\documentclass[11pt]{article}
\usepackage{epsfig}
\usepackage[norsk]{babel}
\topmargin=-2.0cm
\oddsidemargin=-1.0cm
\evensidemargin=-1.0cm
\textheight=24cm
\textwidth=18cm
\setlength{\parindent}{0cm}

\begin{document}
\newcommand{\bold}[1]{\mbox{\boldmath $#1$}}

\begin{center}
\begin{bf}
TFY4104/TFY4125 Fysikk. Institutt for fysikk, NTNU.

L{\o}sningsforslag til Ekstra 1.
\end{bf}
\end{center}

\vspace{5mm}
{\bf \underline{E1.}}\\
\begin{minipage}{0.50\textwidth}
\includegraphics[width=0.9\textwidth]{elv.eps}
\end{minipage}
\hfill
\begin{minipage}{0.48\textwidth}
{\bf a.} Legger inn et koordinatsystem med $x$ langs elvebredden og $y$ p{\aa} tvers. I figuren til venstre er 
referansesystemet fast i elvebredden betegnet O, mens referansesystemet som f{\o}lger elvestr{\o}mmen er betegnet O'. 
\\[2mm]
Vannets hastighet $\bold{V} = V \hat{x}$ er gitt i system O. B{\aa}tens hastighet i system O' er som oppgitt 
$$\bold{v}' = v_x' \hat{x} + v_y' \hat{y} = v'\cos\theta \hat{x} + v'\sin\theta\hat{y},$$
og b{\aa}tens hastighet i system O er
\end{minipage}

\vspace{2mm}

$$\bold{v} = \bold{v}' + \bold{V} = (v_x' +V)\hat{x} + v_y'\hat{y} = (v'\cos\theta +V) \hat{x} + v'\sin\theta\hat{y},$$
Hastighetskomponentene er alts{\aa}
$$\underline{ v_x = v'\cos\theta + V} ; \quad  \underline{ v_y = v'\sin\theta}.$$

\vspace{2mm}

{\bf b.} Tida det tar {\aa} ro til den andre elvebredden er gitt av $y$-hastigheten:
$t_{\rm r} = \displaystyle \frac{b}{v_y} = \frac{b}{v'\sin\theta }$. P{\aa} denne tida vil b{\aa}tens forskyvning langs elvebredden 
v{\ae}re gitt av hastigheten $v_x$: 
\begin{equation}
x_{\rm l} = v_xt_{\rm r} = (v'\cos\theta +V)\frac{b}{v'\sin\theta }.
\label{eq.xl}
\end{equation}
%
Tida det tar {\aa} g{\aa} tilbake til punktet rett overfor startpunktet er $t_{\rm g} = x_{\rm l}/v_{\rm g}$, 
vi har da (fornuftig nok) antatt $x_{\rm l}\ge 0$, dvs b{\aa}ten har drevet litt med elvestr{\o}mmen, evt treffer rett p{\aa}. 
(Dersom $x_{\rm l} < 0$ vil $t_{\rm g} = -x_{\rm l}/v_{\rm g}$.) Til sammen blir dette
\begin{equation}
t(\theta) 
= t_{\rm r} + t_{\rm g} 
= \underline{ \frac{b}{v'\sin\theta}\left[ 1+\frac{v'}{v_{\rm g}}\cdot \cos\theta +\frac{V}{v_{\rm g}}\right] }. 
\label{tpluss}
\end{equation}

\vspace{2mm}

{\bf c.} Vi minimerer totaltiden med hensyn p{\aa} roretningen:
\begin{eqnarray}
  \frac{d t(\theta)}{d \theta} &=& \frac{-b\cos\theta}{v'\sin^2\theta}\left[ ...\right]
                +\frac{b}{v'\sin\theta}\cdot \frac{v'(-\sin\theta)}{v_{\rm g}}
        \nonumber \\
     &=& -\frac{b}{v'\sin^2\theta}\cdot \left[ (1+\frac{V}{v_{\rm g}})\cos\theta
           +\frac{v'}{v_{\rm g}}(\cos^2\theta + \sin^2\theta )\right] = 0.\nonumber
\end{eqnarray}
Av dette f{\o}lger at vinkelen som minimaliserer tida er gitt som
\begin{equation}
  \cos\theta_{\rm min} = -\frac{v'/v_{\rm g}}{1+V/v_{\rm g}} = \underline{-\frac{v'}{V+v_{\rm g}}}.
\label{costheta}
\end{equation}
%
Med de oppgitte tallverdiene f{\aa}r en $\cos\theta_{\rm min} = -3/(2+5)$ som gir
$\underline{\theta_{\rm min} = 115^{\circ}}$. Et ikke urimelig resultat! 

\vspace{3mm}

{\bf d.} Men dersom vi setter $V=0$, gir uttrykket $\cos\theta_{\rm min} = -v'/v_{\rm g}$. Dette kan umulig v{\ae}re riktig! Dersom
elva stopper opp (dersom vi rett og slett skal krysse stillest{\aa}ende vann) m{\aa} det raskeste v{\ae}re {\aa} ro rett over! 
Alts{\aa}: I dette tilfellet burde $\theta_{\rm min}=90^\circ$ og $\cos\theta_{\rm min} = 0$. Men hvor
resonnerte vi feil i pkt {\bf b} eller {\bf c}? 

