\documentclass[11pt]{article}
\usepackage{epsfig}
\usepackage[norsk]{babel}
\topmargin=-1.5cm
\oddsidemargin=-1.0cm
\evensidemargin=-1.0cm
\textheight=25cm
\textwidth=18cm
\setlength{\parindent}{0cm}

\begin{document}
\newcommand{\bold}[1]{\mbox{\boldmath $#1$}}

\begin{center}
\begin{bf}
TFY4104 Fysikk. Institutt for fysikk, NTNU. H{\o}sten 2016.
\end{bf}
\end{center}

\vspace{3mm}
{\bf Harmonisk oscillator: Alternative former p{\aa} l{\o}sningen} \\

Den generelle l{\o}sningen av ligningen for en harmonisk oscillator,
$$\ddot{x} + \omega_0^2 x = 0,$$
kan skrives 
$$x(t) = c_1 \cos \omega_0 t + c_2 \sin \omega_0 t$$
eller
$$x(t) = A \cos (\omega_0 t + \phi).$$
I begge tilfeller har vi to forel{\o}pig ubestemte konstanter, hhv $c_1$ og $c_2$
og $A$ og $\phi$, som kan fastlegges med to initialbetingelser, f.eks $x(0) = x_0$
og $\dot{x}(0) = v_0$.

Hva m{\aa} sammenhengene v{\ae}re mellom disse konstantene for at de to l{\o}sningene
skal v{\ae}re ekvivalente? Det finner vi ut ved {\aa} skrive den siste p{\aa} samme
form som den f{\o}rste, ved hjelp av den trigonometriske identiteten
$$\cos(a+b) = \cos a \cos b - \sin a \sin b.$$
Med $a = \omega_0 t$ og $b = \phi$ har vi da
$$A \cos (\omega_0 t + \phi) = A \cos \omega_0 t \cos \phi - A \sin \omega_0 t \sin\phi.$$
N{\aa} m{\aa} leddene som inneholder $\cos \omega_0 t$ v{\ae}re like, og leddene som
inneholder $\sin \omega_0 t$ m{\aa} v{\ae}re like:
\begin{eqnarray*}
c_1 \cos \omega_0 t &=& A \cos \omega_0 t \cos \phi, \\
c_2 \sin \omega_0 t &=& -A \sin \omega_0 t \sin \phi.
\end{eqnarray*}
Med andre ord,
\begin{eqnarray*}
c_1 &=& A \cos \phi, \\
c_2 &=& -A \sin \phi.
\end{eqnarray*}
N{\aa} er vi i m{\aa}l dersom vi kjenner $A$ og $\phi$ og skal bestemme $c_1$ og $c_2$.
Hvis vi kjenner $c_1$ og $c_2$, derimot, m{\aa} vi l{\o}se de to siste ligningene med
hensyn p{\aa} $A$ og $\phi$. Da m{\aa} vi eliminere hhv $\phi$ og $A$, for {\aa} st{\aa} 
igjen med en ligning som bare inneholder $A$ eller $\phi$ (samt $c_1$ og $c_2$, selvsagt).
Divisjon av siste ligning med den f{\o}rste eliminerer $A$ og gir
$$\frac{c_2}{c_1} = -\tan\phi,$$
dvs
$$\phi = -\arctan \frac{c_2}{c_1}.$$
Kvadrering av begge ligninger og addisjon av de to kvadrerte ligningene eliminerer $\phi$ og gir
$$c_1^2+c_2^2=A^2\left(\cos^\phi+\sin^\phi\right) = A^2,$$
siden $\cos^2 \alpha +\sin^2 \alpha = 1$ for alle verdier av $\alpha$. Dermed:
$$A = \sqrt{c_1^2 + c_2^2}.$$

\end{document}