TFY4104 Fysikk. Institutt for fysikk, NTNU. Løsningsforslag til Test 8.

Oppgave 1

E(x) = −x̂\frac{dV}{dx} = (20 V/m) x̂.

Riktig svar: C.

Oppgave 2

E(x) = \frac{σ}{2ε_{0}}
⇒ V (x) = V (0) − \frac{σx}{2ε_{0}}
⇒ x = \frac{2ε_{0}}{σ} (V (0) − V (x))
= \frac{2 · 8.85 · 10^{−12}}{8.0 · 10^{−9}} · 100 m = 0.22 m = 22 cm.

Riktig svar: E.

Oppgave 3

V (r) = \frac{Q}{4πε_{0}r}
⇒ r = \frac{Q}{4πε_{0}V} = 9 · 10^{9} · 1/5.3 · 10^{3} = 1698 km.

Som skulle ta oss omtrent fra Trondheim til Paris. Riktig svar: D.

Oppgave 4 Hvis vi befant oss i et medium med relativ permittivitet lik 17, vil avstanden til stedet med potensial 5.3 kV reduseres med en faktor 17, dvs r = 100 km. Da er vi omtrent på Oppdal. Riktig svar: B.

Oppgave 5 x-komponenten av E er −dV/dx, her 4.0 V/m. Riktig svar: B.

Oppgave 6 Det elektriske feltet i forrige oppgave er

E = x̂(4.0 V/m) − ŷ(3.0 V/m) − ẑ(7.0 V/m).

Den totale feltstyrken er

E = |E| = \sqrt{E_{x}^{2} + E_{y}^{2} + E_{z}^{2}} = \sqrt{16 + 9 + 49} V/m = 8.6 V/m.

Riktig svar: E.

Oppgave 7 Vi bringer den aktuelle vinkelen α inn ved å danne skalarproduktet mellom to vektorer som har α mellom seg:

E · E_{z}ẑ = E · E_{z} · cos α.

Skalarproduktet på venstre side er samtidig lik E_{z}^{2}. Dermed er

α = arccos(E_{z}/E) = arccos(7.0/\sqrt{74}) = 36^{∘}.

Riktig svar: A.

Oppgave 8

E_{max} = \frac{Q_{max}}{4πε_{0}R^{2}}
⇒ Q_{max} = 4πε_{0}R^{2}E_{max}
= (9 · 10^{9})^{−1} · 0.03^{2} · 3 · 10^{6} C = 3 · 10^{−7} C = 0.3μC.

Riktig svar: B.

Oppgave 9 Metallkulene og metalltråden danner en sammenhengende elektrisk leder, og i elektrostatisk likevekt er potensialet konstant overalt på en slik sammenhengende leder. Riktig svar: A.

Oppgave 10 Metalltråden som forbinder de to kulene er svært lang i forhold til begge kulenes størrelse. Da er det naturlig å anta at de to ladde kulene ikke påvirker hverandre direkte med coulombkrefter. Med andre ord, vi må kunne anta at begge kuler har sin ladning jevnt fordelt på overflaten. (Husk: Ingen netto ladning inne i en elektrisk leder i elektrostatisk likevekt.) Likt potensial på kule 1 og kule 2, V_{1} = V_{2}, betyr at Q_{1}/R = Q_{2}/(R/4), dvs Q_{1}/Q_{2} = 4. Dermed:

E_{1}(R)/E_{2}(R/4) = (Q_{1}/R^{2})/(Q_{2}/(R/4)^{2}) = Q_{1}/16Q_{2} = 1/4,

med andre ord E_{2}(R/4) = 4E_{1}(R), størst på den lille kula. Riktig svar: C.

Oppgave 11 Siden F ∼ 1/r^{2}, vil en reduksjon fra r til 0.7r bety at F øker med en faktor 1/(0.7^{2}) = 1/0.49 ≃ 2. Riktig svar: D.

Oppgave 12 Den elektriske feltstyrken E(r) inne i plastlaget reduseres med en faktor lik plastlagets relative permittivitet: E(r) = E_{0}(r)/ε_{r}. Riktig svar: C.

Oppgave 13 Vi har E = E_{0} − E_{i}, dvs E_{i}(r) = E_{0}(r) − E(r) = E_{0}(r)(1 − 1/ε_{r}) = E_{0}(r)(ε_{r} − 1)/ε_{r}. Riktig svar: A.

Oppgave 14 Siden ladningen Q lager et felt E_{0} og ladningen q lager et felt E_{0}(ε_{r} − 1)/ε_{r}, må vi ha q = Q(ε_{r} − 1)/ε_{r}. Riktig svar: E.

Oppgave 15 Den elektriske feltstyrken reduseres i området R < r < 2R. Det vil redusere verdien av integralet av E(r) fra uendelig til r = R, og dermed verdien av potensialet på metallkulas overflate, V (R). Riktig svar: B.

Oppgave 16 Mellom platene er E = σ/ε_{0} = Q/ε_{0}A, slik at potensialforskjellen mellom platene er V = Ed = Qd/ε_{0}A. Kapasitansen blir da

C = Q/V = ε_{0}A/d.

Riktig svar: A.

Oppgave 17 Tredjedelen fylt med et dielektrikum (med relativ permittivitet 4) har plateavstand d og areal A/3, den resterende luftfylte delen har plateavstand d og areal 2A/3. Total kapasitans for parallellkoblede kapasitanser er gitt ved summen av enkeltkapasitanser. Dermed:

C = 2ε_{0}A/3d + 4ε_{0}A/3d = 2ε_{0}A/d = 2C_{0}.

Riktig svar: D.

Oppgave 18 Tredjedelen fylt med et dielektrikum (med relativ permittivitet 4) har plateavstand d/3 og areal A, den resterende luftfylte delen har plateavstand 2d/3 og areal A. Total kapasitans for seriekoblede kapasitanser er gitt ved den inverse summen av inverse enkeltkapasitanser. Dermed:

C = (2d/3ε_{0}A + d/12ε_{0}A)^{−1} = 4C_{0}/3.

Riktig svar: C.

Oppgave 19 De 8 ulike måtene er: Alle 3 i serie. Alle 3 i parallell. En av de tre i parallell med en seriekobling av de to andre – 3 muligheter. En av de tre i serie med en parallellkobling av de to andre – 3 muligheter. Riktig svar: D.

Oppgave 20 Alle 3 i parallell gir maksimal kapasitans på (3+4+5) nF = 12 nF. Riktig svar: E.