TFY4104 Fysikk. Institutt for fysikk, NTNU. Løsningsforslag til Test 3.

Oppgave 1 W = |ΔU| = mgh = 1.0 · 9.8 · 10 J = 98 J. Riktig svar: D.

Oppgave 2 K = W, dvs mv^{2}/2 = mgh, v = \sqrt{2gh} = \sqrt{2 · 9.8 · 10} m/s = 14 m/s. Riktig svar: D.

Oppgave 3 Ballens mekaniske energi før den faller ned er U = mgh. På bakken er U = 0 og K = mv^{2}/2. Differansen må tilsvare friksjonsarbeidet som luftmotstanden har gjort på bordtennisballen:

W_{f} = U − K = m(gh − v^{2}/2) = 0.0027 · (9.8 · 10 − 2^{2}/2) ≃ 0.26 J.

Riktig svar: A.

Oppgave 4 Terminalhastigheten er den maksimale hastigheten et legeme kan oppnå når det faller under påvirkning av tyngdekraft og luftmotstand. Da er hastigheten konstant, og summen avkrefter på legemet er lik null. Dvs:

kv = mg ⇒ k = mg/v = 0.0027 · 9.8/2 ≃ 0.013 kg/s = 13 g/s.

Riktig svar: A.

Oppgave 5

W_{f} = fx = μNx = μmg cos α · x = 0.2 · 30 · 9.8 · (\sqrt{3}/2) · 5 ≃ 255 J.

Riktig svar: E.

Oppgave 6 Kassa har falt en høyde x · sin α = 5 · 0.5 = 2.5 m og dermed redusert sin potensielle energi med ΔU = 30 · 9.8 · 2.5 = 735 J. Økningen i kassas kinetiske energi er dermed K = ΔU − W_{f} = 735 − 255 = 480 J. Kassas fart ved enden av lasteplanet blir da v = \sqrt{2K/m} = \sqrt{2 · 480/30} = \sqrt{32} ≃ 5.7 m/s. Riktig svar: C.

Oppgave 7 Her kan vi bruke bevaring av mekanisk energi:

mgH = mgD + mv^{2}/2 ⇒ v = \sqrt{2g(H − D)}.

Riktig svar: C.

Oppgave 8 Vogna mister kontakten med underlaget hvis normalkraften fra underlaget på vogna (rettet nedover i topppunktet) reduseres til null. Da må tyngdekraften mg alene sørge for å gi vogna en sentripetalakselerasjon v^{2}/(D/2) = 2v^{2}/D. Følgelig må hastigheten være minst v_{min} = \sqrt{gD/2}. Riktig svar: A.

Oppgave 9 Fra oppgave 7 kjenner vi farten v i loopens topp-punkt, og denne må minst være lik den utregnede v_{min} i oppgave 8. Dermed:

\sqrt{2g(H − D)} ≥ \sqrt{gD/2} ⇒ H ≥ 5D/4.

Riktig svar: B.

Oppgave 10 Normalkraften har utført null arbeid på hopperen, fordi N hele tiden står normalt på forflytningen dr. Riktig svar: A.

Oppgave 11 Ved vinkelen ϕ har hopperen mistet den potensielle energien mgR sin ϕ. Bevaring av mekanisk energi gir dermed

mv^{2}/2 = mgR sin ϕ ⇒ v = \sqrt{2gR sin ϕ}.

Riktig svar: E.

Oppgave 12 Normalkraften N, rettet inn mot sirkelens sentrum, og tyngdekraftens normalkomponent mg sin ϕ, rettet bort fra sirkelens sentrum gir til sammen m ganget med sentripetalakselerasjonen v^{2}/R. Med v fra oppgave 11 har vi da

mv^{2}/R = N − mg sin ϕ ⇒ N = 2mg sin ϕ + mg sin ϕ = 3mg sin ϕ.

Riktig svar: C.

Oppgave 13 N2 radielt blir som i oppgave 12, men uten at vi kan si noe om hva farten v er. Men vi kan si v = Rϕ̇, slik at

N = mv^{2}/R + mg sin ϕ = mRϕ̇^{2} + mg sin ϕ.

N2 tangentielt:

mRϕ̈ = mg cos ϕ − f.

Med f = μN, innsetting av uttrykket for N og litt rydding finner vi

ϕ̈ + μϕ̇^{2} + \frac{g}{R} (μ sin ϕ − cos ϕ) = 0.

Riktig svar: B.

Oppgave 14 Tyngdekraften GmM/R^{2} må sørge for planetens uniforme sirkelbevegelse, og dermed sentripetalakselerasjonen v^{2}/R:

GmM/R^{2} = mv^{2}/R ⇒ v = \sqrt{GM/R}.

Riktig svar: C.

Oppgave 15 Her har vi valgt U(∞) = 0. Dermed, i avstand R:

U(R) = − ∫_{∞}^{R} \frac{GmM}{r^{2}} dr = −\frac{GmM}{R} .

Riktig svar: A.

Oppgave 16 Relativ økning i påkrevd kraft S, med en ekstra runde med snor rundt sylinderen:

\frac{ΔS}{S} = \frac{exp(μϕ + 2πμ) − exp(μϕ)}{exp(μϕ)} = exp(2πμ) − 1 = 1.73 = 173% ≃ 170%.

Riktig svar: D.

Oppgave 17 All tilført energi går med til å øke bilens kinetiske energi, fra null til sluttverdien K = mv^{2}/2 = 1000 · (100/3.6)^{2}/2 ≃ 386 kJ. Hvis dette skjer i løpet av 6 sekunder, blir midlere tilført effekt ⟨P ⟩ = K/t = 386/6 ≃ 64 kJ/s = 64 kW. Riktig svar: D.

Oppgave 18 Konstant akselerasjon (av bilens konstante masse) betyr at den ytre kraften F også er konstant. Siden vi kan skrive P = F v, må det bety at instantan effekt P er størst når hastigheten v er størst. Her er det helt til slutt. Riktig svar: E.

Oppgave 19 Vi har P = F v = mav = m(dv/dt)v, dvs v dv = (P/m) dt. Denne ligningen kan vi integrere på begge sider, fra 0 til v og fra 0 til t på hhv venstre og høyre side. Dette gir v^{2}/2 = P t/m, dvs v(t) = \sqrt{2P t/m}. Riktig svar: D.

Oppgave 20 Denne konstante effekten må vel nesten være like stor som den midlere effekten regnet ut i oppgave 17? Dvs, 64 kW. Riktig svar: E.