\documentclass[12pt]{article}
\usepackage{epsfig}
\topmargin=-1.0cm
\oddsidemargin=-1.0cm
\evensidemargin=-1.0cm
\textheight=25cm
\textwidth=18cm
\begin{document}
\newcommand{\bold}[1]{\mbox{\boldmath $#1$}}
\begin{bf}
\noindent
Institutt for fysikk, NTNU

\noindent
FY1003 Elektrisitet og magnetisme

\noindent
TFY4155 Elektromagnetisme

\noindent
V{\aa}r 2005
\end{bf}

\vspace{0.5cm}
\begin{center}
\begin{large}
Midtsemesterpr{\o}ve fredag 8. april kl 1030 -- 1330.
\end{large}

\vspace{0.5cm}
Svartabellen st{\aa}r p{\aa} et eget ark. Sett tydelige kryss. 

Husk {\aa} skrive p{\aa} studentnummer. Bare {\em en} svartabell leveres inn.
\end{center}

\vspace{0.3cm}
\noindent
Tillatte hjelpemidler: C
\begin{itemize}
\item K. Rottmann: Matematisk formelsamling. (Eller tilsvarende.)
\item O. {\O}grim og B. E. Lian: St{\o}rrelser og enheter i
fysikk og teknikk eller B. E. Lian og C. Angell: Fysiske st{\o}rrelser og enheter.
\item Typegodkjent kalkulator, med tomt minne, i henhold til liste
utarbeidet av NTNU. (HP30S eller lignende.)
\item Formelsamling Elektrostatikk er inkludert p{\aa} baksiden av
dette arket.
\end{itemize}

\vspace{0.3cm}
\noindent
Opplysninger:
\begin{itemize}
\item Pr{\o}ven best{\aa}r av 40 oppgaver. Hver oppgave har ett riktig og tre gale svaralternativ.
\item Kryss av for {\em ett} svaralternativ p{\aa} {\em hver} oppgave. Avkryssing for {\em mer
enn ett} alternativ eller {\em ingen} alternativ betraktes som {\em feil} svar.
\item Dersom ikke annet er oppgitt, antas det at systemet er i elektrostatisk likevekt.
\item Dersom ikke annet er oppgitt, er "potensial" underforst{\aa}tt "elektrostatisk potensial",
og tilsvarende for "potensiell energi".
\item Dersom ikke annet er oppgitt, er nullpunkt for potensial og 
potensiell energi valgt uendelig langt borte.
\item Metall er synonymt med elektrisk leder. Isolator er synonymt med dielektrikum.
\item Noen naturkonstanter: $\varepsilon_0 = 8.85 \cdot 10^{-12}$ C$^2$/Nm$^2$,
$1/4\pi\varepsilon_0 = 9\cdot10^9$ Nm$^2$/C$^2$, 
$e=1.6\cdot10^{-19}$ C, $m_e = 9.11\cdot10^{-31}$ kg, $m_p = 1.67\cdot10^{-27}$ kg, $g = 9.8$ m/s$^2$,
$c=3\cdot10^8$ m/s.
\item Symboler angis i kursiv (f.eks $V$ for potensial) mens enheter angis uten kursiv
(f.eks V for volt).
\item SI-prefikser: M (mega) = $10^6$, k (kilo) = $10^3$, c (centi) = $10^{-2}$,
m (milli) = $10^{-3}$, $\mu$ (mikro) = $10^{-6}$, n (nano) = $10^{-9}$, p (piko) = $10^{-12}$.
\item Omkrets av sirkel: $2\pi r$. Areal av kuleflate: $4\pi r^2$. Volum av kule: $4\pi r^3/3$.
\item Gradient i kartesiske koordinater: $\nabla f = (\partial f/\partial x)\,\hat{x} +
(\partial f/\partial y)\,\hat{y} + (\partial f/\partial z)\,\hat{z}$
\item Gradient av kulesymmetrisk funksjon $f(r)$: $\nabla f = (\partial f/\partial r)\,\hat{r}$
\item Noen integraler: $\int x^n\, dx = x^{n+1}/(n+1) + C$, $\int dx/x = \ln |x| + C$, $\int \cos x\, dx =
\sin x + C$, $\int \sin x \, dx = -\cos x + C$
\end{itemize}


\newpage
\begin{center}
\begin{large}
Formelsamling Elektrostatikk
\end{large}
\end{center}

\vspace{0.2cm}
\noindent
$\int d\bold{A}$ angir flateintegral og $\int d\bold{l}$ angir
linjeintegral. $\oint$ angir integral over lukket flate eller
rundt lukket kurve. {\bf Fete} symboler angir vektorer. Symboler
med hatt over angir enhetsvektorer.
Formlenes gyldighetsomr{\aa}de og de ulike symbolenes
betydning antas for{\o}vrig {\aa} v{\ae}re kjent.

