frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0 m_e R} = 0,$$
med l{\o}sning
$$v = \frac{eB R}{2m_e} + \sqrt{\frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0 m_e R} + \left(\frac{eB R}{2m_e}\right)^2 }$$
(L{\o}sningen med negativt fortegn foran kvadratroten er negativ og ikke aktuell.)

\noindent
La oss g{\aa} tilbake og se p{\aa} hastigheten uten magnetfelt:
$$v_0 = \sqrt{\frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0 m_e R}}$$
Vi ser umiddelbart at $v>v_0$. Det betyr at det magnetiske dipolmomentet
$$\bold{m} = - \frac{1}{2}e v R \;\hat{z}$$
er st{\o}rre enn f{\o}r vi skrudde p{\aa} magnetfeltet. Med andre ord, {\em endringen}
$$\Delta \bold{m} = \bold{m} - \bold{m}_0$$
er motsatt rettet det ytre magnetfeltet.

\noindent
Hvis magnetfeltet i stedet var rettet nedover, $\bold{B} = -B \;\hat{z}$, ville den magnetiske
kraften bli rettet radielt {\em utover}, dvs i motsatt retning av Coulombkraften, slik
at tilleggsleddet $evB$ i bevegelsesligningen ville komme inn med motsatt fortegn. Dermed
ville den nye hastigheten $v$ ha blitt mindre enn $v_0$, og det magnetiske dipolmomentet ogs{\aa}
mindre enn f{\o}r vi skrudde p{\aa} magnetfeltet. Igjen: {\em Endringen} i magnetisk
dipolmoment ville fremdeles ha v{\ae}rt motsatt rettet det ytre feltet.

\noindent
Konklusjon: Et ytre magnetfelt p{\aa}virker elektronets banebevegelse i atomet p{\aa} en slik
m{\aa}te at det {\em induserte} magnetiske dipolmomentet, dvs det magnetiske dipolmomentet knyttet
til endringen i banebevegelsen, blir motsatt rettet det p{\aa}trykte feltet.
Alts{\aa} {\em diamagnetisme}.


\end{document}
