\documentclass[11pt]{article}
\usepackage{epsfig}
\usepackage[norsk]{babel}
\topmargin=-1.0cm
\oddsidemargin=-1.0cm
\evensidemargin=-1.0cm
\textheight=24cm
\textwidth=18cm
\setlength{\parindent}{0cm}
\begin{document}
\newcommand{\bold}[1]{\mbox{\boldmath $#1$}}
\newcommand{\half}{\frac{1}{2}}
\noindent
\begin{center}

\begin{bf}
FY1001/TFY4145 Mekanisk fysikk. Institutt for fysikk, NTNU.  H{\o}sten 2014.
\end{bf}

\vspace{0.5cm}
\begin{large}
L{\o}sningsforslag til {\o}ving 6
\end{large}
\end{center}


Vi utleder f{\o}rst ligningen som fastlegger vinkelen $\phi_r$, dvs
overgangen fra ren rulling til sluring. N2 for rotasjon om CM, $fr=I_0\alpha$,
gir $f = I_0\alpha/r=cMr^2(A/r)/r=cMA$. Vi setter dette inn for $f$ i ligningen
fra N2 langs banen, $Mg\sin\phi_r-f=MA$ og l{\o}ser mhp $A$:
$$Mg\sin\phi_r-cMA=MA \quad\Rightarrow\quad A = \frac{g\sin\phi_r}{c+1}.$$
Under ren rulling er mekanisk energi bevart. Anta at $V=0$ ved $\phi=0$. Da er
$$Mg(r+R)=Mg(r+R)\cos\phi_r+\frac{1}{2}(c+1)MV^2,$$
dvs
$$\frac{V^2}{r+R}=\frac{2g(1-\cos\phi_r)}{c+1}.$$
Dette uttrykket bruker vi i N2 normalt banen, kombinert med at 
$f=f{\rm max}=\mu_s N$ ved overgangen til sluring:
$$N=\frac{f}{\mu_s}=\frac{cMA}{\mu_s}=\frac{cMg\sin\phi_r}{\mu_s(c+1)}=
Mg\cos\phi_r-M\frac{2g(1-\cos\phi_r)}{c+1}.$$
Divisjon med $Mg$, multiplikasjon med $c+1$ og litt rydding gir endelig
$$(c+3)\cos\phi_r - 2 = \frac{c}{\mu_s}\sin\phi_r.$$

\vspace{5mm}
{\bf Bordtennisballen}

Jeg har brukt $\mu_s=\mu_k=0.25$, $R=78.5$ cm og $V(t=0)=V(1)=1.5$ cm/s. Figuren
med 4 ''subplott'' blir da slik:

%%FIGURE
\vspace{0.3cm}
\centerline{\epsfxsize=7.0in \epsfbox{bordtennisball_fig1.eps}}
\vspace{0.5cm}
%%END FIGURE

\newpage

{\em Overgang fra ren rulling til sluring}

Den numeriske l{\o}sningen viser at sluring starter ved vinkelen
$\phi_r^{\rm num}=27.4353^\circ$. Innsetting av denne verdien, 
sammen med $\mu_s=0.25$ og $c=2/3$, i ligningen ovenfor 
gir verdiene 1.254 og 1.229 for hhv venstre og
h{\o}yre side av ligningen. Er dette tilstrekkelig samsvar til at vi kan
sl{\aa} fast at numerikken fungerer godt? I det aktuelle vinkelomr{\aa}det
mellom 0 og 90 grader er venstre side (VS) av ligningen for
$\phi_r$ en monotont voksende funksjon, mens h{\o}yre side (HS) er en monotont
avtagende funksjon. Vi m{\aa} derfor forvente at VS er st{\o}rre enn HS, fordi
ved den numeriske $\phi_r^{\rm num}$ {\em har} vi fortsatt ren rulling, mens
ved $\phi_r^{\rm num} + \Delta\phi$ har vi {\em ikke} lenger ren rulling.
Vi ser at VS er st{\o}rre enn HS ved $\phi_r^{\rm num}$. En utskrift
av $\phi(jrulling+1)$, dvs neste vinkelverdi, viser at denne er 0.4895
radianer, dvs 28.046 grader, og innsetting av denne verdien gir VS =
1.236 og HS = 1.254. Med andre ord, de numeriske beregningene gir en overgang
til ren rulling mellom $\phi(jrulling)$ og $\phi(jrulling+1)$, som de skal.
Numerikken fungerer tilfredsstillende! \\

