\documentclass[11pt]{article}
\usepackage{epsfig}
\usepackage[norsk]{babel}
\topmargin=-1.5cm
\oddsidemargin=-1.0cm
\evensidemargin=-1.0cm
\textheight=25cm
\textwidth=18cm
\setlength{\parindent}{0cm}

\begin{document}
\newcommand{\bold}[1]{\mbox{\boldmath $#1$}}

\begin{center}
\begin{bf}
TFY4104 Fysikk. Institutt for fysikk, NTNU. H{\o}sten 2017.

Eksperimentelt prosjekt: Introduksjonsoppgave
\end{bf}
\end{center}

\vspace{5mm}

{\em Problemstilling}

I Fysikk (1 og 2) p{\aa} videreg{\aa}ende skole har vi l{\ae}rt om krefter, arbeid og energi.
Et legeme, for eksempel en kloss, som faller fritt (uten luftmotstand) 
i tyngdefeltet fra Jorda utsettes for 
tyngdekraften $mg$, der $m$ er klossens masse og $g = 9.81$ m/s$^2$ er tyngdens akselerasjon.
N{\aa}r klossen har falt en h{\o}yde $h$, er den potensielle energien $U$ redusert med $mgh$.
Til gjengjeld har klossens kinetiske energi $K = mv^2/2$ blitt tilsvarende st{\o}rre. Her er
$v$ klossens hastighet. Klossens mekaniske energi, $E = U + K$, er bevart.
Hvis klossen slippes fra h{\o}yden $h$ over bakken med null starthastighet, kan vi n{\aa}
regne ut dens hastighet rett f{\o}r den treffer bakken:
$$\frac{1}{2}mv^2 = mgh \;\;\Rightarrow \;\; v = \sqrt{2gh}.$$
Samme prinsipp kan vi bruke for en kloss som glir uten friksjon nedover et skr{\aa}plan.
Hvis skr{\aa}planets helningsvinkel er $\beta$ og klossen har glidd en lengde $x$ nedover
skr{\aa}planet, har den ''falt'' en h{\o}yde $h = x \sin\beta$ i tyngdefeltet. Klossens
hastighet blir da $v = \sqrt{2gh} = \sqrt{2gx\sin\beta}$. \\

Vi kan bruke samme grunnleggende prinsipp -- energibevarelse -- for et legeme som {\em ruller}
nedover et skr{\aa}plan. Da m{\aa} vi f{\o}rst finne ut om tilsvarende uttrykk
for potensiell og kinetisk energi gjelder for noe som ruller. \\

Potensiell energi er fremdeles $U = mgh$, siden $U$ ikke avhenger av hvordan legemet beveger
seg, men bare av hvor h{\o}yt det befinner seg i tyngdefeltet. \\

Kinetisk energi, derimot, vil n{\aa} best{\aa} av to bidrag: 
Ett som skyldes translasjonsbevegelsen nedover langs skr{\aa}planet, 
og ett som skyldes rotasjonsbevegelsen omkring
tyngdepunktet. For symmetriske objekter som kuler, kuleskall, ringer og sylindre er det vel
{\aa}penbart at tyngdepunktet ligger i sentrum. Da er det ikke vanskelig {\aa}
bestemme rotasjonsenergien for en tynn ring eller en hul sylinder:
N{\aa}r sylinderen har rullet en lengde tilsvarende omkretsen $2\pi R$ langs skr{\aa}planet,
har alle deler av sylinderen rotert og forflyttet seg like langt. Med andre ord, sylinderen
har like stor hastighet assosiert med translasjons- og rotasjonsbevegelsen. Det betyr at
begge typer bevegelse bidrar med like mye, $mv^2/2$, til kinetisk energi, slik at 
sylinderens totale kinetiske energi blir dobbelt s{\aa} stor, $mv^2$.
En hul sylinder som ruller en lengde $x$ nedover et skr{\aa}plan med helningsvinkel $\beta$,
forventes dermed {\aa} oppn{\aa} en hastighet bestemt ved $mv^2 = mgx\sin\beta$,
dvs $v=\sqrt{gx\sin\beta}$.  \\

Vi {\o}nsker {\aa} finne ut om dette resonnementet holder ved {\aa} m{\aa}le hastigheten $v$
til en hul sylinder som ruller nedover et skr{\aa}plan. \\

{\em Plan}

Vi bruker en planke med glatt overflate som skr{\aa}plan. Som rullende objekt bruker vi
en hul metallsylinder. Sylinderens bevegelse filmes med et hurtigkamera som tar 100 bilder
pr sekund. Filmen importeres og analyseres i programmet {\em tracker}. En start- og sluttposisjon
avmerkes p{\aa} skr{\aa}planet. Vi gjentar eksperimentet 10 ganger og beregner en middelverdi
for hastigheten, samt en m{\aa}leusikkerhet i form av et standardavvik.
Sammenhengen mellom hastigheten $v$ og tilbakelagt distanse $x$ er basert p{\aa} ideelle
betingelser, der vi har antatt at all mekanisk energi er bevart. Vi forventer at m{\aa}lt
hastighet vil bli noe mindre enn dette, for eksempel p{\aa} grunn av luftmotstand. \\




\end{document}