\documentclass[11pt]{article}
\usepackage{epsfig}
\usepackage[norsk]{babel}
\topmargin=-1.5cm
\oddsidemargin=-1.0cm
\evensidemargin=-1.0cm
\textheight=25cm
\textwidth=18cm
\setlength{\parindent}{0cm}

\begin{document}
\newcommand{\bold}[1]{\mbox{\boldmath $#1$}}

\begin{center}
\begin{bf}
TFY4104/TFY4125 Fysikk. Institutt for fysikk, NTNU.

Ekstra 11.
\end{bf}
\end{center}

\noindent
{\bf Oppgave 1} \\

\vspace{0.2cm}
\noindent
Ei sirkul{\ae}r str{\o}msl{\o}yfe med radius $R$ f{\o}rer en elektrisk str{\o}m
$I$. Str{\o}msl{\o}yfa ligger i $yz$-planet med sentrum i origo. Retningen p{\aa}
$I$ er mot klokka hvis vi har positiv $x$-akse ut av papirplanet. \\

%%FIGURE
\vspace{1.0cm}
\centerline{\epsfxsize=6.5in \epsfbox{ov12_fig3.eps}}
\vspace{1.0cm}
%%END FIGURE

\vspace{0.8cm}
\noindent
I forelesningene brukte vi Biot--Savarts lov,
$$\bold{B}=\frac{\mu_0}{4\pi}\oint\frac{Id\bold{s}\times\hat{r}}{r^2}$$ 
til {\aa} fastsl{\aa} at magnetfeltstyrken er
$$B(x) = \frac{\mu_0 I R^2}{2\left(x^2+R^2\right)^{3/2}}$$
p{\aa} $x$-aksen (dvs p{\aa} dipolens akse).

\vspace{0.7cm}
\noindent
Bestem $B(x)$ i stor avstand fra str{\o}msl{\o}yfa (dvs: til ledende orden n{\aa}r
$x \gg R$) og uttrykk svaret ved hjelp av sl{\o}yfas magnetiske dipolmoment $m = |\bold{m}|$. \\

Til sammenligning: Det elektriske feltet i stor avstand fra en elektrisk dipol plassert i origo, og
som peker i $x$-retningen, dvs $\bold{p} = p\,\hat{x}$, er $E(x) = p/2\pi\varepsilon_0 x^3$.
G{\aa} tilbake til {\o}ving 9, oppgave 2c, og finn dette resultatet selv:
Sett $\theta=0$ i uttrykket for potensialet $V$, og regn ut $E = -dV/dr$. I {\o}ving 9 l{\aa}
dipolen langs $z$-aksen; med $\theta=0$ blir da $r=z$ i den oppgaven. \\


\newpage
%\vspace{1.3cm}
\noindent
{\bf Oppgave 2}

\vspace{0.2cm}
\noindent
I denne oppgaven skal vi, med utgangspunkt i en klassisk atommodell, se n{\ae}rmere p{\aa}
hvordan et ytre magnetfelt $\bold{B}$ vil p{\aa}virke elektronets banebevegelse rundt
atomkjernen. En slik {\em diamagnetisk effekt} f{\aa}r vi i alle atomer.
Her kan vi for enkelhets skyld ha et hydrogenatom i tankene, med ett elektron med ladning $-e$ 
i sirkul{\ae}r bane (i $xy$-planet) med radius $R$ rundt en kjerne med ladning $+e$.

%%FIGURE
\vspace{0.5cm}
\centerline{\epsfxsize=3.7in \epsfbox{ov14_fig1.eps}}
\vspace{0.5cm}
%%END FIGURE

\vspace{0.3cm}
\noindent
$a)$ Uten et ytre magnetfelt til stede er elektronets hastighet $v_0$. Vis at uniform
sirkelbevegelse i Coulombfeltet fra atomkjernen da resulterer i en baneradius
$$R = \frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0 m_e v_0^2}.$$
Vis at atomets magnetiske dipolmoment (gitt ved produktet av str{\o}m og omsluttet areal) er 
$$\bold{m}_0 = -\frac{1}{2} e v_0 R \hat{z}.$$

\vspace{0.3cm}
\noindent
$b)$ Vi skrur n{\aa} p{\aa} et ytre magnetfelt $\bold{B} = B\,\hat{z}$, for enkelhets 
skyld rettet normalt p{\aa} elektronets sirkul{\ae}re bane:

%%FIGURE
\vspace{0.5cm}
\centerline{\epsfxsize=3.7in \epsfbox{ov14_fig2.eps}}
\vspace{0.5cm}
%%END FIGURE

\noindent
Elektronet p{\aa}virkes n{\aa}, i tillegg til Coulombkraften fra kjernen, av en magnetisk
kraft $\bold{F}_m = -e \bold{v} \times \bold{B}$ slik at bevegelsesligningen 
(dvs Newtons 2.\ lov) endres. Resultatet blir
en endret sammenheng mellom elektronets hastighet $v$ og banens radius $R$. 
Anta at magnetfeltet kun endrer hastigheten, og ikke banens radius $R$, 
og bestem den nye hastigheten $v$.
Bestem ogs{\aa} det nye magnetiske dipolmomentet $\bold{m}$, og vis at {\em endringen}
$$\Delta \bold{m} = \bold{m} - \bold{m}_0$$
er {\em motsatt rettet} det ytre magnetfeltet $\bold{B}$.
Argumenter kvalitativt for at endringen $\Delta \bold{m}$ vil v{\ae}re motsatt rettet
$\bold{B}$ ogs{\aa} dersom $\bold{B}$ peker i motsatt retning (dvs i negativ $z$-retning).

\newpage
%\vspace{0.5cm}
\noindent
Kommentarer:
\begin{itemize}
\item
Vi har tidligere konkludert med at et statisk magnetfelt aldri utf{\o}rer noe arbeid p{\aa}
en ladning i bevegelse ettersom $\bold{F}_m \perp \bold{v}$. Et statisk magnetfelt kan alts{\aa}
ikke endre ladningens hastighet (i absoluttverdi), tilsynelatende i konflikt med det vi har funnet
ovenfor. Poenget er imidlertid at vi starter med $B=0$ og {\em skrur p{\aa}} et magnetfelt. Dermed
har vi ikke hele tiden et statisk magnetfelt, men et felt som i l{\o}pet av en viss tid m{\aa}
endre seg fra null til sin endelige verdi. Og et
tidsavhengig magnetfelt vil skape (''indusere'') et elektrisk felt (Faradays induksjonslov), 
og et elektrisk felt kan som kjent endre hastigheten til et elektron.
\item
Fortegnet p{\aa} den diamagnetiske responsen er et uttrykk for {\em Lenz' lov}:
Systemets ''respons'' er slik at den p{\aa}trykte endringen {\em motvirkes}. 
\item
Strengt tatt er det n{\o}dvendig med en {\em kvantemekanisk} beskrivelse for {\aa} forklare
diamagnetisme ''skikkelig''. Likevel gir denne enkle klassiske modellen med ett
atom et brukbart kvalitativt bilde av effekten.
\end{itemize}



\end{document}
