Institutt for fysikk, NTNU TFY4155/FY1003 Elektromagnetisme Vår 2009

Løsningsforslag til øving 12

Oppgave 1

Retningen på B:

• B_{y} = 0 fordi dB ∼ ŷ×r̂ ⊥ ŷ ifølge Biot-Savarts lov. (Alle strømbidrag går i y-retningen.)

• B_{z} = 0: Se på figuren nedenfor. Her er dB_{+} og dB_{−} bidrag til magnetfeltet henholdsvis over og under xy-planet fra “symmetrisk lokaliserte” uendelig lange, tynne strømførende ledere i posisjon ±x. Biot-Savarts lov og figurbetraktning gir at B må være rettet i positiv x-retning for z > 0 og i negativ x-retning for z < 0.

Absoluttverdien av magnetfeltet kan ikke avhenge av x eller y når det strømførende planet er uendelig stort. Dessuten må B være like stor en avstand z over xy-planet som en avstand z under. (B_{+} = B_{−} = B, se figuren nedenfor) Da skulle vi ha det beste valget av amperekurve klart: Et rektangel med flatenormal i positiv y-retning, symmetrisk plassert i forhold til xyplanet:

Når integrasjonsveien velges som vist i figuren, er strømmen omsluttet av amperekurven positiv, ifølge høyrehåndsregelen. Med en lengde L i x-retningen blir den omsluttede strømmen I_{in} = i · L. Amperes lov gir dermed:

∮ B · dl = 2 · B · L = μ_{0}i · L

eller

B = μ_{0}i/2

(På de vertikale bitene av amperekurven er B ⊥ dl så disse gir null bidrag til integralet.) Alternativt kunne vi først ha lagt hele ampererektangelet på en side av xy-planet. Da hadde vi hatt null omsluttet strøm, og dermed fått at B måtte være uavhengig av z. I neste omgang legger vi amperekurven slik at den omslutter en del av xy-planet, og dermed også en viss strøm, og finner det samme som over. Så langt jeg kan se, holder det å bruke Amperes lov en gang når vi legger amperekurven symmetrisk om xy-planet.

Oppgave 2

a) Sentripetalakselerasjonen er v_{0}^{2}/R mens Coulombkraften er e^{2}/4πε_{0}R^{2}. Newtons 2. lov gir da

m_{e} \frac{v_{0}^{2}}{R} = \frac{e^{2}}{4πε_{0}R^{2}} ⇒ R = \frac{e^{2}}{4πε_{0}m_{e}v_{0}^{2}}

Banedreieimpulsen til elektronet er

L_{0} = m_{e} r × v_{0} = m_{e}R v_{0} ẑ

mens dets magnetiske dipolmoment er

m_{0} = IA = −\frac{e}{2πR/v_{0}} · πR^{2} ẑ = −\frac{1}{2}ev_{0}R ẑ = −\frac{e}{2m_{e}} L_{0}

b) Den valgte retningen på B fører til at den magnetiske kraften F_{m} = −e v × B blir rettet innover mot kjernen, dvs i samme retning som den tiltrekkende Coulombkraften. Med uendret baneradius R bestemmes dermed hastigheten v av ligningen

m_{e} \frac{v^{2}}{R} = \frac{e^{2}}{4πε_{0}R^{2}} + evB

Dette er en annengradsligning for v,

v^{2} − \frac{eBR}{m_{e}} v − \frac{e^{2}}{4πε_{0}m_{e}R} = 0,

med løsning

v = \frac{eBR}{2m_{e}} + \sqrt{\frac{e^{2}}{4πε_{0}m_{e}R} + (\frac{eBR}{2m_{e}})^{2}}

