\documentclass[11pt]{article}
\usepackage{epsfig}
\usepackage[norsk]{babel}
\topmargin=-1.5cm
\oddsidemargin=-1.0cm
\evensidemargin=-1.0cm
\textheight=25cm
\textwidth=18cm
\setlength{\parindent}{0cm}

\begin{document}
\newcommand{\bold}[1]{\mbox{\boldmath $#1$}}

\begin{center}
\begin{bf}
TFY4104/TFY4125 Fysikk. Institutt for fysikk, NTNU.

{\O}ving 11.
\end{bf}
\end{center}


\vspace{1.0cm}
\noindent
{\bf Oppgave 1}

\vspace{0.2cm}
\noindent
Partikler med masse $m$, ladning $q$ og hastighet $\bold{v}$ kommer
inn i et omr{\aa}de med ''krysset'' elektrisk og magnetisk felt, $\bold{E}$
og $\bold{B}$, som vist i figuren. $\bold{E}$ har retning nedover, $\bold{B}$
har retning inn i papirplanet. I omr{\aa}det med utstrekning $L$ antar vi at
feltene er homogene. Utenfor dette omr{\aa}det er $\bold{E}=\bold{B}=0$.

%%FIGURE
\vspace{1.5cm}
\centerline{\epsfxsize=4.0in \epsfbox{ov12_fig1.eps}}
\vspace{1.5cm}
%%END FIGURE

\noindent
Du holder den elektriske feltstyrken $E$ konstant gjennom hele eksperimentet.
I det f{\o}rste eksperimentet setter du $B=0$ og registrerer at partiklene avb{\o}yes og treffer
detektoren i en avstand $y$ ovenfor senterlinjen (som er stiplet). Deretter gjentar
du fors{\o}ket, men denne gangen justerer du verdien av $B$ inntil partiklene ikke b{\o}yes av.

\noindent
Vis at forholdet mellom partiklenes ladning og masse er proporsjonal med
avb{\o}yningen (n{\aa}r $B=0$), dvs
$$\frac{q}{m} = - a y,$$
og finn st{\o}rrelsen $a$ uttrykt ved $E$, $B$, $D$ og $L$.

\vspace{0.5cm}
\noindent
Oppgitt: $\bold{F} = q \left(\bold{E} + \bold{v} \times \bold{B} \right)$ \hspace{0.3cm} (Lorentzkraften)

\vspace{0.5cm}
\noindent
P{\aa} denne m{\aa}ten analyserte J. J. Thomson i 1897 s{\aa}kalte katodestr{\aa}ler
og p{\aa}viste at disse bestod av en bestemt type partikler med negativ ladning. Dette er
nettopp elektroner som emitteres fra metallet i katoden. Thomson var alts{\aa} den f{\o}rste
som bestemte forholdet $e/m_e$. Thomson fant det samme forholdet uavhengig av hva slags metall
han brukte i katoden og kunne konkludere med at de observerte partiklene m{\aa}tte v{\ae}re
en {\em fundamental} ingrediens i naturen.

\vspace{2.5cm}
\noindent
{\small Fasit: $a = E/\left(B^2 \left(DL + L^2/2 \right)\right)$}


\newpage
\vspace{1.0cm}
\noindent
{\bf Oppgave 2}


%%FIGURE
\vspace{2.5cm}
\centerline{\epsfxsize=5.2in \epsfbox{ov12_fig2.eps}}
\vspace{0.8cm}
%%END FIGURE

\vspace{0.7cm}
\noindent
Figuren viser et massespektrometer. En ionekilde emitterer ladete partikler.
{\AA}pningene $S_1$ og $S_2$ s{\o}rger for at en godt samlet ({\em kollimert})
partikkelstr{\aa}le kommer inn i omr{\aa}det med magnetfelt $\bold{B}$ (som
har retning inn i papirplanet). Mellom $S_1$ og $S_2$ har vi en spenningsforskjell
$V$ som akselererer ionene. Hastigheten ved $S_2$ er mye st{\o}rre enn ved
$S_1$, slik at vi kan sette $v = 0$ ved $S_1$.
Ionene b{\o}yes i alt 180$^\circ$ av magnetfeltet og detekteres p{\aa} en
fotografisk plate $P$.

\noindent
Spektrometeret skal brukes til {\aa} separere bromisotopene $^{79}$Br og $^{81}$Br.
Kilden sender ut disse isotopene i form av ioner med ladning $-e$. 
Anta at isotopene har atommasser henholdsvis 79$m_p$ og 81$m_p$.