{\em Overgang til skr{\aa}tt kast}

Numerisk mister bordtennisballen kontakten med underlaget ved
$\phi_k^{\rm num}=51.8625^\circ$. Her {\em har} vi fortsatt kontakt, s{\aa}
vi mister egentlig kontakten ved en litt st{\o}rre vinkel. Her er
vinkelendringen pr tidssteg ca 0.6$^\circ$, s{\aa} $\phi_k$ ligger et
sted mellom 51.9 og 52.5$^\circ$.

Det kan v{\ae}re flere gode strategier for {\aa} bestemme den tilsvarende
eksperimentelle vinkelen, $\phi_k^{\rm exp}$. En av de mest n{\ae}rliggende
er {\aa} plotte avstanden fra origo som funksjon av vinkelen. Har legemet
kontakt med underlaget, er denne avstanden konstant lik $R+r$. N{\aa}r legemet
mister kontakten med underlaget, vil avstanden fra origo bli st{\o}rre.
I programmet regnes begge st{\o}rrelser ut, som {\sf reksp} og {\sf phieksp}, og
for bordtennisballen blir grafen seende slik ut:

%%FIGURE
\vspace{0.3cm}
\centerline{\epsfxsize=6.5in \epsfbox{bordtennisball_fig4.eps}}
\vspace{0.5cm}
%%END FIGURE

Her er datapunktene fra fila bordtennisball.txt avmerket med sirkler. 
Vi ser at avstanden til origo er praktisk talt konstant for vinkler
mellom 10 og 60$^\circ$, og ved {\aa} forst{\o}rre dette omr{\aa}det
ansl{\aa}r vi p{\aa} {\o}yem{\aa}l en avstand 80.4 cm. Med $r=19$ mm
har vi derfor brukt $R=78.5$ cm i programmet. Vi noterer ogs{\aa} at
mellom 3 og 9$^\circ$ {\o}ker $R+r$ omtrent line{\ae}rt, fra 80.0 til
80.4 cm. Dette betyr at kvartsirkelen er litt flatklemt p{\aa} toppen,
noe som vil gi en mindre eksperimentell baneakselerasjon $A$ enn om banen
hadde v{\ae}rt perfekt sirkul{\ae}r. Dette kommer tydelig fram i figuren
nedenfor, der vi sammenligner eksperimentell og numerisk hastighet.
Fra figuren ovenfor er det
ikke mulig {\aa} si n{\o}yaktig hvilket m{\aa}lepunkt som er det siste
med kontakt til underlaget, men det er klart at $\phi_k^{\rm exp}$ ligger
omkring 60$^\circ$. Det ser ut som om m{\aa}lingen ved 60$^\circ$ eller det
foreg{\aa}ende har blitt noe un{\o}yaktig. Hvis punktet ved 60$^\circ$ er feil,
tyder det p{\aa} at $\phi_k^{\rm exp}$ kan v{\ae}re noe mindre, kanskje ned
mot 57 eller 58$^\circ$. Hvis det foreg{\aa}ende punktet er feil, tyder det
p{\aa} at $\phi_k^{\rm exp}$ er ca 60$^\circ$. Uansett ser det ut til at
$\phi_k^{\rm exp}$ er signifikant st{\o}rre enn den numeriske, som var
omtrent 52$^\circ$. Her kunne man kanskje oppn{\aa} noe bedre samsvar ved
{\aa} justere litt p{\aa} friksjonskoeffisienter og starthastighet. Men minst
like viktig er nok effekten av luftmotstand, noe vi har neglisjert fullstendig
i de numeriske beregningene. Luftmotstand reduserer akselerasjonen,
hastigheten ved en gitt vinkel blir mindre, og bordtennisballen kan komme
lenger f{\o}r normalkraften $N$ reduseres til null. Dette kommer faktisk
ganske tydelig fram hvis vi plotter numerisk og eksperimentell hastighet
som funksjon av vinkelen:

