\documentclass[11pt]{article}
\usepackage{epsfig}
\usepackage[norsk]{babel}
\topmargin=-1.5cm
\oddsidemargin=-1.0cm
\evensidemargin=-1.0cm
\textheight=25cm
\textwidth=18cm
\setlength{\parindent}{0cm}

\begin{document}
\newcommand{\bold}[1]{\mbox{\boldmath $#1$}}

\begin{center}
\begin{bf}
TFY4104/TFY4125 Fysikk. Institutt for fysikk, NTNU.

{\O}ving 12.
\end{bf}
\end{center}


\vspace{0.7cm}
\noindent
{\bf Oppgave 1}

\vspace{0.2cm}
\noindent
I forelesningene viste vi at atomer kan oppfattes som sm{\aa} str{\o}msl{\o}yfer,
dvs som sm{\aa} magnetiske dipoler med magnetisk dipolmoment $\bold{m} = I \bold{A}$
der str{\o}mmen $I$ g{\aa}r i en bane som omslutter et (plant) areal $A$.
(''Vektorarealet'' er da $\bold{A} = A\;\hat{n}$, der $\hat{n}$ er en enhetsvektor normalt
til den omsluttede flaten, med positiv retning bestemt ved h{\o}yreh{\aa}ndsregelen.)

\noindent
Her skal vi bruke ei {\em kvadratisk} str{\o}msl{\o}yfe som modell for en slik atom{\ae}r
magnetisk dipol og se n{\ae}rmere p{\aa} hvordan den vil oppf{\o}re seg i et ''ytre''
magnetfelt $\bold{B}$. (Vi kunne ogs{\aa} ha brukt ei {\em sirkul{\ae}r} str{\o}msl{\o}yfe,
men den kvadratiske er litt enklere {\aa} regne p{\aa}.)

\noindent
Str{\o}msl{\o}yfa har sidekanter med lengde $a$ og f{\o}rer alts{\aa}
en str{\o}m $I$. Den er plassert i et {\em homogent} magnetfelt
$\bold{B} = B\;\hat{z}$ og kan rotere fritt omkring $y$-aksen, som her g{\aa}r
gjennom  str{\o}msl{\o}yfas sentrum som vist i figuren:

%%FIGURE
\vspace{0.5cm}
\centerline{\epsfxsize=4.5in \epsfbox{ov13_fig1.eps}}
\vspace{0.5cm}
%%END FIGURE

\noindent
Orienteringen av str{\o}msl{\o}yfa er definert ved vinkelen $\theta$ mellom
$z$-aksen og flatenormalen $\hat{n}$. (Positiv $\theta$ {\em med} klokka,
som vist i figuren.)

\vspace{0.3cm}
\noindent
$a)$ Hva blir str{\o}msl{\o}yfas magnetiske dipolmoment $\bold{m}$? Hva blir den
totale kraften fra $\bold{B}$ p{\aa} str{\o}msl{\o}yfa?

\vspace{0.3cm}
\noindent
$b)$ Beregn dreiemomentet $\bold{\tau}$ p{\aa} sl{\o}yfa omkring $y$-aksen
og vis at det kan uttrykkes p{\aa} formen $\bold{\tau} = \bold{m} \times \bold{B}$.

\noindent
[Tips: Finn kraften p{\aa} hver av de fire rette lederstykkene og bruk at dreiemoment
= ''arm ganger kraft''.]

\vspace{0.3cm}
\noindent
$c)$ Bestem den potensielle energien $U(\theta)$ til en slik magnetisk dipol i feltet
$\bold{B}$. Skisser $U(\theta)$.
Hva slags orientering av dipolen i forhold til $\bold{B}$ representerer henholdsvis
en stabil og en ustabil likevekt? [Tips: $\tau = -dU/d\theta$, jfr {\o}ving 9.]


\vspace{1.2cm}
\noindent
{\bf Oppgave 2} \\

\vspace{0.2cm}
\hrule
\vspace{0.2cm}
\noindent
$a)$ Dersom antall viklinger p{\aa} en spole fordobles, {\o}ker spolens
induktans med en faktor

\vspace{0.5cm}
\noindent
A 2 \hspace{1cm} B 4 \hspace{1cm} C 8 \hspace{1cm} D 16 \\


\vspace{0.2cm}
\hrule
\vspace{0.2cm}
\noindent
$b)$ Hvor mye (magnetisk) energi er lagret i en lang, tettviklet
spole med 400 viklinger fordelt over en lengde 10 cm, tverrsnitt
4 cm$^2$, og str{\o}mstyrke 3.0 A i spoletr{\aa}den? (S{\aa}nn omtrent!)

