TFY4104 Fysikk. Institutt for fysikk, NTNU. Høsten 2017. Øving 7.

Svingninger

En kloss med masse m er festet til ei (masseløs) fjær med fjærkonstant k. Fjæra er festet til en vegg i sin venstre ende. Klossen kan gli uten friksjon på et horisontalt underlag. Bevegelsen blir startet (ved t = 0) ved å dra klossen fra likevektsposisjonen x = 0 mot høyre til posisjon x_{0} og gi den en hastighet v_{0} mot høyre. Klossen utfører deretter harmoniske svingninger beskrevet ved x(t) = A cos(ω_{0}t + ϕ) der ω_{0} = 2π/T er vinkelfrekvensen, T er perioden og ϕ er en fasekonstant.

a) Hva er perioden T for denne harmoniske svingningen?

A) 2π\sqrt{k/m} B) \sqrt{k/m} C) 2π\sqrt{m/k} D) \sqrt{m/k}

b) Hva er amplituden A for denne harmoniske svingningen?

A) \sqrt{x_{0}^{2} + (v_{0}/ω_{0})^{2}} B) x_{0}/ cos(arctan(v_{0}/x_{0}ω_{0})) C) Både A og B er riktige svar D) Verken A eller B er riktige svar

c) Hva er fasekonstanten ϕ for denne harmoniske svingningen?

A) − arctan(v_{0}/x_{0}ω_{0}) B) arccos(1/\sqrt{1 + mv_{0}^{2}/kx_{0}^{2}}) C) Både A og B er riktige svar D) Verken A eller B er riktige svar

d) Hva er systemets totale mekaniske energi E?

A) kx_{0}^{2}/2 B) mv_{0}^{2}/2 C) kx_{0}^{2}/2 + mv_{0}^{2}/2 D) 0

e) Vi kunne alternativt ha skrevet løsningen på formen x(t) = B cos ω_{0}t + C sin ω_{0}t. Hva blir da de to koeffisientene B og C?

A) B = v_{0}/ω_{0} og C = x_{0} B) B = x_{0} og C = v_{0}/ω_{0} C) B = C = x_{0} D) B = C = v_{0}/ω_{0}

f) Hva blir svingebevegelsens maksimale utsving og maksimale hastighet dersom m = 100 g, k = 10 N/m, x_{0} = 1.0 cm og v_{0} = 10 cm/s.

A) 1.4 cm og 14 cm/s B) 1.4 m og 14 m/s C) 14 m og 1.4 m/s D) 14 cm og 1.4 cm/s

g) Svingesystemet dreies 90 grader slik at massen m henger vertikalt i tyngdefeltet. Med hvilken vinkelfrekvens ω vil massen nå svinge opp og ned?

A) ω = ω_{0} B) ω = 2ω_{0} C) ω = 3ω_{0} D) ω = 4ω_{0} h) Figuren viser utsvinget

x(t) = x_{0}e^{−t/τ} cos ωt,

eller rettere sagt x(t)/x_{0}, for en dempet harmonisk svingning. Omtrent hvor stort er produktet ωτ mellom vinkelfrekvensen og den ”karakteristiske tiden” for dempingsforløpet?

A) 0.022
B) 1.7
C) 14
D) 45

Et enkelt masse-fjær-svingesystem med masse m og fjærstivhet k har som kjent vinkelfrekvens ω = \sqrt{k/m}. Sett opp ”N2” for de tre svingesystemene vist i figuren nedenfor og finn vinkelfrekvensen for hvert av systemene uttrykt ved ω_{1} = \sqrt{k_{1}/m} og ω_{2} = \sqrt{k_{2}/m}. I alle tilfellene er fjærene masseløse, og det er ingen friksjon.

i) ω_{i} = … A) ω_{1} + ω_{2} B) ω_{1}ω_{2}/\sqrt{ω_{1}^{2} + ω_{2}^{2}} C) \sqrt{ω_{1}^{2} + ω_{2}^{2}} D) \sqrt{ω_{1}ω_{2}}

j) ω_{j} = … A) ω_{1} + ω_{2} B) ω_{1}ω_{2}/\sqrt{ω_{1}^{2} + ω_{2}^{2}} C) \sqrt{ω_{1}^{2} + ω_{2}^{2}} D) \sqrt{ω_{1}ω_{2}}

k) ω_{k} = … A) ω_{1} + ω_{2} B) ω_{1}ω_{2}/\sqrt{ω_{1}^{2} + ω_{2}^{2}} C) \sqrt{ω_{1}^{2} + ω_{2}^{2}} D) \sqrt{ω_{1}ω_{2}}