\input{usr_cmds.tex}
\input{ov_head.tex}
{\huge \bf Tips for øving 1}
\end{center}
%
\pagestyle{OblOving}
\setcounter{OvNr}{1} % Teller for øvingsnr


\vspace{5mm}
{\bf \underline{Oppgave 1.}}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

Bruk en eller flere av konstant-akselerasjonslikningene.

\vspace{5mm}
{\bf \underline{Oppgave 2.}}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

{\bf a.} Fra $\displaystyle a = \frac{\rmd v}{\rmd t} ,$ finn en differensiallikning for $v$, dvs.\ en likning av form
$$
\rmd v \cdot \mbox{(funksjon av $v$)} = \rmd t \cdot \mbox{(funksjon av $t$)}
$$
og integrer denne fra start $(0, v_0)$ til et vilkårlig tidspunkt $(t, v)$.

\vspace{2mm}

{\bf b.} $v(T) = \frac{1}{2}v_0 $.


\vspace{5mm}
{\bf \underline{Oppgave 3.}}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

{\bf b.} Velg utskytningsstedet som origo og finn uttrykk for $x(t)$-posisjonen og $y(t)$-posisjonen for pila.  Pila treffer bakken når høyden $y(t)$ er lik bakkehøyden ved samme $x(t)$-posisjon. Du får her bruk for $\tan \alpha$.
\\
Når du har funnet tida $t_{\rm b}$ når bakken treffes, vil rekkevidden i $x$-retning være $x(t_{\rm b})$ og rekkevidden langs planet gitt av denne og helningsvinkelen.

{\bf c.} Maksimer $L(\theta)$ mhp.\ $\theta$ ved å derivere. På flat mark er det optimalt å kaste $45^\circ$ oppover.

\vspace{5mm}
{\bf \underline{Oppgave 4.}}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{minipage}{0.50\textwidth}
%\epsfxsize=80mm
%\epsfbox{elv.pdf}
\includegraphics[width=0.9\textwidth]{figurer/elv.eps}
\end{minipage}
\hfill
\begin{minipage}{0.48\textwidth}
{\bf a.} Legg inn et koordinatsystem med $x$ langs elvebredden og $y$ på tvers. I figuren til venstre er referansesystemet fast i elvebredden betegnet
O, mens referansesystemet som følger elvestrømmen er betegnet O'. 
\\[2mm]
Vannets hastighet $\vec V = V \xunit$ er gitt i system O. Båtens hastighet i system O' er som oppgitt 
$$
\vec v' = v_x' \xunit + v_y'\yunit %= v'\cos\theta \xunit + v'\sin\theta\yunit, 
$$
og båtens hastighet i system O er
$$
\vec v = \vec v' + \vec V %= (v_x' +V)\xunit + v_y'\yunit = (v'\cos\theta +V) \xunit + v'\sin\theta\yunit, 
\qquad \mbox{osv. \ldots }
$$
\end{minipage}

\vspace{2mm}

{\bf b.} Total tid er sammensatt av tida $t_{\rm r}$ å ro over bredden pluss tida $t_{\rm g}$ for å gå til rett posisjon: $t(\theta)=t_{\rm r} + t_{\rm g}$. 
Tida $t_{\rm r}$ er gitt av hastigheten $v_y$. Tida $t_{\rm g}$ er gitt av hvor man lander på den andre bredden (som er gitt av $v_x$ og $t_{\rm r}$) og gangfarten $v_{\rm g}$.

\vspace{2mm}

{\bf c.} Minimalisering: $\displaystyle
 \quad \frac{\rmd t(\theta)}{\rmd \theta} = 0 .$
\quad Svaret skal bli 
$\displaystyle
  \cos\theta_{\rm min} = -\frac{v'}{V+v_{\rm g}}.
$

{\bf d.} Overbevis deg om at kontrollen $V=0$ ikke kan være riktig. Å krysse stillestående vann må være å ro rett over: $\theta_{\rm min}=90^\circ$.

Problemet ligger i gangavstanden på den andre elvebredden funnet i b. Med direkte-fram regning antar vi at denne er positiv, dvs. vi havner et sted nedenfor i den retning elva renner.  Men hvis vi ikke gjør det (som er fullt matematisk mulig), må vi skifte et fortegn i uttrykket for $t(\theta)$. Vi får altså to ulike uttrykk som gjelder under ulike forhold, og det er noe mer arbeidssomt å finne minimum for. 

Betingelsen for det enkleste svaret er at $\cos\theta > -(V/v')$. Overlater detaljene til den grundige student, fullstendig løsning vil du finne i øvingens løsningsforslag.

\vfill
\vspace{-2mm}
\hfill $\cal A. M$i. 2.\ sep.\ 11.

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\end{document}