Institutt for fysikk, NTNU TFY4155/FY1003: Elektromagnetisme Vår 2009

Øving 4

Veiledning: Mandag 9. februar og fredag 13. (evt 6.) februar Innleveringsfrist: Fredag 13. februar kl 12.00

Oppgave 1

I forrige øving betraktet vi en elektrisk dipol, bestående av to punktladninger ±q lokalisert på z-aksen i z = ±a/2. Vi regnet ut det eksakte potensialet V_{e}(x, z) og fant

V_{e}(x, z) = \frac{q}{4πε_{0}} (\frac{1}{\sqrt{x^{2} + (z − a/2)^{2}}} − \frac{1}{\sqrt{x^{2} + (z + a/2)^{2}}} )

Deretter viste vi at potensialet i stor avstand fra dipolen (r ≫ a) blir tilnærmet lik (indeks a for ”approximately”)

V_{a}(r, θ) = \frac{qa cos θ}{4πε_{0}r^{2}}

Her er r avstanden fra origo, dvs dipolens midtpunkt, og θ er vinkelen mellom z-aksen og r. (Dipolmomentet er p = qa.) a) I denne første deloppgaven skal vi visualisere dipolpotensialet og sammenligne det tilnærmede uttrykket V_{a} med det eksakte uttrykket V_{e}. Dette kan vi gjøre ved å skrive et program i Octave (eller MatLab) som regner ut differansen, eller kanskje like gjerne det prosentvise avviket Δ = 100 · |(V_{e} − V_{a})/V_{e}| mellom det eksakte og det tilnærmede uttrykket gitt ovenfor, og som plotter V_{e}(x, z), V_{a}(x, z) og ”feilen” Δ(x, z) i tre forskjellige figurer.

Noen tips og kommentarer:

• Konverter først V_{a}(r, θ) til V_{a}(x, z).

• Vurder om du skal plotte potensialene i SI-enhet (V) som funksjon av x og z i en passende enhet, eller om du skal skrive om uttrykkene for V_{e} og V_{a} og plotte dimensjonsløse potensialer som funksjon av dimensjonsløse koordinater.

• Finn et fornuftig område i (x, z)-planet for plottene dine.

• Det kan være lurt å begrense også ”funksjonsaksen” i plottene dine, da potensialet blåser opp i nærheten av ladningene.

• Noen kommandoer og funksjoner som du kan få bruk for: linspace, meshgrid, mesh, axis, caxis, figure, xlabel, ylabel, zlabel. Let opp dokumentasjon for hjelp til å bruke disse. (Google for eksempel gnu octave manual (for Octave) eller mathworks matlab manual (for MatLab).)

• Det viktigste poenget med denne oppgaven er å få litt trening i å bruke programmering i tilknytning til det å jobbe med fysikk. Du vil få flere anledninger senere.

b) Tilbake til papir og blyant! Ta utgangspunkt i det tilnærmede uttrykket V_{a}(r, θ) og bestem det elektriske feltet E(r, θ) = E_{r}r̂ + E_{θ}θ̂ i stor avstand fra dipolen. Det oppgis at gradientoperatoren i kulekoordinater er

∇ = r̂\frac{∂}{∂r} + θ̂\frac{1}{r} \frac{∂}{∂θ} + ϕ̂\frac{1}{r sin θ} \frac{∂}{∂ϕ}

[Fasit: E_{r} = p cos θ/2πε_{0}r^{3}, E_{θ} = p sin θ/4πε_{0}r^{3}.] Kontroller om disse uttrykkene er fornuftige for θ = 0 og for θ = π/2. Hva med r = 0?

c) På grunn av rotasjonssymmetrien omkring z-aksen kan vi f.eks. anta at vi befinner oss i xz-planet. Bestem det elektriske feltet E(x, z) = E_{x}x̂+E_{z}ẑ uttrykt i kartesiske koordinater for r ≫ a. Tips: Ta utgangspunkt i uttrykkene for E_{r} og E_{θ} i punkt b). Tegn gjerne opp en figur og finn på den måten sammenhengen mellom koordinatene (x, z) og (r, θ), og feltkomponentene E_{x}, E_{z} og E_{r}, E_{θ}. [Fasit: E_{x} = 3pxz/4πε_{0}(x^{2} + z^{2})^{5/2}, E_{z} = p(2z^{2} − x^{2})/4πε_{0}(x^{2} + z^{2})^{5/2}.] d) En ideell elektrisk dipol tilsvarer (formelt) at vi lar avstanden a mellom q og −q gå mot null, uten at dipolmomentet p = qa forsvinner. Det innebærer at vi må la q → ∞ og a → 0 samtidig, og på en slik måte at produktet p = qa blir endelig (dvs verken null eller uendelig). I praksis tilsvarer dette at vi befinner oss i stor avstand r fra dipolen, slik vi nettopp har gjort i denne oppgaven. Det elektriske feltet fra en slik ideell elektrisk dipol kan skrives på såkalt koordinatfri form:

E_{dipol}(r) = \frac{1}{4πε_{0}r^{3}} [3 (p · r̂) r̂ − p]

Vis at dette uttrykket er i samsvar med E(r, θ) og E(x, z) som du regnet ut i hhv b) og c).

Oppgave 2 (fra tidligere midtsemesterprøver)

a) Fire punktladninger, to positive og to negative (q = 9 μC), er plassert i hjørnene på et kvadrat med sidekanter 5 cm, som vist i figuren. Hva er systemets potensielle energi?

A 19 J
B Null
C -7 J
D -38 J

b) To punktladninger Q_{1} = 69 nC og Q_{2} = −98 nC er plassert i xy-planet, som vist i figuren. Et elektron flyttes fra punkt A til punkt B. Hvor stor endring gir denne forflytningen i systemets potensielle energi? (”Systemet” = de to punktladningene og elektronet.) (1 eV = 1.6 · 10^{−19} J)

A -1 keV
B -1 eV
C 1 eV
D 1 keV

c) Hvor stor er radien til en (kuleformet) ekvipotensialflate på 50 V med en punktladning 10 nC i sentrum? Null potensial velges uendelig langt unna.

A 1.3 m
B 1.8 m
C 3.2 m
D 5.0 m

d) Hvis potensialet V som funksjon av avstanden r fra en ladningsfordeling er som vist i graf nr 1, hvilken graf viser da det elektriske feltet E som funksjon av avstanden r?

A 2
B 3
C 4
D 5

e) Potensialet i et område er

V (x, y, z) = (2 V/m)x + (3 V/m)y + (4 V/m)z

Da er x-komponenten av det elektriske feltet i dette området

A –2 V/m
B –3 V/m
C –4 V/m
D –9 V/m