\vspace{0.2cm}
\begin{itemize}
\item
Coulombs lov:
$$\bold{F}=\frac{qq'}{4\pi\varepsilon_0 r^2}\hat{r}$$
\item
Elektrisk felt og potensial:
$$\bold{E}=-\nabla V$$
$$\Delta V = V_B - V_A = - \int_A^B \bold{E}\cdot d\bold{l}$$
\item
Elektrisk potensial fra punktladning:
$$ V=\frac{q}{4\pi\varepsilon_0 r} $$
\item
Elektrisk fluks:
$$\phi_E = \int\bold{E}\cdot d\bold{A}$$
\item
Elektrostatisk kraft er konservativ:
$$\oint\bold{E}\cdot d\bold{l}=0$$
\item
Gauss' lov for elektrisk felt og elektrisk forskyvning: 
$$\varepsilon_0\oint \bold{E}\cdot d\bold{A} = q$$
$$\oint \bold{D}\cdot d\bold{A} = q_{\rm fri}$$
\item
Elektrisk forskyvning:
$$\bold{D}\equiv\varepsilon_0\bold{E}+\bold{P}=\varepsilon_r\varepsilon_0\bold{E}=\varepsilon\bold{E}$$
\item
Elektrisk dipolmoment:
$$\bold{p}=q\bold{d}$$
\item
Elektrisk polarisering = elektrisk dipolmoment pr volumenhet:
$$\bold{P}=\frac{\Delta\bold{p}}{\Delta V}$$
Line{\ae}rt medium:
$$\bold{P}=\varepsilon_0 \chi_e \bold{E}$$
\item
Kapasitans:
$$C=\frac{q}{V}$$
\item
Energitetthet (energi pr volumenhet) i elektrisk felt:
$$u_E=\frac{1}{2}\varepsilon_0 E^2$$
\end{itemize}

\newpage
\begin{center}
\begin{large}
Oppgaver
\end{large}
\end{center}

\vspace{0.5cm}
\hrule
\vspace{0.8cm}
\noindent
$1)$ Tre punktladninger, $\pm q$ og $2q$ er plassert i hvert sitt hj{\o}rne av en likesidet
trekant med sidekanter $a$ som vist i figuren. Hvilken pil viser da netto kraft
som virker p{\aa} en fjerde punktladning $-2q$ fra de tre i hj{\o}rnene av trekanten?
                                                                                                                 
\parbox{8cm}{
\begin{tabular}{cl}
A & 1 \\
B & 2 \\
C & 3 \\
D & 4
\end{tabular}
}
\parbox{6cm}{
%%FIGURE
\centerline{\epsfxsize=1.8in \epsfbox{mid7_fig1.eps}}
%%END FIGURE
}
                                                                                                                 
\vspace{0.5cm}
\hrule
\vspace{0.8cm}
\noindent
$2)$ Tre punktladninger, $q$, $\alpha q$ og $\alpha q$ er plassert i hvert sitt hj{\o}rne av en 
trekant som vist i figuren. En fjerde punktladning $-q$ ligger i avstand $a$ fra alle de tre
andre. Ladningene $\alpha q$, $-q$ og $\alpha q$ danner en vinkel p{\aa} 90 grader.
Hvor stor m{\aa} da $\alpha$ v{\ae}re for at det skal virke null nettokraft p{\aa} 
ladningen $-q$?
                                                                                                                 
\parbox{8cm}{
\begin{tabular}{cl}
A & $2$ \\
B & $\sqrt{2}$ \\
C & $1/\sqrt{2}$ \\
D & $1/2$
\end{tabular}
}
\parbox{6cm}{
%%FIGURE
\centerline{\epsfxsize=1.8in \epsfbox{mid7_fig2.eps}}
%%END FIGURE
}
                                                                                                                 
\vspace{0.5cm}
\hrule
%\newpage
\vspace{0.8cm}
\noindent
$3)$ Figuren viser fire elektriske dipoler (symbolisert ved vektoren $\bold{p}$,
dvs dipolmomentet) som er plassert i et uniformt elektrisk felt $\bold{E}_0$. Vi antar
at dipolene ikke vekselvirker med hverandre. Hvilken dipol har st{\o}rst potensiell energi?

\vspace{0.2cm}
\noindent
\parbox{6cm}{
\begin{tabular}{cl}
A & 1 \\
B & 2 \\
C & 3 \\
D & 4
\end{tabular}
}
\parbox{10cm}{
%%FIGURE
\centerline{\epsfxsize=2.3in \epsfbox{mid7_fig3.eps}}
%%END FIGURE
}
                                                                                                                 
                                                                                                                 


\vspace{0.5cm}
\hrule
\vspace{0.8cm}
\noindent
$4)$ Hvilket av disse er et mulig konservativt elektrostatisk felt?
                                                                                                                 
\vspace{0.2cm}
\noindent
\parbox{8cm}{
\begin{tabular}{cl}
A & $\bold{E} = E_0 \, \left[ (x/a)\,\hat{x} - (z/a)\,\hat{z} \right]$ \\
B & $\bold{E} = E_0 \, (x/a) \, \hat{z}$ \\
C & $\bold{E} = E_0 \, \left[ (x/a)\,\hat{x} + (x/a)\,\hat{z} \right]$ \\
D & $\bold{E} = E_0 \, (z/a) \, \hat{x}$
\end{tabular}
}
\parbox{8cm}{
%%FIGURE
\centerline{\epsfxsize=2.0in \epsfbox{mid7_fig4.eps}}
%%END FIGURE
}
                                                                                                                 
\vspace{0.5cm}
\hrule
\vspace{0.8cm}
\noindent
$5)$ Hvilken kurve representerer den potensielle energien $U$ til et
elektron som funksjon av dets avstand $x$ fra en uendelig stor positivt
ladet flate lokalisert i $yz$-planet? (Figuren angir bare det positive 
halvplanet, dvs $x>0$.)