%%FIGURE
\vspace{0.3cm}
\centerline{\epsfxsize=6.5in \epsfbox{bordtennisball_fig3.eps}}
\vspace{0.5cm}
%%END FIGURE

Vi ser at $V^{\rm num}$ (sirkler) gjennomg{\aa}ende er st{\o}rre enn
$V^{\rm exp}$ (stjerner), i samsvar med at luftmotstand ikke er helt
uten betydning for bordtennisballen. Legg merke til ''st{\o}yen'' i
$V^{\rm exp}$. Dette er et generelt trekk ved numerisk derivasjon av
eksperimentelle data: Selv om den eksperimentelle $\phi(t)$ ser glatt
og pen ut, vil derivasjon bl{\aa}se opp sm{\aa} ''knekker'' i kurven
til tydelige ''sprang'' i den deriverte. \\

{\em Energibetraktninger}

Mekanisk energi er lik summen av potensiell og kinetisk energi, og
kinetisk energi best{\aa}r av translasjons- og rotasjonsenergi:
$$E_{\rm mek} = U + K_{\rm trans} + K_{\rm rot}.$$
I programmet regnes alle aktuelle st{\o}rrelser pr masseenhet, og
mekanisk energi pr masseenhet blir
$$E_{\rm mek} = gy + \frac{1}{2} \frac{I_0}{M}\omega^2 + \frac{1}{2}V^2.$$
Her er $I_0/M = cMr^2/M=cr^2$. Hvis vi har ren rulling, er $\omega=V/r$, og
$$E_{\rm mek}=gy+\frac{1}{2}(c+1)V^2.$$
Hvis vi har sluring, er $V > \omega r$, og legemets kontaktpunkt mot
underlaget har hastighet $v_{\rm rel} = V - \omega r > 0$. I l{\o}pet av
et tidsintervall $dt$ vil underlaget n{\aa} utf{\o}re et friksjonsarbeid
$$dW_f = \bold{f} \cdot d\bold{s} = -f v_{\rm rel} dt$$
p{\aa} det slurende legemet. Siden friksjonskraften $\bold{f}$ alltid
er rettet mot relativhastigheten $\bold{v}_{\rm rel}$, blir dette et
{\em negativt} friksjonsarbeid, noe som bidrar til en {\em reduksjon}
i legemets mekaniske energi. Den {\em totale} energien, dvs mekanisk
energi pluss utf{\o}rt friksjonsarbeid, er imidlertid bevart, s{\aa}
hvis vi plotter
$$E=gy+\frac{1}{2}V^2+\frac{1}{2}cr^2\omega^2+\int_0^t f v_{\rm rel} dt,$$
b{\o}r $E$ v{\ae}re konstant hele veien. Dette ser ut til {\aa} stemme
bra. I figuren nedenfor er kurvene for total energi (gr{\o}nn), total
mekanisk energi (bl{\aa}) og mekanisk energi med ren rulling antatt
(lysebl{\aa}) sammenfallende fram til 28$^\circ$, som de skal. Her
starter sluringen, og mekanisk energi avtar mens mekanisk energi med ren
rulling antatt vokser. Total energi (gr{\o}nn kurve), med korrekt
uttrykk for mekanisk energi og friksjonsarbeidet inkludert, forblir
konstant.