(Løsningen med negativt fortegn foran kvadratroten er negativ og ikke aktuell.) La oss gå tilbake og se på hastigheten uten magnetfelt:

v_{0} = \sqrt{\frac{e^{2}}{4πε_{0}m_{e}R}}

Vi ser umiddelbart at v > v_{0}. Det betyr at det magnetiske dipolmomentet

m = −\frac{1}{2}evR ẑ

er større enn før vi skrudde på magnetfeltet. Med andre ord, endringen

Δm = m − m_{0}

er motsatt rettet det ytre magnetfeltet. Hvis magnetfeltet istedet var rettet nedover, B = −B ẑ, ville den magnetiske kraften bli rettet radielt utover, dvs i motsatt retning av Coulombkraften, slik at tilleggsleddet evB i bevegelsesligningen ville komme inn med motsatt fortegn. Dermed ville den nye hastigheten v ha blitt mindre enn v_{0}, og det magnetiske dipolmomentet også mindre enn før vi skrudde på magnetfeltet. Igjen: Endringen i magnetisk dipolmoment ville fremdeles ha vært motsatt rettet det ytre feltet. Konklusjon: Et ytre magnetfelt påvirker elektronets banebevegelse i atomet på en slik måte at det induserte magnetiske dipolmomentet, dvs det magnetiske dipolmomentet knyttet til endringen i banebevegelsen, blir motsatt rettet det påtrykte feltet. Altså diamagnetisme.

Oppgave 3

Opplysningene gitt i oppgaveteksten medfører at vi her velger som amperekurve en sirkel som er ko-planar med smultringspolen, med sentum på spolens akse og radius s. Hvis amperekurven ligger inni spolen, vil den omslutte N viklinger som hver fører en strøm I, dvs netto omsluttet strøm NI. Hvis amperekurven ligger utenfor spolen, vil den omslutte null netto strøm: Enten ingen strøm i det hele tatt, eller like mye strøm opp gjennom som ned gjennom den valgte omsluttede flaten. Amperes lov gir da, inni spolen:

B(s) · 2πs = μ_{0}NI
⇒ B(s) = \frac{μ_{0}NI}{2πs}

og utenfor spolen:

B(s) · 2πs = 0
⇒ B(s) = 0

Oppgave 4

Det vi har bruk for i denne oppgaven, er et uttrykk for magnetfeltet B_{1} i et vilkårlig punkt, fra en rett strømførende leder med lengde 2L, strømstyrke I. Med utgangspunkt i følgende figur,

har vi

B_{1} = \frac{μ_{0}I}{4πb} (sin β_{max} − sin β_{min})
= \frac{μ_{0}I}{4πb} (cos α_{min} − cos α_{max})
= \frac{μ_{0}I}{4πb} (\frac{2L + a}{\sqrt{(2L + a)^{2} + b^{2}}} − \frac{a}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}} )

Hvis vi her setter a = −L og b = x, har vi spesialtilfellet med et punkt i avstand x fra lederen, i planet som deler lederen på midten, dvs det vi så på i forelesningene. Men i denne oppgaven skal vi se på magnetfeltet fra en kvadratisk strømførende leder.

La oss starte med et punkt på z-aksen (se figur A nedenfor), og la oss anta z > 0. Vi antar også at strømmens retning er slik at det magnetiske dipolmomentet peker i positiv z-retning. De 4 sidekantene bidrar her med like stor feltstyrke. Avstanden fra hver rette lederbit til punktet på z-aksen er b = \sqrt{z^{2} + L^{2}}, og vi har nettopp a = −L. Bruker vi uttrykket ovenfor, finner vi dermed

B_{1} = \frac{μ_{0}IL}{2πb\sqrt{b^{2} + L^{2}}} = \frac{μ_{0}IL}{2π\sqrt{z^{2} + L^{2}}\sqrt{(z^{2} + L^{2}) + L^{2}}} .

Alle disse 4 bidragene har forskjellig retning, og summmen av dem blir en vektor i positiv z-retning. Vi finner z-komponenten av B_{1} ved å multiplisere med faktoren

cos θ = \frac{L}{\sqrt{z^{2} + L^{2}}}

slik at det totale feltet blir

B(z) = ẑ · 4 · \frac{μ_{0}IL}{2π\sqrt{z^{2} + L^{2}}\sqrt{z^{2} + 2L^{2}}} · \frac{L}{\sqrt{z^{2} + L^{2}}} = \frac{2μ_{0}IL^{2}ẑ}{π(z^{2} + L^{2})\sqrt{z^{2} + 2L^{2}}}

I et punkt på x-aksen (x > L) vil sidekantene i y = L, x = −L og y = −L gi bidrag som peker i positiv z-retning, mens sidekanten i x = L gir et bidrag i negativ z-retning (se figur B nedenfor). Vi ser på de 4 bidragene hver for seg. Bidrag fra sidekant i x = L (”nr 1”): Her er b = x − L og a = −L, og vi finner

