\input{usr_cmds.tex}
\input{ov_head.tex}
{\huge \bf Øving 1}
\end{center}
%
\pagestyle{OblOving}
\setcounter{OvNr}{1} % Teller for øvingsnr
\vspace{-2mm}
{\it Veiledning:} Mandag 3.\ sep.\ kl 17:15-19. \hfill \hspace*{10mm} Gruppeinndelingen finner du på emnets nettside.\\
{\it Innlevering:} {\em Onsdag} 5.\ sep.\ kl.\ 12:00 \hfill \hspace*{10mm} Lever øvinger i bokser utenfor R1. \hspace*{10mm}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

%{\em Innledende bemerkninger:}
%\vskip 2mm
%{\it Nødvendige begreper ved løsning av oppgavene:}\\
%SI-systemet. Kinematikk i én eller flere dimensjoner: Posisjon, hastighet, akselerasjon,
%og sammenhengene dem imellom. Løsning av enkle differensialligninger.
%Minimalisering.
 
%{\large {\bf Oppgave 1.} Dagligdagse måleenheter og SI-enheter}
%
%Uttrykk følgende størrelser ved fundamentale SI-enheter:
%\begin{itemize}
%\item 72\,km/h;\ 150 liter;\ 3 døgn;\ 35 PSI (pounds per square inch).
%%\item 150 liter
%%\item 3 døgn
%\end{itemize}
%
%\vspace{3mm}

\vspace{1mm}
{\bf \underline{Oppgave 1.} Et dramatisk eksempel på retardasjon}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%EHH {\large {\bf Oppgave 1.} Et dramatisk eksempel på retardasjon}

Det finnes flere eksempler på at fallskjermhoppere som har hoppet uten
at fallskjermen har åpnet seg, har overlevd fallet ved at de har truffet et tre, en 
snøfonn eller en bratt skråning. Det er mulig å overleve et fall når
retardasjonen idet en stopper mot underlaget er mindre enn ca. 500\,$\rm m/s^2$,
noe som tilsvarer 50\,$g$, der tyngdens akselerasjon er $g = 9,8\,{\rm m/s^2}$.

Hvor langt ned i en snøfonn beveger fallskjermhopperen seg før hun stopper,
dersom retardasjonen er konstant lik $50\,g$? Hastigheten idet hun treffer
snøfonnen er 40\,m/s. Hvor lang tid tar retardasjonen før fallskjermhopperen 
stopper i snøfonnen? 

\vspace{3mm}
{\bf \underline{Oppgave 2.} Bremsing ved væskefriksjon (og store hastigheter)}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

Akselerasjonen til en klinkekule som beveger seg med relativt stor hastighet
gjennom en væske kan i rimelig tilnærmelse skrives som
$$
  a = -kv^2\ \ \ ; \ \ (v>0),
$$
der $k$ er en konstant som avhenger av væskens egenskaper og klinkekulas
masse og radius. Vi ser bort fra tyngdens akselerasjon i denne oppgaven.

{\bf a.} Dersom klinkekula treffer væsken med hastigheten $v_0$, hva
blir uttrykket for kulas hastighet $v(t)$ som funksjon av tida?

{\bf b.} Dersom $k=3,0\,{\rm m^{-1}}$ (sjekk at dimensjonen stemmer!)
og $v_0= 1,50$\,m/s, hvor lang tid tar det 
før hastigheten er redusert til det halve? Og hvor langt har da kula beveget
seg i væsken?

\vspace{3mm}

{\bf \underline{Oppgave 3.}  Bueskytterens skråplan}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

En pil skytes fra bakkenivå oppover en bakke med konstant helningsvinkel $\alpha$. Pilen har en utgangshastighet $v_0$,
og en utgangsvinkel $\theta$ i forhold til horisontalplanet $(\theta > \alpha )$. Vi ser bort fra luftmotstanden. Rekkevidden til
skuddet (avstanden langs bakken fra startpunkt til nedslagspunkt) betegner vi med $L$.

{\bf a.} Tegn figur!
\\[2mm]
{\bf b.} Finn tida $t_{\rm b}$ før pilen treffer bakken og vis at \hspace*{3mm}
$ \displaystyle
  L = \frac{2v_0^2 \cos^2\theta}{g\cos\alpha}\cdot (\tan\theta - \tan\alpha ).
$ 

{\bf c.} Finn den vinkelen, $\theta_{\rm maks}$, som gir maksimal rekkevidde. Sjekk svaret for $\alpha = 0$.
\\[1mm]
\hspace*{3mm} {\sc Oppgitt}: $1/\tan\alpha = -\tan\left(\alpha+\pi/2\right).$ Formler for $\sin2\theta$ og $\cos2\theta$ kan også være nyttige.

\vspace{3mm}
{\bf \underline{Oppgave 4.} Raskest mulig elvekryssing}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

En mann skal krysse en elv med bredde $b$, og vil på kortest mulig tid komme seg over elva til punktet tvers over, i forhold til startpunktet. Vi regner som om vannets hastighet $\vec V$ er den samme, uavhengig av avstanden fra elvebreddene.  
Mannen har tilgjengelig en robåt, og kan ro med en fart $\vec v'$ relativt 
vannet, og med en hvilken som helst vinkel $\theta$ i forhold til $\vec V$. Når
båten har landet, går mannen til det ønskete punktet på elvebredden med marsjfarten $v_{\rm g}$ langs bredden.

{\bf a.} Tegn figur, og finn uttrykk for båtens hastighetskomponenter $v_x'$ og $v_y'$ relativt
vannet i elva, og båtens hastighet $v_x$ og $v_y$ relativt et landfast koordinatsystem.

{\bf b.} Finn et uttrykk for tida det totalt tar (roing pluss gange) for
å komme til det ønskete punktet, som funksjon av vinkelen $\theta$.

{\bf c.} Finn et uttrykk for den vinkelen, $\theta_{\rm min}$, som minimaliserer
tida. Bestem $\theta_{\rm min}$ for det tilfellet at $b=150$\,m, $|\vec v'| = 
3,0$\,km/h, $|\vec V| = 2,00$\,km/h, og $v_{\rm g} = 5,0$\,km/h.

{\bf d. Men..} kan uttrykket du fant under pkt.\ c ha generell gyldighet?
Sjekk svaret uttrykket gir for $\theta_{\rm min}$ når du setter $V = 0$.
Kan dette være riktig? Den fullstendige løsning av dette minimeringsproblemet
er en utfordring til de ambisiøse!  


\vfill

%\rule{0.9\textwidth}{0.1mm} \\
\small{Utvalgte fasitsvar:\quad 
2b) 0,22\,s; 0,23\,m \quad
3c) $\pi/4 + \alpha/2$, \quad
4c) $115^{\circ}$
}

%
\end{document}