\vspace{0.2cm}
\noindent
\parbox{8cm}{
\begin{tabular}{cl}
A &  1 \\
B &  2 \\
C &  3 \\
D &  4
\end{tabular}
}
\parbox{8cm}{
%%FIGURE
\centerline{\epsfxsize=1.8in \epsfbox{mid7_fig5.eps}}
%%END FIGURE
}
                                                                                                                 
                                                                                                                 
\vspace{0.5cm}
\hrule
\vspace{0.8cm}
\noindent
$6)$ Potensialet i et omr{\aa}de er $V(x)=V_0 \, \ln (x/a)$. Det elektriske feltet er da
                                                                                                                 
\vspace{0.2cm}
\noindent
\begin{tabular}{cl}
A & $\bold{E} = -(V_0/x) \; \hat{x}$ \\
  & \\
B & $\bold{E} = -(V_0 a/x) \; \hat{x}$ \\
  & \\
C & $\bold{E} = (V_0/x) \; \hat{x}$ \\
  & \\
D & $\bold{E} = (V_0 a/x) \; \hat{x}$ 
\end{tabular}
                                                                                                                 
\vspace{0.3cm}
\noindent
($V_0$ og $a$ er konstanter)
                                                                                                                 
\vspace{0.5cm}
\hrule
\vspace{0.8cm}
\noindent
$7)$ Det elektriske feltet i et omr{\aa}de er 
$\bold{E}(x,y) = E_0 \left[ \sin kx \,\hat{x} - \cos ky \,\hat{y} \right]$.
Potensialet er da
                                                                                                                 
\vspace{0.2cm}
\noindent
\begin{tabular}{cl}
A & $V(x,y) = E_0 \, \left[ \cos kx + \sin ky \right]/k$ \\
  & \\
B & $V(x,y) = - E_0 \, \left[ \cos kx + \sin ky \right]/k$ \\
  & \\
C & $V(x,y) = E_0 \, \left[ \cos kx - \sin ky \right]/k$ \\
  & \\
D & $V(x,y) = - E_0 \, \left[ \cos kx - \sin ky \right]/k$
\end{tabular}
                                                                                                                 
\vspace{0.3cm}
\noindent
($E_0$ og $k$ er konstanter)
                                                                                                                 
\vspace{0.3cm}
\hrule
\vspace{0.8cm}
\noindent
$8)$ Hvilken av de f{\o}lgende p{\aa}standene er feil?

\vspace{0.2cm}
\noindent
\begin{tabular}{cl}
A & En parallellplatekondensators kapasitans blir st{\o}rre dersom \\
  & avstanden mellom platene reduseres. \\
B & En parallellplatekondensators kapasitans blir st{\o}rre dersom \\
  & platenes areal {\o}kes. \\
C & En parallellplatekondensators kapasitans blir st{\o}rre dersom \\
  & ladningen p{\aa} platene {\o}kes. \\
D & En parallellplatekondensators kapasitans blir st{\o}rre dersom \\
  & rommet mellom platene fylles med et dielektrikum.
\end{tabular}
                                                                                                                 
\vspace{0.3cm}
\hrule
%\newpage
\vspace{0.8cm}
\noindent
$9)$ Figuren viser tre elektriske ledere og feltlinjer for det elektriske
feltet i omr{\aa}det omkring disse. Ranger potensialene $V_j$ i de fire angitte
posisjonene $j = 1,2,3,4$.
                                                                                                                 
\vspace{0.5cm}
\noindent
\parbox{6cm}{
\begin{tabular}{cl}
A & $V_1 > V_2 > V_3 > V_4$   \\
B & $V_4 > V_3 > V_1 > V_2$   \\
C & $V_3 > V_4 > V_2 > V_1$   \\
D & $V_2 > V_1 > V_4 > V_3$
\end{tabular}
}
\parbox{10cm}{
%%FIGURE
\centerline{\epsfxsize=3.2in \epsfbox{mid7_fig6.eps}}
%%END FIGURE
}
                                                                                                                 

\vspace{0.5cm}
\hrule
\vspace{0.8cm}
\noindent
$10)$ Figuren viser en kvadratisk kvadrupol med to punktladninger $-Q$
og to punktladninger $Q$ plassert i hvert sitt hj{\o}rne av et kvadrat
med sidekanter $a$. Hva er systemets potensielle energi $U$?

\vspace{0.5cm}
\noindent
\parbox{8cm}{
\begin{tabular}{cl}
A & $U = (\sqrt{2}+4) Q^2/4 \pi \varepsilon_0 a$ \\
B & $U = (\sqrt{2}-4) Q^2/8 \pi \varepsilon_0 a$ \\
C & $U = (\sqrt{2}-4) Q^2/4 \pi \varepsilon_0 a$ \\
D & $U = Q^2/4 \pi \varepsilon_0 a$
\end{tabular}
}
\parbox{8cm}{
%%FIGURE
\centerline{\epsfxsize=2.0in \epsfbox{mid7_fig15.eps}}
%%END FIGURE
}
                                                                                                                 
\vspace{0.5cm}
\hrule
%\vspace{0.8cm}
\newpage
\noindent
$11)$ To konsentriske metalliske kuleskall med radius henholdsvis $a$ og $b$ ($b>a$) har
uniformt fordelt ladning henholdsvis $Q$ og $-Q$.
Hva er den potensielle energien $U$ lagret i det elektriske feltet
mellom kuleskallene?