Problemet ligger i forutsetningen $x_{\rm l} > 0$. Vi ser fra lign.\ (\ref{eq.xl}) at dette gjelder bare
dersom $v'\cos\theta + V > 0$ (siden $b$, $v'$ og $\sin\theta$ alle er positive). Vi forutsetter alts{\aa} $\cos\theta > -(V/v')$. 
Minimumsverdien $\cos \theta_{\rm min}$ i (\ref{costheta}) er derfor bare gyldig dersom
$$
  -\frac{v'}{V+v_{\rm g}} > -\frac{V}{v'}  \qquad \Rightarrow \qquad  
          v'^2 < V(V+v_{\rm g}).
$$
Hva skjer s{\aa} dersom denne ulikheten for de oppgitte st{\o}rrelsene ikke er oppfylt? 
For {\aa} forst{\aa} dette  m{\aa} vi g{\aa} tilbake til funksjonen $t(\theta)$ og
ta h{\o}yde for at dette faktisk er $\it to$ funksjoner. Den vi allerede har funnet, 
(\ref{tpluss}), er korrekt dersom vi lander {\it nedenfor} m{\aa}lpunktet, slik at $x_{\rm l}>0$.
Denne funksjonen kaller vi heretter $t^+(\theta)$. 

Men vi trenger ogs{\aa} $t^-(\theta)$, som svarer til at b{\aa}ten lander {\it ovenfor} det endelige m{\aa}let 
tvers over elva. Da er som nevnt ovenfor $t_{\rm g} = -x_{\rm l}/v_{\rm g}$ og $t^+(\theta)$ i lign.\ (\ref{tpluss}) blir erstattet av
\begin{equation}
   t^-(\theta) = t_{\rm r}+t_{\rm g}=\frac{b}{v'\sin\theta}-\frac{x_{\rm l}}{v_{\rm g}}
        =\frac{b}{v'\sin\theta}\left[ 1-\frac{v'}{v_{\rm g}}\cdot \cos\theta-\frac{V}{v_{\rm g}}\right] .
\label{tminus}
\end{equation}
%
De to funksjonene  m{\o}tes der $x_{\rm l} = 0$, dvs for vinkelen $\theta_s$ gitt av $v'\cos\theta_s + V=0$, alts{\aa} for vinkelen
\begin{equation}\label{tetas}
    \cos\theta_s= -V/v'.
\end{equation}
Skal dette ha mening, m{\aa} $V<v'$. Dette har en {\aa}penbar fysisk tolkning: Det er ikke mulig
{\aa} havne rett over elva med en rofart som er mindre enn elvas str{\o}mningshastighet!

\begin{minipage}{0.4\textwidth}
Figurene til h{\o}yre viser hva som skjer i de to parameteromr{\aa}dene.
\\[1mm] 
Dersom $x_{\rm l}>0$ og $v'^2<V(V+v_{\rm g})$, er minimumstida
gitt av minimum i funksjonen $t^+(\theta)$, med resultatet 
$\cos\theta_{\rm min}=-v'/(V+v_{\rm g})$
og $\theta_{\rm min} < \theta_s$. Minimum finnes p{\aa} den konvensjonelle m{\aa}ten, ved {\aa}
sette den deriverte lik null.
\\[1mm]
I parameteromr{\aa}det der $v'^2>V(V+v_{\rm g})$ er situasjonen kvalitativt annerledes. Der gir minimering
av $t^+(\theta)$ et ufysikalsk resultat. Minimumstida er $t(\theta_s)$ der $t^+=t^-$. Ingen
av de to funksjonene som m{\o}tes i minimumspunktet har derivert lik null der.
\end{minipage}
\hfill
\begin{minipage}{0.55\textwidth}
\includegraphics[width=1.0\textwidth]{rotur.eps}
\end{minipage}
\vspace{2mm}

Den fysikalske tolkningen av dette er at i {\it hele} parameteromr{\aa}det $v'^2>V(V+v_{\rm g})$ l{\o}nner det seg 
{\aa} ro rett over elva, direkte til m{\aa}let, med vinkelen $\theta_s$ gitt av (\ref{tetas})
mellom roretning og elvas str{\o}mretning.

Eksemplet viser at minimering kan v{\ae}re en mer sammensatt prosess enn den konvensjonelle.
Det gjelder {\aa} bruke hodet, og sjekke resultatene mot sunn fornuft. Om det kan v{\ae}re
til noen tr{\o}st: Flere {\aa}rskull studenter og l{\ae}rere overs{\aa} fullstendig det
vi her har diskutert, og tok for gitt at resultatet under pkt {\bf c} var {\it hele}
svaret. Men den enkle sjekken vi foretok avsl{\o}rte umiddelbart at det ikke kunne v{\ae}re tilfelle. 

\end{document}