\vspace{0.5cm}
\noindent
A ca 3 $\mu$J \hspace{1cm}  B ca 3 mJ \hspace{1cm}  C ca 3 J \hspace{1cm}  D ca 3 kJ   \\


\vspace{0.2cm}
\hrule
\vspace{0.2cm}
\noindent
$c)$ Dersom en vekselspenningskilde $V_0 \cos \omega t$ kobles til en kondensator med
kapasitans $C$, vil str{\o}mmen i kretsen ha amplitude

\vspace{0.5cm}
\noindent
A  null \hspace{1cm}  B $V_0/\omega C$  \hspace{1cm}  C $V_0 C/\omega$ \hspace{1cm}  D $V_0 \omega C$   \\

\vspace{0.2cm}
\hrule
\vspace{0.2cm}
\noindent
$d)$ Dersom en vekselspenningskilde $V_0 \cos \omega t$ kobles til en spole med
induktans $L$, vil str{\o}mmen i kretsen ha amplitude

\vspace{0.5cm}
\noindent
A  null \hspace{1cm}  B $V_0/\omega L$  \hspace{1cm}  C $V_0 L/\omega$ \hspace{1cm}  D  $V_0 \omega L$   \\


\vspace{0.2cm}
\hrule
\vspace{0.2cm}
\noindent
$e)$ Dersom en vekselspenningskilde $V_0 \cos \omega t$ kobles til en motstand med
resistans $R$, vil str{\o}mmen i kretsen ha amplitude

\vspace{0.5cm}
\noindent
A  null \hspace{1cm}  B $V_0/R$  \hspace{1cm}  C $V_0 R/\omega$ \hspace{1cm}  D  $V_0/\omega R$   \\


\vspace{0.2cm}
\hrule
\vspace{0.2cm}
\noindent
$f)$ Hvem forbinder du f{\o}rst og fremst med hhv krefter mellom elektriske ladninger,
indusert spenning fra tidsavhengig magnetisk fluks, og naturens iboende motstand mot
p{\aa}tvungne endringer? 

\vspace{0.5cm}
\noindent
A Hhv Lenz, Coulomb og Faraday

B Hhv Coulomb, Faraday og Lenz

C Hhv Faraday, Lenz og Coulomb

D Hhv Coulomb, Lenz og Faraday


\vspace{0.4cm}
\hrule
\vspace{0.4cm}
\noindent

\vspace{5mm}
$g)$ To spoletr{\aa}der er viklet opp rundt samme (umagnetiske) sylinder, med tverrsnitt $A$, 
over samme lengde $\lambda$ av sylinderen. Antall viklinger av de to spoletr{\aa}dene er 
hhv $N_1$ og $N_2$. Hva er de to spolenes gjensidige induktans $M$? 
(Oppgitt: $M = \Phi_1/I_2 = \Phi_2/I_1$.) \\

A $M = \mu_0 N_1 A/N_2 \lambda$ \\
B $M = \mu_0 N_2 A/N_1 \lambda$ \\
C $M = \mu_0 N_1 N_2 A/\lambda$ \\
D $M = \mu_0 A \lambda / N_1 N_2$ \\
E $M = \mu_0 N_1 N_2/\lambda A$ \\

\vspace{0.4cm}
\hrule
\vspace{0.4cm}

\newpage
\noindent
\vspace{5mm}
$h)$ Et batteri p{\aa} 4.5 V kobles til en seriekobling av en motstand $1\,\Omega$ og en 
induktans 1 H. Hvor lang tid tar det f{\o}r str{\o}mstyrken i kretsen er 4.0 A? 
(Oppgitt: $I(t) = (V_0/R)(1-\exp(-Rt/L))$.) \\

A   2.2 ms \\
B   22 ms \\
C   0.22 s \\
D   2.2 s \\
E   22 s \\

\vspace{0.4cm}
\hrule
\vspace{0.4cm}
\noindent
\vspace{5mm}
$i)$ Hvor stor induktans m{\aa} du koble i serie med en kapasitans 47.0 nF for {\aa} 
oppn{\aa} en oscillator med egenfrekvens $f_0 = 92.4$ MHz? 
(1 pH = $10^{-12}$ H) \\

A   0.631 pH \\
B   6.31 pH \\
C   63.1 pH \\
D   631 pH \\
E   6310 pH \\

\vspace{0.4cm}
\hrule
\vspace{0.4cm}
\noindent
\vspace{5mm}
$j)$ Utstyrt med en induktans p{\aa} 1.0 $\mu$H {\o}nsker du {\aa} konstruere en svingekrets 
med resonansfrekvens 1.0 MHz og en smal resonanskurve med $Q$-faktor 
$10^4$. Hva slags kapasitans $C$ og resistans $R$
velger du da {\aa} seriekoble induktansen din med?
(Oppgitt: $Q = f_0/\Delta f = \sqrt{L/C}/R$) \\

A   $C=25$ pF og $R=63$ m$\Omega$ \\
B   $C=25$ nF og $R=0.63$ m$\Omega$ \\
C   $C=0.25$ nF og $R=0.63$ $\Omega$ \\
D   $C=63$ nF og $R=25$ m$\Omega$ \\
E   $C=63$ nF og $R=0.25$ $\Omega$ \\

\vspace{0.4cm}
\hrule
\vspace{0.4cm}
\end{document}