\vspace{0.5cm}
\noindent
\parbox{8cm}{
\begin{tabular}{cl}
A & $U = Q^2/8 \pi \varepsilon_0 a$ \\
B & $U = (b-a) Q^2/8 \pi \varepsilon_0 ab$ \\
C & $U = (a-b) Q^2/8 \pi \varepsilon_0 ab$ \\
D & $U = (b-a)^2 Q^2/8 \pi \varepsilon_0 ab$
\end{tabular}
}
\parbox{8cm}{
%%FIGURE
\centerline{\epsfxsize=2.0in \epsfbox{mid7_fig29.eps}}
%%END FIGURE
}


                                                                                                                 
\vspace{0.5cm}
\hrule
%\newpage
\vspace{0.8cm}
\noindent
$12)$ Figuren viser endel punktladninger ($q>0$) og lukkede flater
($i = 1,2,3,4$). Gjennom hvilken av disse lukkede flatene passerer
det minst netto elektrisk fluks?
                                                                                                                 
\vspace{0.2cm}
\noindent
\parbox{8cm}{
\begin{tabular}{cl}
A & 1 \\
B & 2 \\
C & 3 \\
D & 4
\end{tabular}
}
\parbox{8cm}{
%%FIGURE
\centerline{\epsfxsize=2.0in \epsfbox{mid7_fig22.eps}}
%%END FIGURE
}

\vspace{0.5cm}
\hrule
\vspace{0.8cm}
\noindent
$13)$ En uendelig stor flate ligger i $xy$-planet og har konstant ladning $\sigma$ pr flateenhet.
Hvor stor netto elektrisk fluks $\phi$ passerer gjennom overflaten p{\aa} en torus ("smultring"),
med indre diameter $a$ og ytre diameter $b$, og som halveres av den ladete flaten, som vist i figuren?
                                                                                                                 
\vspace{0.6cm}
\noindent
\begin{tabular}{clcl}
A & $\phi = \sigma (b-a)^2/2\pi\varepsilon_0$ & \hspace{2cm} B & $\phi = \sigma \pi (b-a)^2/4\varepsilon_0$ \\
&&& \\
C & $\phi = \sigma (b^2-a^2)/2\pi\varepsilon_0$ & \hspace{2cm} D & $\phi = \sigma \pi (b^2-a^2)/4\varepsilon_0$
\end{tabular}
                                                                                                                 
\vspace{0.7cm}
%%FIGURE
\centerline{\epsfxsize=4.5in \epsfbox{mid7_fig23.eps}}
%%END FIGURE
                                                                                                                 
\vspace{0.5cm}
\hrule
\vspace{0.8cm}
\noindent
$14)$  Du utf{\o}rer Millikans eksperiment og observerer at en kuleformet dr{\aa}pe
"babyolje" med radius 1.1 $\mu$m st{\aa}r i ro i det uniforme elektriske feltet mellom
to store parallelle metallplater med motsatt ladning, positiv nederst og negativ {\o}verst.
Avstanden mellom platene er 5 cm, potensialforskjellen mellom platene er 6 kV, og oljens
massetetthet er 1054 kg/m$^3$. Du kan da fastsl{\aa} at oljedr{\aa}pen har en netto ladning
tilsvarende
                                                                                                                 
\vspace{0.2cm}
\noindent
\parbox{8cm}{
\begin{tabular}{cl}
A & et underskudd p{\aa} 5 elektroner \\
B & et underskudd p{\aa} 3 elektroner \\
C & et overskudd p{\aa} 2 elektroner \\
D & et overskudd p{\aa} 4 elektroner
\end{tabular}
}
\parbox{8cm}{
%%FIGURE
\centerline{\epsfxsize=3.0in \epsfbox{mid7_fig13.eps}}
%%END FIGURE
}
                                                                                                                 
\vspace{0.5cm}
\hrule
%\newpage
\vspace{0.8cm}
\noindent
$15)$ Potensialet p{\aa} et uendelig stort positivt ladet plan
er satt til $0$ V. Planet har en uniform ladningstetthet 32 $\mu$C/m$^2$.
Hva er da potensialet i en avstand 1.0 cm fra det ladete planet?

\vspace{0.2cm}
\noindent
\begin{tabular}{cl}
A &  36 kV \\
B &  24 kV \\
C &  $-12$ kV \\
D &  $-18$ kV
\end{tabular}
                                                                                                                 
\vspace{0.5cm}
\hrule
\vspace{0.8cm}
\noindent
$16)$ La oss betrakte protonet som ei kule med radius $R$ og ladning $e$
jevnt fordelt p{\aa} kulas overflate. Protonet har dermed en potensiell energi $U$.
Samtidig har protonet masse $m_p$, og dermed en energi $m_p c^2$, if{\o}lge Einstein.
($c$ = lyshastigheten) Vi kan n{\aa} ansl{\aa} protonets radius $R$ ved {\aa} sette
$U = m_p c^2$. Dette gir
                                                                                                                 
\vspace{0.2cm}
\noindent
\begin{tabular}{cl}
A & $R \simeq 5.2 \cdot 10^{-22}$ m \\
B & $R \simeq 7.7 \cdot 10^{-19}$ m \\
C & $R \simeq 1.4 \cdot 10^{-15}$ m \\
D & $R \simeq 3.5 \cdot 10^{-11}$ m
\end{tabular}
                                                                                                                 
\vspace{0.5cm}
\hrule
\vspace{0.8cm}
\noindent
$17)$ Hvis det elektriske potensialet $V$ som funksjon av $r$ er som vist i
den {\o}verste grafen, hvilken graf viser da den elektriske feltstyrken $E$ som funksjon av $r$?
                                                                                                                 
