Institutt for fysikk, NTNU TFY4155/FY1003: Elektromagnetisme Vår 2009

Øving 3

Veiledning: Mandag 2. februar Innleveringsfrist: Fredag 6. februar kl 12.00

Oppgave 1 (oppvarming med noen enkle oppgaver fra tidligere midtsemesterprøver)

a) Figuren viser et uniformt elektrisk felt E (heltrukne linjer). Langs hvilken stiplet linje endrer potensialet seg ikke?

A 1
B 2
C 3
D 4

b) En partikkel med negativ ladning plasseres med null starthastighet i et elektrostatisk felt E. Partikkelens bevegelse blir

A i retning lavere potensial.
B i retning lavere potensiell energi.
C i samme retning som E.
D i retning normalt på E.

c) Den potensielle energien til to elektroner i innbyrdes avstand 1 Å (= 10^{−10} m) er [1 eV = 1.6 · 10^{−19} J]

A 14.4 meV
B 14.4 eV
C 14.4 keV
D 14.4 MeV

d) En berylliumkjerne med ladning 4e og masse 9m_{p} og en α-partikkel (dvs en heliumkjerne) med ladning 2e og masse 4m_{p} er i ro. De to partiklene kan gis like stor hastighet ved å

A akselerere dem gjennom en like stor potensialforskjell.
B akselerere α-partikkelen gjennom V volt og berylliumkjernen gjennom V/2 volt.
C akselerere α-partikkelen gjennom V volt og berylliumkjernen gjennom 8V/9 volt.
D akselerere α-partikkelen gjennom V volt og berylliumkjernen gjennom 9V/8 volt.

Oppgave 2

Vi har et uniformt elektrisk felt E = E_{0} x̂. Bestem potensialforskjellen mellom origo og følgende punkter (x, y) i xy-planet:

(i) (a, 0)  (ii) (0, a)  (iii) (a, a)

Oppgave 3 I kartesiske koordinater er et infinitesimalt (differensielt) linjeelement (veielement) gitt ved (vektoren)

dl = dx x̂ + dy ŷ + dz ẑ

Et infinitesimalt volumelement er (den skalare størrelsen)

dV = dx dy dz

Et infinitesimalt flateelement kan vi uttrykke som en vektor: På samme måte som et linjeelement må spesifiseres ved hjelp av en absoluttverdi (dvs lengden av elementet) og en retning, må et flateelement spesifiseres ved hjelp av en absoluttverdi (dvs arealet av flaten) og en orientering. Og skal vi få til å spesifisere flateelementets orientering, er det vel egentlig ganske naturlig å velge den retningen i rommet som står normalt på flaten; den såkalte flatenormalen. Det betyr at et flateelement med areal dA, som er orientert i rommet på en slik måte at enhetsvektoren n̂ (dimensjonsløs og med lengde 1) står vinkelrett på flaten, kan spesifiseres med vektoren

dA n̂

Med andre ord: En vektor med retning vinkelrett på flaten, med absoluttverdi lik flatens areal dA, og med dimensjon lik lengde kvadrert. (Dvs, enhet m^{2}.) For lettvinthets skyld bruker vi gjerne notasjonen

dA = dA n̂

for et slik flateelement. I kartesiske koordinater har vi dermed følgende tre infinitesimale flater, med orientering slik at flatenormalen peker henholdsvis langs x-, y- og z-aksen:

dA_{x} = dy dz x̂
dA_{y} = dx dz ŷ
dA_{z} = dx dy ẑ

a) Vis at i kulekoordinater (r, θ, ϕ) er de tilsvarende størrelser

dl = dr r̂ + r dθ θ̂ + r sin θ dϕ ϕ̂
dA_{r} = r^{2} sin θ dθ dϕ r̂
dA_{θ} = r dr sin θ dϕ θ̂
dA_{ϕ} = r dr dθ ϕ̂
dV = r^{2} dr sin θ dθ dϕ

Med andre ord: Flateelementet dA_{r} er orientert slik at flatenormalen peker radielt utover, dvs langs r̂, og tilsvarende for de to andre.

I denne oppgaven betyr ”vis at” egentlig ”overbevis deg selv om at du har forstått at”.

Tips: Det vil være til stor hjelp å tegne opp et infinitesimalt volumelement som avgrenses av flatene r og r + dr, θ og θ + dθ, ϕ og ϕ + dϕ. Se figur i ukentlig sammendrag, uke 4. Legg merke til at enhetsvektorene r̂, θ̂ og ϕ̂ ikke er faste vektorer i rommet (i motsetning til de kartesiske enhetsvektorene x̂, ŷ og ẑ), de er avhengige av hvor i rommet vi er, og endrer retning ettersom vi flytter oss rundt omkring. Eksempler: I et punkt på y-aksen (med y > 0) er r̂ = ŷ mens i et punkt på z-aksen (z > 0), derimot, er r̂ = ẑ. I hele xy-planet er θ̂ = −ẑ, mens ϕ̂ = −x̂ på positiv y-akse og ϕ̂ = x̂ på negativ y-akse.

b) Vis, på grunnlag av formlene over, at ei kule med radius R har volum 4πR^{3}/3 og overflateareal 4πR^{2}.