\noindent
P{\aa} den fotografiske platen {\o}nskes isotopenes treffpunkt adskilt med en avstand
p{\aa} minst 1.0 cm. Samtidig m{\aa} vi s{\o}rge for at begge isotopenes treffpunkt havner
{\em p{\aa}} den fotografiske platen, som har en bredde $L=250$ cm, m{\aa}lt fra
der ionene kommer inn i magnetfeltet. Med disse betingelsene, hva blir {\o}vre
og nedre grense for styrken p{\aa} magnetfeltet $B$ n{\aa}r akselerasjonsspenningen $V$ er 400 V?

\vspace{0.3cm}
\noindent

\vspace{1.3cm}
\noindent
Oppgitt: $e = 1.6 \cdot 10^{-19}$ C, $m_p = 1.67 \cdot 10^{-27}$ kg \hspace{1.5cm}
{\small [Ett av svarene: $B_{\rm min} = 21$ mT]}


\newpage
\noindent
{\bf Oppgave 3}

\vspace{0.2cm}
\hrule
\vspace{0.2cm}
\noindent
$1)$ Ei kvadratisk ledersl{\o}yfe f{\o}rer en str{\o}m $I$ og kan rotere
omkring $y$-aksen. Den er plassert i et uniformt magnetfelt $\bold{B}$
rettet langs $z$-aksen. I figurene nedenfor betrakter vi ledersl{\o}yfa
i henholdsvis $xy$-planet (til venstre) og $xz$-planet (til h{\o}yre).
Ledersl{\o}yfas plan danner en vinkel $\theta$
med $xy$-planet, som vist i figuren til h{\o}yre. Hvilket av kraftparene
nummerert fra 1 til 4 i figuren til h{\o}yre virker da p{\aa} de to lengdene av ledersl{\o}yfa
som ligger parallelt med $y$-aksen?

\vspace{0.5cm}
\noindent
\parbox{7cm}{
\begin{tabular}{cl}
A & 1 \\
B & 2 \\
C & 3 \\
D & 4
\end{tabular}
}
\parbox{9cm}{
%%FIGURE
\centerline{\epsfxsize=3.6in \epsfbox{des2003_2_2.eps}}
%%END FIGURE
}

\vspace{0.2cm}
\hrule
\vspace{0.2cm}
\noindent
$2)$ Partikler, alle med ladning forskjellig fra null,
med ulike masser og hastigheter (men alle med hastighet
i positiv $x$-retning) kommer inn i et omr{\aa}de der det elektriske feltet er
$\bold{E} = E_0 \;\hat{y}$ (nedover i figuren) mens magnetfeltet er $\bold{B} = B_0 \;\hat{z}$
(inn i planet).
Hvis $E_0 = 10$ kV/m og $B_0 = 50$ mT, m{\aa} de partiklene som passerer
gjennom omr{\aa}det med elektrisk felt og magnetfelt {\em uten {\aa}
avb{\o}yes}

\vspace{0.5cm}
\noindent
\parbox{8cm}{
\begin{tabular}{cl}
A & v{\ae}re elektroner. \\
B & v{\ae}re protoner. \\
C & ha hastighet 500 m/s. \\
D & ha hastighet 200 km/s.
\end{tabular}
}
\parbox{8cm}{
%%FIGURE
\centerline{\epsfxsize=3.3in \epsfbox{des2003_2_1.eps}}
%%END FIGURE
}

\vspace{0.2cm}
\hrule
\vspace{0.2cm}
\noindent
$3)$ Et elektron med masse $m_e$ og ladning $-e$ befinner seg i et uniformt
magnetfelt $\bold{B} = B_0 \, \hat{z}$. Ved tidspunktet $t=0$ har elektronet
hastighet $\bold{v} = v_0 \, \hat{x} + v_0 \, \hat{y}$. Hva slags bevegelse
f{\aa}r elektronet?

\vspace{0.2cm}
\noindent

\begin{tabular}{cl}
A & Sirkelbevegelse med radius $m_e v_0 / e B_0$ \\
B & Sirkelbevegelse med radius $\sqrt{2} m_e v_0 / e B_0$ \\
C & Sirkelbevegelse med radius $\sqrt{2} e B_0 / m_e$ \\
D & Sirkelbevegelse med radius $e B_0 / m_e$
\end{tabular}
\vspace{0.3cm}

\vspace{0.2cm}
\hrule
\vspace{0.5cm}
\noindent
$4)$ Hva er magnetisk feltstyrke inne i en luftfylt spole med lengde 31.42 cm,
2000 viklinger, spolestr{\o}m 2.0 A og tverrsnitt 1 cm$^2$?