\vspace{0.5cm}
\noindent
\parbox{6cm}{
\begin{tabular}{cl}
A & 1 \\
B & 2 \\
C & 3 \\
D & 4
\end{tabular}
}
\parbox{10cm}{
%%FIGURE
\centerline{\epsfxsize=4.0in \epsfbox{mid7_fig24.eps}}
%%END FIGURE
}
                                                                                                                 
\vspace{0.5cm}
\hrule
\newpage
%\vspace{0.8cm}
\noindent
$18)$ Hvis det elektriske feltet $E$ som funksjon av $x$ er som vist i den {\o}verste
grafen, hvilken graf viser da det elektriske potensialet $V$ som funksjon av $x$?
                                                                                                                 
                                                                                                                 
\vspace{0.5cm}
\noindent
\parbox{6cm}{
\begin{tabular}{cl}
A &  1 \\
B &  2 \\
C &  3 \\
D &  4
\end{tabular}
}
\parbox{10cm}{
%%FIGURE
\centerline{\epsfxsize=4.0in \epsfbox{mid7_fig25.eps}}
%%END FIGURE
}
                                                                                                                 
\vspace{0.5cm}
\hrule
%\newpage
\vspace{0.8cm}
\noindent
$19)$ Figuren viser tre hule konsentriske metallkuler med netto ladning
$-3Q$ (p{\aa} innerste kule), $0$ (p{\aa} midterste kule) og $Q$
(p{\aa} ytterste kule). Alle de tre kuleskallene har en viss tykkelse.
Hvor mye ladning er samlet p{\aa} {\em ytre} overflate av den
{\em midterste} kula? (Tips: Gauss' lov.)
                                                                                                                 
                                                                                                                 
\vspace{0.5cm}
\noindent
\parbox{6cm}{
\begin{tabular}{cr}
A &  $-3Q$ \\
B &  $-2Q$ \\
C &  $Q$ \\
D &  $2Q$
\end{tabular}
}
\parbox{10cm}{
%%FIGURE
\centerline{\epsfxsize=2.4in \epsfbox{mid7_fig26.eps}}
%%END FIGURE
}
                                                                                                                 
\vspace{0.5cm}
\hrule
\vspace{0.8cm}
\noindent
$20)$ Hva er den elektriske feltstyrken i punktet P angitt i figuren i oppgave 19?
(Punktet P ligger i avstand $r$ fra kulenes sentrum, og p{\aa} utsiden av alle tre kulene.)
                                                                                                                 
\vspace{0.2cm}
\noindent
\begin{tabular}{crcr}
A & $-3Q/4\pi\varepsilon_0 r^2$ & \hspace{2cm} B & $-2Q/4\pi\varepsilon_0 r^2$ \\
&&& \\
C & $Q/4\pi\varepsilon_0 r^2$   & \hspace{2cm} D & $2Q/4\pi\varepsilon_0 r^2$
\end{tabular}
                                                                                                                 
                                                                                                                 
\vspace{0.5cm}
\hrule
%\vspace{0.8cm}
\newpage
\noindent
$21)$ Figuren viser en metallkule med netto ladning $-Q$ omgitt av et luftlag,
etterfulgt av et metallisk kuleskall med netto ladning $Q$.
Hvilken figur angir da korrekt feltlinjene for $\bold{E}$? (Tips: Gauss' lov.)

\vspace{0.4cm}
\noindent
\parbox{5cm}{
\begin{tabular}{cl}
A & 1 \\
B & 2 \\
C & 3 \\
D & 4
\end{tabular}
}
\parbox{11cm}{
%%FIGURE
\centerline{\epsfxsize=4.5in \epsfbox{mid7_fig27.eps}}
%%END FIGURE
}
                                                                                                                 
\vspace{0.5cm}
\hrule
\vspace{0.8cm}
\noindent
$22)$ En uendelig lang sylinder har radius $R$ og ladning $\rho(r) = \rho_0 \, r/R$
pr volumenhet. Fastsl{\aa}, ved hjelp av Gauss' lov, hvilken graf i figuren til h{\o}yre som
viser den resulterende elektriske feltstyrken $E$ som funksjon av avstanden $r$
fra sylinderens senterakse.
                                                                                                                 
\vspace{0.2cm}
\noindent
\parbox{8cm}{
\begin{tabular}{cl}
A & 1 \\
B & 2 \\
C & 3 \\
D & 4
\end{tabular}
}
\parbox{8cm}{
%%FIGURE
\centerline{\epsfxsize=2.5in \epsfbox{mid7_fig35.eps}}
%%END FIGURE
}
                                                                                                                 
\vspace{0.5cm}
\hrule
%\vspace{0.8cm}
\newpage
\noindent
$23)$ En uendelig stor skive har tykkelse $2d$ og konstant positiv ladning $\rho_0$ pr volumenhet.
Skiva har uendelig stor utstrekning i $y$- og $z$-retning og okkuperer omr{\aa}det $-d \le x \le d$.
Fastsl{\aa} hvilken graf i figuren til h{\o}yre som viser
det resulterende elektriske potensialet $V$ som funksjon av $x$. (Bare den ene halvdelen av rommet,
dvs $x>0$, er tatt med.) (Tips: Bestem f{\o}rst $E(x)$ ved hjelp av Gauss' lov og deretter $V(x)$.)

