Institutt for fysikk, NTNU TFY4155/FY1003 Elektromagnetisme Vår 2009

Løsningsforslag til øving 1

Aller først et par kommentarer angående notasjon: Mens vektorer på tavla blir angitt med en pil over symbolet, brukes typisk fete symboler i trykte notater, som her. Det betyr at F angir vektoren (f.eks. en kraft), og da både dens størrelse F og retning. Enhetsvektorer, dvs (dimensjonsløse) vektorer med lengde 1, angis med en ˆ over symbolet. Da har vi f.eks. sammenhengene F = |F |F̂ = F F̂. Videre vil vi skrive de ulike komponentene av en vektor med en senket indeks, f.eks. F_{x} for x-komponenten av F.

Oppgave 1

a) Riktig svar er B:

A = |A| = \sqrt{A_{x}^{2} + A_{y}^{2}} = \sqrt{7.1^{2} + 1.3^{2}} = 7.2

b) Riktig svar er C: Vektoren A har negativ x-komponent og negativ y-komponent, hvilket betyr at den ligger i 3. kvadrant. La oss først bestemme vinkelen θ mellom negativ x-akse og A. Vi har da

tan θ = \frac{|A_{y}|}{|A_{x}|} = \frac{2.3}{3.7}

som gir θ = 32 grader. Den søkte vinkelen, når vi går mot urviseren fra positiv x-akse til A, må da bli lik 180 + θ = 212 grader.

c) Riktig svar er A: La oss sette C = B − A. Da er

C_{x} = B_{x} − A_{x} = −10.7
C_{y} = B_{y} − A_{y} = 3.9

slik at absoluttverdien til C blir

C = |C| = \sqrt{C_{x}^{2} + C_{y}^{2}} = \sqrt{10.7^{2} + 3.9^{2}} = 11.4

d) Riktig svar er D:

A · B = A_{x}B_{x} + A_{y}B_{y} = 6.1 · (−9.8) + (−5.8) · 4.6 = −86.5

e) Riktig svar er D:

∫_{0}^{1} (x + x^{2}) dx = |_{0}^{1} (\frac{1}{2}x^{2} + \frac{1}{3}x^{3}) = \frac{1}{2} + \frac{1}{3} = \frac{5}{6}

f) Riktig svar er C:

\frac{dr}{dx} = \frac{1}{2} · 2x · \frac{1}{\sqrt{x^{2} + 1}} = \frac{x}{r}

g) Riktig svar er B:

A × B = x̂ × ŷ = ẑ = (0, 0, 1)

Oppgave 2

a) Med 0.20 g pr cm og lengde 100 cm blir trådens masse

m = μ · L = 0.20\frac{g}{cm} · 100 cm = 20 g

Trådens volum er

V = \frac{m}{ρ} = \frac{20 g}{8.92 g/cm^{3}} = 2.24 cm^{3}

slik at tverrsnittet er

t = \frac{V}{L} = \frac{2.24 cm^{3}}{100 cm} ≃ 0.022 cm^{2}

Følgelig er diameteren

d = \sqrt{\frac{4t}{π}} ≃ 0.17 cm = 1.7 mm

b) Vi ser av t(x) at tråden er tynnest ved x = 0 og x = L, dvs på endene. Her er tykkelsen t_{0}(1−1/4) = 3t_{0}/4, dvs 2.25 mm^{2}. Den er tykkest på midten, ved x = L/2. Her er tykkelsen t_{0}, dvs 3 mm^{2}. Med variabelt tverrsnitt t(x) må vi summere opp små massebiter dm = ρ·t(x)·dx, for å bestemme total masse, dvs vi må integrere:

m = ∫ dm = ∫ ρ · t(x) · dx

Her har jeg foreløpig ikke spesifisert noen integrasjonsgrenser, men det er klart at jeg skal integrere ”over hele trådens utstrekning”. Det siste integralet i ligningen over skal gjøres med hensyn på posisjonen x, og dermed gir grensene seg selv, nemlig x = 0 som nedre grense og x = L som øvre grense:

m = ∫_{0}^{L} ρ · t_{0} (1 − (\frac{x − L/2}{L})^{2}) · dx
= ρt_{0}|_{0}^{L} (x − \frac{1}{3L^{2}} (x − L/2)^{3})
= ρt_{0} (L − \frac{1}{3L^{2}} (L^{3}/8 + L^{3}/8))
= \frac{11}{12}ρt_{0}L

Med tallverdier:

m = \frac{11}{12} · 8.92 · 0.03 · 100 ≃ 24.5

som blir i enheten gram, ettersom vi har bare har brukt enhetene g og cm underveis.

c) Midlere (dvs gjennomsnittlige) masse pr kobberatom blir

⟨m⟩ = \frac{63 · 69.17 + 65 · 30.83}{100} · 1.67 · 10^{−27} kg = 1.06 · 10^{−25} kg

De 29 elektronene i hvert kobberatom har tilsammen masse

29 · 9.11 · 10^{−31} kg = 2.6 · 10^{−29} kg

så disse kan trygt neglisjeres.

d) Antall kobberatomer i tråden blir

N = \frac{0.020}{1.06 · 10^{−25}} ≃ 1.89 · 10^{23}

Dette tilsvarer

\frac{1.89 · 10^{23}}{6.02 · 10^{23}} mol ≃ 0.31 mol

e) Protonene i tråden har tilsammen ladning Q_{p} = N · 29 · 1.6 · 10^{−19} C ≃ 877 kC

Elektronene i tråden har like stor ladning, men med motsatt fortegn,

Q_{e} = −Q_{p}

Trådens totale ladning er null.