\vspace{0.2cm}
\noindent

\begin{tabular}{clccl}
A & 16 $\mu$T & \hspace{4cm} &  B & 16 mT  \\
C & 16 T      & \hspace{4cm} &  D & 16 kT
\end{tabular}


\vspace{0.2cm}
\hrule
\vspace{0.5cm}
\noindent
$5)$ Hva er magnetisk dipolmoment for en ledersl{\o}yfe formet som en regul{\ae}r
sekskant med sidekanter 1.0 cm og str{\o}mstyrke 1.0 A i ledertr{\aa}den?

\vspace{0.2cm}
\noindent

\begin{tabular}{clccl}
A & 0.2 Acm$^2$ & \hspace{4cm} &  B & 1.4 Acm$^2$ \\
C & 2.6 Acm$^2$ & \hspace{4cm} &  D & 3.8 Acm$^2$
\end{tabular}
\vspace{0.5cm}
\hrule



\newpage
\noindent
{\bf Kommentarer:}

\begin{itemize}
\item
Magnetisk dipolmoment $\bold{m}$ for ei plan, lukket str{\o}msl{\o}yfe som omslutter
et areal $A$ er pr definisjon
$$\bold{m} = I\bold{A} = I A \; \hat{n}$$
der $\hat{n}$ er enhetsvektoren normalt til den plane omsluttede flaten. Magnetisk dipolmoment er
alts{\aa} en {\em vektor} (p{\aa} samme m{\aa}te som elektrisk dipolmoment $\bold{p}$).
Positiv retning p{\aa} $\bold{m}$ er definert ved hjelp av h{\o}yreh{\aa}ndsregelen: Fire fingre
i str{\o}mmens retning gir tommelen i samme retning som $\bold{m}$.
\item
Merk at ulike l{\ae}reb{\o}ker bruker litt ulik notasjon her:
Noen kaller det ''magnetisk dipolmoment'', andre bare ''magnetisk moment''.
Noen bruker symbolet $\bold{\mu}$, andre bruker $\bold{m}$. 
Uansett, det er samme fysiske st{\o}rrelse det dreier seg om! Vi velger {\aa} bruke
symbolet $\bold{m}$ og kaller det magnetisk dipolmoment.
\item
For de spesielt interesserte:
I likhet med elektrisk dipolmoment har ogs{\aa} magnetisk
dipolmoment en mer {\em generell} definisjon enn den vi innf{\o}rte ovenfor.
(Verden best{\aa}r ikke bare av parvise punktladninger med motsatt fortegn og plane str{\o}msl{\o}yfer!) 
La oss repetere den generelle definisjonen av elektrisk dipolmoment (notatene side 72):
Har vi en romladningstetthet $\rho(\bold{r})$, er elektrisk
dipolmoment $\bold{p}$ pr definisjon
$$\bold{p} = \int \bold{r} \; dq = \int \bold{r} \rho(\bold{r})\; d^3 r,$$
der $d^3 r$ er et lite volumelement.
Og har vi en str{\o}mfordeling gitt ved str{\o}mtettheten $\bold{j}(\bold{r})$, er
magnetisk dipolmoment $\bold{m}$ pr definisjon
$$\bold{m} = \frac{1}{2} \int \bold{r} \times \bold{j}(\bold{r})\; d^3 r.$$
Her g{\aa}r integralet over ''hele rommet'', dvs der henholdsvis $\rho$ og $\bold{j}$
er forskjellig fra null.
For {\em spesialtilfellene}, som vi stort sett
ser p{\aa} i dette kurset, nemlig parvise punktladninger $\pm q$
i innbyrdes avstand beskrevet ved vektoren $\bold{d}$, og plane str{\o}msl{\o}yfer med
stasjon{\ae}r str{\o}m $I$ som omslutter et areal beskrevet ved vektoren 
(noen ganger kalt ''vektorarealet'') $\bold{A} = A\;\hat{n}$,
reduserer disse generelle definisjonene seg nettopp til
$$\bold{p} = q\bold{d}$$
og 
$$\bold{m} = I\bold{A}$$
\end{itemize}


\end{document}