\vspace{0.2cm}
\noindent
\parbox{8cm}{
\begin{tabular}{cl}
A & 1 \\
B & 2 \\
C & 3 \\
D & 4
\end{tabular}
}
\parbox{8cm}{
%%FIGURE
\centerline{\epsfxsize=3.0in \epsfbox{mid7_fig14.eps}}
%%END FIGURE
}
                                                                                                                 
\vspace{0.5cm}
\hrule
\vspace{0.8cm}
\noindent
$24)$ Ei n{\o}ytral metallkule har et kuleformet hulrom i sentrum.
Kula er plassert i det elektriske feltet mellom to tiln{\ae}rmet uendelig
store metallplater med ladning henholdsvis $\sigma$ og $-\sigma$ pr flateenhet.
Hvilken figur angir korrekt feltlinjene for det
resulterende (totale) feltet i omr{\aa}det omkring kula?

\vspace{0.6cm}
\noindent
\parbox{8cm}{
\begin{tabular}{cl}
A & 1   \\
B & 2   \\
C & 3   \\
D & 4
\end{tabular}
}
\parbox{8cm}{
%%FIGURE
\centerline{\epsfxsize=2.5in \epsfbox{mid7_fig28.eps}}
%%END FIGURE
}

\vspace{0.5cm}
\hrule
\vspace{0.8cm}
\noindent
$25)$ To parallelle metallplater har stor line{\ae}r utstrekning
i forhold til avstanden $d$ mellom platene. {\O}verste plate har positiv ladning $Q$
og potensial $V_0$, nederste plate har negativ ladning $-Q$ og potensial 0.
{\O}vre halvdel av rommet mellom platene er fylt med et dielektrikum med relativ
permittivitet 6. Nedre halvdel av rommet mellom platene er
fylt med et dielektrikum med relativ permittivitet 2. I figuren er det angitt fire posisjoner
$j = 1,2,3,4$. Hva er riktig rangering av potensialene $V_j$ i disse fire posisjonene?
                                                                                                                 
\vspace{0.5cm}
\noindent
\parbox{6cm}{
\begin{tabular}{cl}
A & $V_1 = V_3 > V_2 = V_4$   \\
B & $V_3 > V_1 > V_2 > V_4$   \\
C & $V_3 > V_1 > V_4 > V_2$   \\
D & $V_1 = V_2 = V_3 = V_4$
\end{tabular}
}
\parbox{10cm}{
%%FIGURE
\centerline{\epsfxsize=3.0in \epsfbox{mid7_fig10A.eps}}
%%END FIGURE
}
                                                                                                                 
\vspace{0.5cm}
\hrule
\newpage
%\vspace{0.8cm}
\noindent
$26)$ Rommet mellom to store parallelle plater med ladning henholdsvis $Q$ ({\o}verst)
og $-Q$ (nederst) er fylt med to dielektriske materialer, i venstre halvdel et
dielektrikum med relativ permittivitet 6 og i h{\o}yre halvdel et
dielektrikum med relativ permittivitet 2. De tre figurene angir da feltlinjer for
                                                                                                                 
\vspace{0.2cm}
\noindent
\parbox{6cm}{
\begin{tabular}{cl}
A & $\bold{E}$ i 1, $\bold{D}$ i 2, $\bold{P}$ i 3 \\
B & $\bold{D}$ i 1, $\bold{P}$ i 2, $\bold{E}$ i 3 \\
C & $\bold{P}$ i 1, $\bold{E}$ i 2, $\bold{D}$ i 3 \\
D & $\bold{E}$ i 1, $\bold{P}$ i 2, $\bold{D}$ i 3
\end{tabular}
}
\parbox{10cm}{
%%FIGURE
\centerline{\epsfxsize=4.0in \epsfbox{mid7_fig12.eps}}
%%END FIGURE
}
                                                                                                                 
\vspace{0.5cm}
\hrule
\vspace{0.8cm}
\noindent
$27)$ Figuren viser to tiln{\ae}rmet uendelig store metallplater med ladning
$\sigma$ og $-\sigma$ pr flateenhet. Halvparten av volumet mellom platene er fylt med
et dielektrikum med relativ permittivitet $\varepsilon_r > 1$, som vist i figuren.
Avstanden mellom metallplatene er $d$.
Et elektron (masse $m_e$) starter i posisjon A med null hastighet. Hva er elektronets hastighet
n{\aa}r det kommer fram til posisjon B?
                                                                                                                 
\vspace{0.2cm}
\noindent
\parbox{8cm}{
\begin{tabular}{cl}
A & $\sqrt{2 e \sigma d / m_e \varepsilon_0}$ \\
B & $\sqrt{e \sigma d / 2 m_e \varepsilon_0 \varepsilon_r}$ \\
C & $\sqrt{e \sigma d / m_e \varepsilon_0 \varepsilon_r}$ \\
D & $\sqrt{e \sigma d / m_e \varepsilon_0}$
\end{tabular}
}
\parbox{8cm}{
%%FIGURE
\centerline{\epsfxsize=2.0in \epsfbox{mid7_fig16.eps}}
%%END FIGURE
}
                                                                                                                 
\vspace{0.5cm}
\hrule
%\newpage
\vspace{0.8cm}
\noindent
$28)$ En parallellplatekondensator har metallplater med stor line{\ae}r utstrekning
i forhold til avstanden $d$ mellom platene. Hver plate har areal $A$. Den
venstre tredjedelen av volumet mellom platene er fylt med et dielektrikum med
relativ permittivitet 4, som vist i figuren. Resten av volumet er luft. Hva blir
kapasitansen til denne kondensatoren? (Tips: Dette kan betraktes som en parallellkobling
av to kondensatorer.)
                                                                                                                 