%%FIGURE
\vspace{0.3cm}
\centerline{\epsfxsize=6.0in \epsfbox{bordtennisball_fig6.eps}}
\vspace{0.5cm}
%%END FIGURE

Friksjonsarbeidet, dvs forskjellen mellom gr{\o}nn og bl{\aa} kurve,
er forholdsvis beskjedent. I f{\o}lge v{\aa}re beregninger her
utgj{\o}r det i tallverdi ikke mer enn
0.0328 J/kg, dvs ca 89 $\mu$J dersom vi antar at bordtennisballen
har en masse 2.7 g (som den visstnok skal ha). For{\o}vrig merker vi
oss at st{\o}yen i numerisk bestemte eksperimentelle hastigheter
selvsagt forplanter seg videre til den eksperimentelle mekaniske
energien (r{\o}d kurve i figuren over).

Vi kan plotte st{\o}rrelsen $P_f = f v_{\rm rel}$, dvs effekttapet
pr masseenhet pga sluring:

%%FIGURE
\vspace{0.3cm}
\centerline{\epsfxsize=6.0in \epsfbox{bordtennisball_fig8.eps}}
\vspace{0.5cm}
%%END FIGURE

Vi noterer at effekttapet f{\o}rst {\o}ker, pga {\o}kende relativ
hastighet $v_{\rm rel}$, for deretter {\aa} avta igjen, pga
minkende normalkraft $n$, og dermed ogs{\aa} minkende friksjonskraft
$f=\mu_k n$. Maksimalt effekttap, ca 0.275 W/kg, har vi ved en vinkel
ca 46$^\circ$. For en bordtennisball p{\aa} 2.7 g tilsvarer dette
et maksimalt effekttap p{\aa} ca 0.7 mW. Ikke rare greiene!

\newpage

Vi tar med figurer for $v_{\rm rel}$ og $f$:

%%FIGURE
\vspace{0.3cm}
\centerline{\epsfxsize=7.5in \epsfbox{bordtennisball_fig9.eps}}
\vspace{0.5cm}
%%END FIGURE

%%FIGURE
\vspace{0.3cm}
\centerline{\epsfxsize=7.5in \epsfbox{bordtennisball_fig10.eps}}
\vspace{0.5cm}
%%END FIGURE

Friksjonskraften {\o}ker opp til maksimal verdi ved overgang til
sluring. Deretter avtar den pga avtagende normalkraft.

\newpage

Matlabprogrammet losning6.m som er lagt ut p{\aa} hjemmesiden
genererer alle disse figurene, pluss et par til. I Figur 2 vises en
''animasjon'' av bordtennisballens bevegelse fram til den mister
kontakten med underlaget, eksperimentelt (r{\o}de stjerner) og
numerisk (bl{\aa} sirkler). Siden ingen avsatte punkter slettes
underveis, inneholder sluttbildet alle de eksperimentelle dataene,
samt de numeriske for tilsvarende tidspunkter:

%%FIGURE
\vspace{0.3cm}
\centerline{\epsfxsize=7.0in \epsfbox{bordtennisball_fig2.eps}}
\vspace{0.5cm}
%%END FIGURE

Jeg overlater til den enkelte {\aa} pr{\o}ve ut
det utlagte programmet for de tre andre legemene, sylinder, volleyball
og taperull. \\

Kommentar: Dette l{\o}sningsforslaget g{\aa}r selvsagt {\em langt} utover
det som kreves for {\aa} f{\aa} {\o}vingen godkjent.

\vspace{1cm}

Helt til slutt: Mange takk til Geir Solem p{\aa} Finmekanikkverkstedet
som laget den fine kvartsirkelen, og Jonas Persson p{\aa} Institutt for fysikk
for produksjon av filmene og hjelp med programmet {\em tracker}, som ble
brukt til {\aa} framskaffe eksperimentelle $t,x,y$ data. Se

\begin{verbatim}
http://www.cabrillo.edu/~dbrown/tracker/
\end{verbatim}


\end{document}