TFY4104 Fysikk. Institutt for fysikk, NTNU. Løsningsforslag til Test 5.

Oppgave 1 Med all masse på aksen blir treghetsmomentet mhp aksen null. Riktig svar: A.

Oppgave 2 Med to stk punktmasser 16u i avstand 1.16 Å fra aksen blir treghetsmomentet I_{x} = 2 · 16u · 1.16^{2} Å^{2} = 43.1 uÅ^{2}. Riktig svar: D.

Oppgave 3 Det ene oksygenatomet ligger på aksen, de to andre er i avstand 1.28 Å · sin 58.4^{∘} = 1.09 Å fra aksen. Da blir I_{x} = 2 · 16u · 1.09^{2} Å^{2} = 38.0 uÅ^{2}. Riktig svar: C.

Oppgave 4 Tipset gikk i retning av å dele plata inn i små biter med sidekanter dx og dy og masse dm = Mdxdy/L^{2}, i posisjon (x, y), slik at bitens kvadrerte avstand til aksen er ρ^{2} = x^{2} + y^{2}. Integralet over x og y fra −L/2 til L/2, slik at vi får med hele plata, gir det vi er ute etter:

I_{0} = ∫_{−L/2}^{L/2} ∫_{−L/2}^{L/2}(x^{2} + y^{2})dxdyM/L^{2}
= (M/L) · (1/3) · (L/2)^{3} · 2 · 2
= \frac{1}{6}ML^{2}

(Ved integrasjon av x^{2} gir integralet over y bare en faktor L, mens x^{3}/3 innsatt øvre og nedre grense gir 2L^{3}/24. Tilsvarende for y^{2}, med ombytte av x og y.) Riktig svar: C.

Oppgave 5 Tipset baserer seg på at plata ligger i xy-planet, med CM i origo, og med aksen langs x-aksen. Da kan vi dele opp plata i tynne staver parallelle med x-aksen, med bredde dy, lengde L, masse dm = MLdy/L^{2} = dyM/L, og i avstand kvadrert lik ρ^{2} = y^{2} fra aksen. Da blir

I = ∫ ρ^{2}dm = ∫_{−L/2}^{L/2} y^{2}dyM/L = \frac{1}{12}ML^{2}.

Alternativt kunne vi ha delt plata inn i tynne staver parellelle med y-aksen, med bredde dx, lengde L, masse dm = dxM/L, og treghetsmoment dI = dmL^{2}/12, kjent fra forelesningene. Da blir

I = ∫ dI = ∫_{−L/2}^{L/2} dx · ML/12 = \frac{1}{12}ML^{2}.

Samme svar, selvsagt. Riktig svar: A.

Oppgave 6 La oss følge tipsene i oppgaven. Trekanten i kvadranten (x, y) = (+, +) har da treghetsmoment mhp x-aksen lik

I_{x} = ∫_{0}^{L/\sqrt{2}} y^{2}Mdy(L/\sqrt{2} − y)/L^{2}
= (M/L^{2})|_{0}^{L/\sqrt{2}} (\frac{Ly^{3}}{3\sqrt{2}} − \frac{y^{4}}{4} )
= ML^{2} (\frac{1}{12} − \frac{1}{16})
= \frac{1}{48}ML^{2}.

Dermed ML^{2}/12 for hele plata, siden de fire trekantene bidrar like mye til totalt treghetsmoment. I likhet med forrige oppgave kan tynne staver legges andre veien, på tvers av x-aksen. Riktig svar: A.

Oppgave 7 Total kinetisk energi er summen av translasjons- og rotasjonsenergi (c = 2/5):

K = (1 + c)MV^{2}/2 = (7/10) · 0.130 · 0.50^{2} ≃ 0.023 J = 23 mJ.

Riktig svar: C.

Oppgave 8 Snookerkulas spinn:

L_{s} = I_{0}ω = \frac{2}{5}MR^{2} · \frac{V}{R} = \frac{2}{5}MRV = 0.4 · 0.130 · \frac{52.5 · 10^{−3}}{2} · 0.50 ≃ 6.8 · 10^{−4} = 0.68 mJs.

Riktig svar: B.

Oppgave 9 Vinkelen mellom en langside og diagonalen er

α = arctan(1778/3569) = 26.48^{∘}.

Da er avstanden fra diagonalen til et midthull

d = (3569/2) mm · sin 26.48^{∘} ≃ 796 mm.

Banedreieimpulsen relativt et midthull er derfor

L_{b} = MV d = 0.130 kg · 0.50 m/s · 0.796 m ≃ 52 mJs.

Riktig svar: D.