\vspace{0.5cm}
\noindent
\parbox{6cm}{
\begin{tabular}{cl}
A & $2\varepsilon_0 A/d$  \\
B & $4\varepsilon_0 A/3d$  \\
C & $3\varepsilon_0 A/4d$  \\
D & $2\varepsilon_0 A/3d$
\end{tabular}
}
\parbox{10cm}{
%%FIGURE
\centerline{\epsfxsize=3.0in \epsfbox{mid7_fig11.eps}}
%%END FIGURE
}
                                                                                                                 
\vspace{0.5cm}
\hrule
\newpage
%\vspace{0.8cm}
\noindent
$29)$ Et tiln{\ae}rmet uendelig langt sylinderformet r{\o}r med radius $R$, og med sylinderaksen
sammenfallende med $y$-aksen, har konstant positiv ladning $\sigma$ pr 
flateenhet p{\aa} {\o}vre halvdel ($x^2+z^2=R^2$, $z>0$) og konstant negativ ladning $-\sigma$ pr flateenhet
p{\aa} nedre halvdel ($x^2+z^2=R^2$, $z<0$). Hva blir elektrisk dipolmoment pr lengdeenhet, $\bold{p}/L$,
for et slik r{\o}r?
                                                                                                                 
\vspace{0.5cm}
\noindent
\parbox{8cm}{
\begin{tabular}{cl}
A & $\bold{p}/L = 8 R^2 \sigma \, \hat{z}$ \\
B & $\bold{p}/L = 4 R^2 \sigma \, \hat{z}$ \\
C & $\bold{p}/L = 2 R^2 \sigma \, \hat{z}$ \\
D & $\bold{p}/L = R^2 \sigma \, \hat{z}$
\end{tabular}
}
\parbox{8cm}{
%%FIGURE
\centerline{\epsfxsize=3.3in \epsfbox{mid7_fig33.eps}}
%%END FIGURE
}
\vspace{0.5cm}
\hrule
\vspace{0.8cm}
\noindent
$30)$ En hul sylinder har lengde $L$, indre radius $a$ og ytre radius $b$. Materialet
som fyller omr{\aa}det mellom $r=a$ og $r=b$ har elektrisk ledningsevne (konduktivitet)
$\sigma$. Hva blir konduktansen $G$ mellom sylinderens indre og ytre overflate?
(Konduktans er den inverse resistansen, $G = 1/R$. Her tenker vi oss at str{\o}mmen $I$
g{\aa}r radielt utover fra indre mot ytre overflate av sylinderen.)

\vspace{0.5cm}
\noindent
\parbox{8cm}{
\begin{tabular}{cl}
A & $G = L \sigma$ \\
B & $G = (b^2 - a^2) \sigma / L$ \\
C & $G = a b L \sigma / (a^2 + b^2)$ \\
D & $G = 2 \pi L \sigma / \ln (b/a)$
\end{tabular}
}
\parbox{8cm}{
%%FIGURE
\centerline{\epsfxsize=3.0in \epsfbox{mid7_fig34.eps}}
%%END FIGURE
}

\vspace{0.5cm}
\hrule
\vspace{0.8cm}
\noindent
$31)$ En parallellplatekondensator best{\aa}r av to (store) parallelle metallplater
med areal $A$ i (liten) innbyrdes avstand $d$. Volumet mellom platene er fylt med
et materiale med permittivitet $\varepsilon$ og konduktivitet $\sigma$. Hva blir
tidskonstanten $RC$ for kondensatoren? (Kommentar: En ideell kondensator har en perfekt
isolator mellom metallplatene, dvs $\sigma=0$. Dette er alts{\aa} {\em ikke} en
ideell kondensator, men derimot b{\aa}de kondensator (med kapasitans $C$) og motstand $R$ 
p{\aa} samme tid. Kondensatoren vil lades ut p{\aa} grunn av lekkasjestr{\o}m gjennom materialet mellom
platene.)

\vspace{0.5cm}
\noindent
\parbox{6cm}{
\begin{tabular}{cl}
A & $RC = \varepsilon/\sigma$  \\
B & $RC = \sigma/\varepsilon$  \\
C & $RC = \varepsilon \sigma$  \\
D & $RC = \varepsilon d^2/A \sigma$
\end{tabular}
}
\parbox{10cm}{
%%FIGURE
\centerline{\epsfxsize=3.0in \epsfbox{mid7_fig7.eps}}
%%END FIGURE
}


\vspace{0.5cm}
\hrule
%\vspace{0.8cm}
\newpage
\noindent
$32)$ Hva blir str{\o}mstyrken $I$ angitt i kretsen til h{\o}yre?

\vspace{0.2cm}
\noindent
\parbox{8cm}{
\begin{tabular}{cl}
A & $V_0/R$  \\
B & $V_0/2R$  \\
C & $V_0 R$  \\
D & $V_0 R/2$
\end{tabular}
}
\parbox{8cm}{
%%FIGURE
\centerline{\epsfxsize=2.0in \epsfbox{mid7_fig8.eps}}
%%END FIGURE
}



\vspace{0.5cm}
\hrule
\vspace{0.8cm}
\noindent
$33)$ Hva blir str{\o}mstyrken $I$ angitt i kretsen til h{\o}yre?

\vspace{0.2cm}
\noindent
\parbox{8cm}{
\begin{tabular}{cl}
A & $4V_0/3R$  \\
B & $3V_0/4R$  \\
C & $5V_0/2R$  \\
D & $2V_0/5R$
\end{tabular}
}
\parbox{8cm}{
%%FIGURE
\centerline{\epsfxsize=2.0in \epsfbox{mid7_fig9.eps}}
%%END FIGURE
}


\vspace{0.5cm}
\hrule
\vspace{0.8cm}
\noindent
$34)$ Hva blir str{\o}mstyrken $I$ angitt i kretsen til h{\o}yre?