Oppgave 3

a) Uniform ladning σ_{0} pr flateenhet og areal πR^{2} gir total ladning Q = σ_{0}πR^{2}

Her kunne en kanskje tenke seg at ei slik skive vil ha to sider, og dermed en overflate med totalt areal 2πR^{2}. Men i så fall ville det ha vært opplyst om at skiva hadde en viss tykkelse, og at ladningen befant seg på overflaten av skiva. Men for all del: Spør hvis du er i tvil om hvordan en oppgave skal tolkes!

b) Med ladningstetthet som avtar lineært med avstanden r fra skivas sentrum:

Q = ∫ dq = ∫_{0}^{R} σ_{0} (1 − r/R) · 2πr · dr
= 2πσ_{0}|_{0}^{R} (r^{2}/2 − r^{3}/3R)
= 2πσ_{0} (R^{2}/2 − R^{2}/3)
= \frac{1}{3}πσ_{0}R^{2}

Oppgave 4 Vi kan med god tilnærmelse regne oksygenmolekylene som punktformede legemer ettersom avstanden mellom dem (300 Å) er mye større enn hvert enkelt molekyls utstrekning (av størrelsesorden 2 - 3 Å). Massen til et oksygenmolekyl er m(O_{2}) = (32 g/mol) / (6.02·10^{23} molekyler/mol) = 5.32 ·10^{−23} g/molekyl = 5.32 ·10^{−26} kg. Gravitasjonskraften mellom de to oksygenmolekylene blir da

F_{g} = G\frac{m(O_{2})^{2}}{r^{2}} = 6.67 · 10^{−11} \frac{m^{3}}{kg · s^{2}} · \frac{(5.32 · 10^{−26})^{2} kg^{2}}{(300 · 10^{−10})^{2} m^{2}} = 2.09 · 10^{−46} N

Gravitasjonskrefter er alltid tiltrekkende. Med ett ekstra elektron har hvert ion O_{2}^{−} en ladning q = −e. Den elektriske kraften F_{e} mellom de to ionene blir dermed

F_{e} = \frac{1}{4πε_{0}} \frac{e^{2}}{r^{2}} = 9 · 10^{9} · \frac{(1.6 · 10^{−19})^{2}}{(300 · 10^{−10})^{2}} = 2.56 · 10^{−13} N

Med ladningene i enheten C og avstanden i enheten m, samt SI-verdien 9 · 10^{9} for faktoren 1/4πε_{0} er vi sikret at kraften kommer ut i enheten N. Den elektriske kraften mellom to ladninger med samme fortegn er frastøtende. Forholdet mellom de to kreftene er

\frac{F_{e}}{F_{g}} = \frac{2.56 · 10^{−13}}{2.09 · 10^{−46}} ∼ 10^{33}

Dette betyr at gravitasjonskreftene mellom (”ikke altfor store”) ladete legemer som regel kan neglisjeres i forhold til den elektriske kraften. Dette forholdet er ikke avhengig av avstanden mellom de to ionene ettersom både F_{e} og F_{g} avhenger av innbyrdes avstand som 1/r^{2}.

Oppgave 5

a) På grunn av symmetrien i problemet er det vel innlysende at testladningen Q blir utsatt for null nettokraft, i det kreftene fra to og to ladninger kansellerer hverandre:

b) Vi fjerner en av ladningene, f.eks. den ”øverste”:

Det er da umiddelbart klart at nettokraften på Q blir lik kraften fra den ladningen vi fjernet, med motsatt fortegn, altså -F_{2}. Vi har her brukt superposisjonsprinsippet. Matematisk kunne vi f.eks. formulere løsningen slik: La ∑_{(6)} F_{i} angi nettokraften med alle 6 ladningene til stede og ∑_{(5)} F_{i} nettokraften etter vi har fjernet ladningen som påvirket Q med kraften F_{2}. Da er

∑_{(5)} F_{i} = ∑_{(6)} F_{i} − F_{2} = 0 − F_{2} = −F_{2}

c) Også med et odde antall q-ladninger, f.eks. 7, må nettokraften på testladningen Q i sentrum bli lik null. Anta at nettokraften ikke var null. En dreining av systemet på 360/7^{∘} i papirplanet ville da medføre at nettokraften endret retning. Men systemet er uendret som følge av en slik dreining, så kraften på Q kan heller ikke ha endret seg og må følgelig være null. Hvis noen mot formodning ikke er overbevist, er det jo bare å regne ut nettokraften. Legg Q i origo og (f.eks.) den ene q på x-aksen:

Nettokraften på Q blir da:

F = F_{x}x̂ + F_{y}ŷ
= F_{0} (1 + 2 cos 2π/7 + 2 cos 4π/7 + 2 cos 6π/7) x̂ +

F_{0} (0 + sin 2π/7 + sin(−2π/7) + sin 4π/7 + sin(−4π/7) + sin 6π/7 + sin(−6π/7)) ŷ

= F_{0} (1 + 1.247 − 0.445 − 1.802) x̂
= 0

Her har vi satt absoluttverdien av kraften mellom q og Q lik F_{0} og benyttet at cos(−x) = cos x og sin(−x) = − sin x.