Kommentar: Omkretsen av en sirkel med radius R er 2πR. Sirkelen utspenner en vinkel på 2π (radianer). Disse resultatene kommer vi fram til ved å starte med et infinitesimalt bueelement dl = R dθ og integrere fra 0 til 2π. Tilsvarende har en kuleflate med radius R et areal 4πR^{2}. Kuleflaten utspenner en romvinkel på 4π (såkalte steradianer). Legg merke til analogien mellom vinkel i planet og romvinkel i rommet! I sistnevnte tilfelle er utgangspunktet et infinitesimalt flateelement dA_{R} = R^{2} dΩ, der dΩ = sin θ dθ dϕ er et infinitesimalt romvinkelelement. Integrasjon over θ (fra retning “nord”, dvs langs positiv z, dvs θ = 0, til retning “sør”, dvs langs negativ z, dvs θ = π) og ϕ (fra retning langs positiv x, dvs ϕ = 0, og en hel runde rundt, dvs til ϕ = 2π) gir deretter hele kuleflatens totale areal A, evt. den totale romvinkelen Ω = 4π. Vi kommer mere tilbake til dette i forelesningene, i forbindelse med Gauss’ lov. c) Anta nå at vi har ei kule med radius R. Inni kula har vi elektrisk ladning gitt ved ladningstettheten (dvs ladning pr volumenhet)

ρ(r, θ) = ρ_{0} \frac{r}{R} cos^{2} θ

Hvor har vi størst ladningstetthet? Enn minst? Bestem kulas totale ladning Q.

Oppgave 4

En elektrisk dipol som består av to punktladninger ±q, er plassert langs z-aksen med sentrum i origo, som vist i figuren. Det elektriske dipolmomentet er da p = qa, der a = a ẑ er vektoren fra −q til q.

Siden vi her opplagt må ha symmetri med hensyn til rotasjon omkring z-aksen, er det tilstrekkelig å se på forholdene i et halvplan som inneholder z-aksen, f.eks. xz-planet, med x > 0. Vi kan videre velge mellom kartesiske koordinater (x, z) eller polarkoordinater (r, θ) for å angi en vilkårlig posisjon i dette planet. Vi skal se på begge deler i denne oppgaven. Vinkelen θ kan vi selvsagt velge i forhold til hvilken kartesiske akse vi vil; her lar vi θ være vinkelen som r danner i forhold til z-aksen (se figuren).

a) Bestem først sammenhengen mellom de kartesiske koordinatene og polarkoordinatene, dvs x(r, θ), z(r, θ) og r(x, z).

b) Vis at potensialet fra en slik dipol i kartesiske koordinater blir

V (x, z) = \frac{q}{4πε_{0}} (\frac{1}{\sqrt{x^{2} + (z − a/2)^{2}}} − \frac{1}{\sqrt{x^{2} + (z + a/2)^{2}}} )

Hva blir potensialet på x-aksen, V (x, 0)? Enn på z-aksen, V (0, z)? (På hele z-aksen; pass på fortegnene...!) Skisser funksjonen V (0, z). c) Vis at i stor avstand fra dipolen (dvs r ≫ a) er potensialet med god tilnærmelse gitt i polarkoordinater ved

V (r, θ) = \frac{p cos θ}{4πε_{0}r^{2}} = \frac{p · r}{4πε_{0}r^{3}}

Tips: Ta utgangspunkt i at

\frac{1}{r_{1}} − \frac{1}{r_{2}} = \frac{r_{2} − r_{1}}{r_{1}r_{2}}

og bruk figuren til å finne et tilnærmet uttrykk for dette når r ≫ a. Mens potensialet fra en enkelt punktladning avtar som 1/r, avtar altså potensialet fra en dipol raskere, nemlig som 1/r^{2}. Er dette rimelig?

Kommentar: For den som insisterer på en mer rigid matematisk tilnærming til denslags, er det her snakk om å bestemme V (r, θ) ”til ledende orden” i den ”lille parameteren” a/r. Med andre ord, det oppgitte uttrykket for V (r, θ) er eksakt for en såkalt ideell dipol med ”null utstrekning” (dvs a → 0). Ekstranøtt, hvis du synes dette ble for lett: Hva blir ”dominerende korreksjon” til den oppgitte V (r, θ)? Dvs: Hva blir neste ledd i rekkeutviklingen (Maclaurinrekken) til V (r, θ) for små verdier av a/r, dvs a/r ≪ 1?