Oppgave 10 La oss si at de fleste voksne mennesker har masse mellom 50 og 100 kg. Hvis vi deretter skriver treghetsmomentet på formen I_{0} = MR_{0}^{2}, med såkalt ”treghetsradius” R_{0}, koker dette ned til å anslå et rimelig intervall som dekker treghetsradien for de fleste voksne mennesker. Tja ... la oss satse på at R_{0} er minst 10-15 cm og maksimalt 25-30 cm, kanskje? Da vil I_{0} ligge mellom

I_{0}^{min} = 50 · 0.10 · 0.10 = 0.5 kgm^{2}

og

I_{0}^{max} = 100 · 0.30 · 0.30 = 3 kgm^{2}.

Alternativ B passer best med dette estimatet. Riktig svar: B.

Oppgave 11 Total kinetisk translasjonsenergi:

K_{trans} = \frac{1}{2}MV^{2}.

Hjulenes rotasjonsenergi:

K_{rot} = 4 · \frac{1}{2}I_{0}ω^{2} = 4 · \frac{1}{2} · \frac{1}{2}mr^{2} · \frac{V^{2}}{r^{2}} = mV^{2}.

Dermed:

\frac{K_{rot}}{K_{trans}} = \frac{m}{M/2} = \frac{2m}{M} = \frac{30}{1000}.

Riktig svar: C.

Oppgave 12 N2 for rotasjon om aksen gjennom CM: τ = ΔL/Δt, med dreiemoment τ = F R. Her er videre ΔL = L_{s} = I_{0}ω. Dermed:

ω = \frac{L_{s}}{I_{0}} = \frac{τΔt}{MR^{2}} = \frac{F Δt}{MR} = \frac{45 · 0.5}{5 · 0.3} = 15 radianer/sekund.

Riktig svar: C.

Oppgave 13 N2 for rotasjon om akse gjennom CM:

fR = τ = I_{0}α = MR^{2}A/R = MRA ⇒ f = MA = 0.1 · 0.6 = 0.06 N.

Riktig svar: A.

Oppgave 14 N2 nedover langs skråplanet: Mg sin β − f = MA, der β er helningsvinkelen. Dermed:

β = arcsin \frac{f + MA}{Mg} = arcsin \frac{2MA}{Mg} = arcsin \frac{1.2}{9.8} ≃ 7^{∘}.

Riktig svar: A.

Oppgave 15 Kassa begynner å gli hvis tyngdens komponent langs skråplanet, Mg sin β overstiger maksimal statisk friksjonskraft μ_{s}N = μ_{s}Mg cos β, der β er helningsvinkelen; dvs når β = arctan μ_{s}, som her er ca 52 grader. Men her vil det for β > 45 grader bli et netto dreiemoment mhp nedre fremre hjørne på kassa, og da vil kassa velte. Riktig svar: D.

Oppgave 16 N2: Ma = Mg − S, der S er snordraget. N2, rotasjon om CM: τ = SR = I_{0}α = I_{0}a/R. Her er α jojoens vinkelakselerasjon. Siste ligning gir S = I_{0}a/R^{2}, som innsatt i N2 gir a = g/(1 + I_{0}/MR^{2}). Riktig svar: C.

Oppgave 17 Når stanga har rotert en vinkel ϕ virker tyngdekraften på stanga med et dreiemoment relativt akslingen A lik τ = Mg(L/2) sin ϕ, og i følge N2 for rotasjon om A skal dette være lik I_{A}α, der I_{A} = ML^{2}/3 (oppgitt) og α er vinkelakselerasjonen, som vi skal bestemme. Dermed, α = (3g/2L) sin ϕ. Riktig svar: E.

Oppgave 18 Her bør vi umiddelbart forvente at a = V^{2}/R, dvs sentripetalakselerasjonen: Hjulet beveger seg med konstant hastighet mot høyre, som ikke bidrar til dets akselerasjon, samtidig som det roterer med vinkelhastighet ω = V/R, noe som gir akselerasjon V^{2}/R, med retning inn mot hjulets sentrum, for alle punkter på periferien. Med rett fram regning:

v_{x} = V − Rω cos ωt , v_{y} = Rω sin ωt
a_{x} = Rω^{2} sin ωt , a_{y} = Rω^{2} cos ωt
a = \sqrt{a_{x}^{2} + a_{y}^{2}} = Rω^{2} = V^{2}/R.

Riktig svar: A.

Oppgave 19 Konstant hastighet betyr null nettokraft. Dermed f = 0. Riktig svar: E.

Oppgave 20 Hastigheten V avtar. Da avtar også vinkelhastigheten ω = V/R. Da må det være et netto ytre dreiemoment mhp en akse gjennom CM konsistent med dette, og det er det bare friksjonskraften som kan klare. Og da må denne virke oppover skråplanet. Riktig svar: A.