\vspace{0.2cm}
\noindent
\parbox{8cm}{
\begin{tabular}{cl}
A & $3V_0/7R$  \\
B & $3V_0/9R$  \\
C & $3V_0/11R$  \\
D & $3V_0/13R$
\end{tabular}
}
\parbox{8cm}{
%%FIGURE
\centerline{\epsfxsize=2.0in \epsfbox{mid7_fig17.eps}}
%%END FIGURE
}

\vspace{0.5cm}
\hrule
\vspace{0.8cm}
\noindent
$35)$ Hva blir ladningen $Q$ angitt i kretsen til h{\o}yre?

\noindent
\parbox{8cm}{
\begin{tabular}{cl}
A & $V_0 C$ \\
B & $2V_0 C$ \\
C & $V_0 C/2$ \\
D & $V_0 C/4$
\end{tabular}
}
\parbox{8cm}{
%%FIGURE
\centerline{\epsfxsize=2.0in \epsfbox{mid7_fig18.eps}}
%%END FIGURE
}

\vspace{0.5cm}
\hrule
\vspace{0.8cm}
\noindent
$36)$ Hva blir ladningen $Q$ angitt i kretsen til h{\o}yre?

\noindent
\parbox{8cm}{
\begin{tabular}{cl}
A & $3V_0 C$ \\
B & $3V_0 C/2$ \\
C & $3V_0 C/4$ \\
D & $3V_0 C/8$
\end{tabular}
}
\parbox{8cm}{
%%FIGURE
\centerline{\epsfxsize=2.0in \epsfbox{mid7_fig19.eps}}
%%END FIGURE
}

\vspace{0.5cm}
\hrule
\vspace{0.8cm}
\noindent
$37)$ Bryteren $S$ lukkes ved tidspunktet $t=0$. Str{\o}mmen i kretsen
blir deretter $I(t) = I_0 \exp(-t/\tau)$. Hva er $I_0$ og $\tau$?

\vspace{0.2cm}
\noindent
\parbox{8cm}{
\begin{tabular}{cl}
A & $I_0=V_0/3R \,\,\, , \,\,\, \tau = 3RC$  \\
B & $I_0=V_0/R \,\,\, , \,\,\, \tau = RC$  \\
C & $I_0=3V_0/R \,\,\, , \,\,\, \tau = RC$  \\
D & $I_0=3V_0/R \,\,\, , \,\,\, \tau = RC/3$ 
\end{tabular}
}
\parbox{8cm}{
%%FIGURE
\centerline{\epsfxsize=2.0in \epsfbox{mid7_fig20.eps}}
%%END FIGURE
}


\vspace{0.5cm}
\hrule
\vspace{0.8cm}
\noindent
$38)$ I kretsen til h{\o}yre har spenningskilden $V_0$ v{\ae}rt tilkoblet s{\aa} lenge
at str{\o}mmene i kretsen ikke lenger endrer seg med tiden. Hva er da de 4 angitte
str{\o}mstyrkene $I_j$, $j=1,2,3,4$?

\vspace{0.2cm}
\noindent
\parbox{11cm}{
\begin{tabular}{cl}
A & $I_1=V_0/4R$, $I_2=0$, $I_3=V_0/4R$, $I_4=0$  \\
B & $I_1=V_0/4R$, $I_2=V_0/4R$, $I_3=V_0/4R$, $I_4=V_0/4R$  \\
C & $I_1=3V_0/4R$, $I_2=V_0/4R$, $I_3=V_0/4R$, $I_4=V_0/4R$  \\
D & $I_1=V_0/4R$, $I_2=0$, $I_3=V_0/2R$, $I_4=0$ 
\end{tabular}
}
\parbox{7cm}{
%%FIGURE
\centerline{\epsfxsize=3in \epsfbox{mid7_fig21.eps}}
%%END FIGURE
}


\vspace{0.5cm}
\hrule
\vspace{0.8cm}
\noindent
$39)$ Hver av de fem lysp{\ae}rene i figuren nedenfor kan betraktes som en ideell ohmsk motstand
$R$. {\O}kt spenning over en lysp{\ae}re (og dermed {\o}kt str{\o}mstyrke) gir {\o}kt lysstyrke i lysp{\ae}ra.
Hvilke(n) lysp{\ae}re(r) lyser svakest?

\vspace{0.2cm}
\noindent
\parbox{8cm}{
\begin{tabular}{cl}
A & 1    \\
B & 2    \\
C & 3 og 4 \\
D & 5 
\end{tabular}
}
\parbox{8cm}{
%%FIGURE
\centerline{\epsfxsize=2.0in \epsfbox{mid7_fig30.eps}}
%%END FIGURE
}

\vspace{0.5cm}
\hrule
%\newpage
\vspace{0.8cm}
\noindent
$40)$ I kretsen i forrige oppgave, hva skjer med lysstyrken i p{\ae}re 4 dersom p{\ae}re 2 skrus ut?

\vspace{0.2cm}
\noindent
\begin{tabular}{cl}
A & Uendret. \\
B & Lyser svakere. \\
C & Lyser sterkere. \\
D & Slokker.
\end{tabular}




\vspace{0.5cm}
\hrule


\end{document}