B_{1}(x) = −\frac{μ_{0}ILẑ}{2π} \frac{1}{(x − L)\sqrt{(x − L)^{2} + L^{2}}}

Bidrag fra sidekant i x = −L (”nr 3”): Her er b = x + L og a = −L, og vi finner

B_{3}(x) = \frac{μ_{0}ILẑ}{2π} \frac{1}{(x + L)\sqrt{(x + L)^{2} + L^{2}}}

Bidragene fra sidekantene i y = L (”nr 2”) og y = −L (”nr 4”) er like store og har samme retning, så disse to tar vi i en smekk. I dette tilfellet er b = L og a = x − L, som gir

B_{2}(x) = B_{4}(x) = \frac{μ_{0}I}{4πL} [\frac{x + L}{\sqrt{(x + L)^{2} + L^{2}}} − \frac{x − L}{\sqrt{(x − L)^{2} + L^{2}}} ]

Totalt felt blir summen av disse 4:

B(x) = B_{1}(x) + B_{2}(x) + B_{3}(x) + B_{4}(x)

La oss nå regne ut hva magnetfeltet blir til ledende orden langt ute på hhv z- og x-aksen. Dette blir lettest langt ute på z-aksen. Da kan vi i uttrykket for B(z) ganske enkelt neglisjere L^{2} og 2L^{2} i forhold til z^{2} i nevneren:

B(z) ≃ \frac{2μ_{0}IL^{2}ẑ}{πz^{3}}

Og dette er konsistent med B_{dipol}(r) gitt i oppgaveteksten: Sløyfa har magnetisk dipolmoment

m = IA = I · 4L^{2}ẑ

og for et punkt på z-aksen er

r̂ = ẑ

Dermed:

B_{dipol}(z) = \frac{μ_{0}}{4πz^{3}} [3 · 4IL^{2}ẑ − 4IL^{2}ẑ] = \frac{2μ_{0}IL^{2}ẑ}{πz^{3}}

For et punkt langt ute på x-aksen er

r̂ = x̂

slik at første ledd i B_{dipol} forsvinner. Vi står igjen med

B_{dipol}(x) = \frac{μ_{0}}{4πx^{3}} [−4IL^{2}ẑ] = −\frac{μ_{0}IL^{2}ẑ}{πx^{3}}

Vi regner ut ledende ordens bidraget fra den eksakte B(x):

B_{1}(x) = −\frac{μ_{0}IL}{2πx^{2}} \frac{1}{(1 − L/x)(1 − 2L/x + 2(L/x)^{2})^{1/2}}
≃ −\frac{μ_{0}IL}{2πx^{2}} (1 + \frac{L}{x}) (1 + \frac{L}{x})
≃ −\frac{μ_{0}IL}{2πx^{2}} (1 + \frac{2L}{x})

B_{3}(x) = \frac{μ_{0}IL}{2πx^{2}} \frac{1}{(1 + L/x)(1 + 2L/x + 2(L/x)^{2})^{1/2}}
≃ \frac{μ_{0}IL}{2πx^{2}} (1 − \frac{L}{x}) (1 − \frac{L}{x})
≃ \frac{μ_{0}IL}{2πx^{2}} (1 − \frac{2L}{x})
B_{2}(x) + B_{4}(x)
= \frac{μ_{0}I}{2πL} [\frac{1 + L/x}{(1 + 2L/x + 2(L/x)^{2})^{1/2}} − \frac{1 − L/x}{(1 − 2L/x + 2(L/x)^{2})^{1/2}} ]
≃ \frac{μ_{0}I}{2πL} [(1 + L/x)(1 − L/x + L^{2}/2x^{2} + L^{3}/2x^{3}) − (1 − L/x)(1 + L/x + L^{2}/2x^{2} − L^{3}/2x^{3})]
≃ \frac{μ_{0}I}{2πL} [\frac{2L^{3}}{x^{3}} ]

Og summen av disse blir nettopp

B(x) ≃ −\frac{μ_{0}IL^{2}}{πx^{3}} ,

dvs det samme som B_{dipol}(x) ovenfor.