\documentclass[11pt]{article} \usepackage{epsfig} \usepackage[norsk]{babel} \topmargin=-1.5cm \oddsidemargin=-1.0cm \evensidemargin=-1.0cm \textheight=25cm \textwidth=18cm \setlength{\parindent}{0cm} \begin{document} \newcommand{\bold}[1]{\mbox{\boldmath $#1$}} \newcommand{\half}{\frac{1}{2}} \begin{center} \begin{bf} TFY4125 Fysikk. Institutt for fysikk, NTNU. L{\o}sningsforslag til {\o}ving 13. \end{bf} \end{center} \vspace{1.2cm} \noindent {\bf Oppgave 1} \vspace{0.2cm} \noindent $a)$ Sl{\o}yfas magnetiske dipolmoment: $$\bold{m} = IA\;\hat{n} = I a^2\;\hat{n}$$ Sl{\o}yfa best{\aa}r av 4 rette ledere med lengde $a$, der to og to har str{\o}mmen g{\aa}ende i motsatt retning. Dermed blir den magnetiske kraften $$\bold{F} = I \int \;d\bold{l} \times \bold{B} = I \bold{L}\times\bold{B}$$ motsatt rettet, men like stor i absoluttverdi, for slike par av rette lederbiter. Den totale kraften p{\aa} sl{\o}yfa blir dermed null. Noen detaljer er inkludert i figuren: %%FIGURE \vspace{0.5cm} \centerline{\epsfxsize=2.8in \epsfbox{los13_fig1.eps}} \vspace{0.5cm} %%END FIGURE \noindent Vi ser av figuren at kreftene fra magnetfeltet ville ha deformert str{\o}msl{\o}yfa dersom det hadde v{\ae}rt en mulighet. For ei makroskopisk str{\o}msl{\o}yfe er dette som regel en neglisjerbar effekt, men dersom str{\o}msl{\o}yfa er en klassisk modell av et elektron i bane rundt en atomkjerne, aner vi at {\em i tillegg} til en innretting av str{\o}msl{\o}yfa (som vi skal se p{\aa} i resten av denne oppgaven), vil magnetfeltet p{\aa}virke selve banebevegelsen til elektronet rundt kjernen. Med andre ord: Atomets magnetiske moment endres b{\aa}de i {\em retning} og i {\em absoluttverdi}. F{\o}rstnevnte effekt er {\em paramagnetisme}, sistnevnte effekt er {\em diamagnetisme}. Her konsentrerer vi oss om orienteringen av $\bold{m}$. \vspace{0.2cm} \noindent $b)$ Av figuren over ser vi at de to str{\o}mmene som g{\aa}r parallelt med $xz$-planet p{\aa}virkes av krefter i hhv positiv og negativ $y$-retning. Disse kreftene vil da ikke bidra til dreiemomentet omkring $y$-aksen. \noindent Kreftene som virker p{\aa} str{\o}mmene som g{\aa}r parallelt med $y$-aksen gir tilsammen et dreiemoment (se figuren nedenfor og ovenfor) %%FIGURE \vspace{0.5cm} \centerline{\epsfxsize=2.5in \epsfbox{los13_fig2.eps}} \vspace{0.5cm} %%END FIGURE \begin{eqnarray} \bold{\tau} &=& \sum \bold{r}\times\bold{F} \nonumber \\ &=& - r_1 F_1 \sin\theta\;\hat{y} - r_2 F_2 \sin\theta\;\hat{y} \nonumber \\ &=& -2 \cdot \frac{a}{2} \cdot IaB \sin\theta \;\hat{y} \nonumber \\ &=& -Ia^2 \cdot B \sin\theta \;\hat{y} \nonumber \\ &=& -m \cdot B \sin\theta \;\hat{y} \nonumber \\ &=& \bold{m} \times \bold{B} \nonumber \end{eqnarray} Skiftet av fortegn i siste linje skyldes av vi hadde valgt positiv vinkel $\theta$ mellom $z$-aksen og $\hat{n}$, alts{\aa} mellom $\bold{B}$ og $\bold{m}$. Kryssproduktet $\bold{m} \times \bold{B}$ er, pr definisjon, $m$ ganger $B$ ganger sinus til vinkelen mellom $\bold{m}$ og $\bold{B}$, dvs $mB\sin(-\theta) = -mB\sin\theta$. \vspace{0.2cm} \noindent $c)$ I {\o}ving 9 hadde vi en {\em generell} sammenheng mellom dreiemoment $\tau$ og tilh{\o}rende potensiell energi $U$, nemlig at en rotasjon gjennom en vinkel $d\alpha$ under p{\aa}virkning av et dreiemoment $\tau$ resulterer i en endring $dU$ i potensiell energi gitt ved $$dU = - \tau\;d\alpha$$ Denne sammenhengen er ikke avhengig av hvilken {\em type} krefter og dreiemoment det handler om, og m{\aa} derfor gjelde like bra for v{\aa}r magnetiske dipol i et magnetfelt som for den elektriske dipolen i et elektrisk felt i {\o}ving 9. F{\o}lgelig: \begin{eqnarray} U(\theta) &=& \int_{\theta_0}^{\theta} dU \nonumber \\ &=& -\int_{\theta_0}^{\theta} \tau(\alpha)\;d\alpha \nonumber \\ &=& m B \int_{\theta_0}^{\theta} \sin\alpha\;d\alpha \nonumber \\ &=& m B \left( \cos\theta_0 - \cos\theta \right) \nonumber \\ &=& - m B \cos\theta \nonumber \\ &=& - \bold{m} \cdot \bold{B} \nonumber \end{eqnarray} Her valgte jeg {\aa} sette $U(0) = - m B$, dvs $\theta_0 = \pi/2$. \vspace{0.5cm} \noindent Skisse: %%FIGURE \vspace{0.5cm} \centerline{\epsfxsize=2.8in \epsfbox{los13_fig3.eps}} \vspace{0.5cm} %%END FIGURE \noindent Vi har minimal $U$, og f{\o}lgelig stabil likevekt for $\theta = 0$, dvs for dipolen orientert slik at $\bold{m}$ er parallell med $\bold{B}$. Vi har maksimal $U$, og f{\o}lgelig ustabil likevekt for $\theta = \pm \pi$, dvs for dipolen orientert slik at $\bold{m}$ er parallell med $-\bold{B}$. \noindent Dette er magnetismens analogi til polarisering av dielektriske medier i et ytre elektrisk felt: Magnetiske dipoler retter seg inn langs det p{\aa}trykte magnetfeltet. Som nevnt lenger opp, dette er hva vi kaller {\em paramagnetisme}. Vi har snakket om ulike typer magnetisme i forelesningene -- her er en liten oppsummering: \noindent Medier som best{\aa}r av atomer/molekyler som har et permanent atom{\ae}rt magnetisk dipolmoment som {\em ikke} er lik null, og der dipolmomentene p{\aa} atomer i n{\ae}rheten av hverandre {\em ikke} vekselvirker med hverandre, er {\em paramagneter}. {\em Uten} et ytre magnetfelt vil de atom{\ae}re magnetiske dipolmomentene peke i tilfeldige retninger, slik at den midlere {\em magnetiseringen}, dvs midlere magnetiske dipolmoment pr volumenhet, blir lik null overalt i mediet. Slik var det ogs{\aa} med midlere polarisering i et dielektrikum n{\aa}r vi ikke hadde noe ytre elektrisk felt. {\em Med} et ytre magnetfelt f{\aa}r vi en tendens til innretting av magnetiske dipolmoment langs det ytre feltet, og dermed en midlere magnetisering forskjellig fra null. Eksempler p{\aa} paramagnetiske materialer er aluminium (Al) og magnesium (Mg). Paramagnetisme er en svak effekt, med magnetisk susceptibilitet av st{\o}rrelsesorden $10^{-4}$ eller deromkring. \noindent Medier som best{\aa}r av atomer med atom{\ae}rt magnetisk dipolmoment {\em lik null} har ingenting {\aa} rette inn i et p{\aa}trykt magnetfelt. Men, og som nevnt lenger opp, {\em banebevegelsen} til elektronene rundt atomkjernen vil p{\aa}virkes av et ytre magnetfelt, slik at vi f{\aa}r {\em indusert} et atom{\ae}rt magnetisk dipolmoment i hvert eneste atom. Slike medier er {\em diamagneter}. Vi ser kvalitativt p{\aa} denne effekten i neste oppgave, og vil finne at det induserte magnetiske dipolmomentet blir {\em motsatt rettet det ytre feltet}. Diamagnetisme er en mye svakere effekt enn paramagnetisme, med magnetisk susceptibilitet av st{\o}rrelsesorden $-10^{-5}$. Ogs{\aa} i paramagneter, der vi {\em har} permanente atom{\ae}re magnetiske dipolmoment, f{\aa}r vi en slik diamagnetisk ''respons'' i et ytre magnetfelt. Den diamagnetiske responsen vil imidlertid overskygges av den paramagnetiske effekten i en paramagnet. For {\aa} kunne m{\aa}le diamagnetisme, trenger vi derfor medier med null atom{\ae}rt magnetisk dipolmoment i utgangspunktet (dvs f{\o}r vi skrur p{\aa} det ytre magnetfeltet). Eksempler p{\aa} diamagneter er gull (Au), s{\o}lv (Ag), kobber (Cu). \noindent I enkelte medier har vi atomer med magnetiske dipolmoment som {\em vekselvirker} med dipolmomentene p{\aa} naboatomene. F.eks.\ kan vekselvirkningen v{\ae}re slik at det er energetisk foretrukket at naboatomer har sine magnetiske dipolmoment i samme retning. Da har vi en {\em ferromagnet}, og eksempler p{\aa} ferromagneter er jern (Fe), kobolt (Co) og nikkel (Ni). Ferromagnetisme er en {\em mye} sterkere effekt enn paramagnetisme, med magnetisk susceptibilitet av st{\o}rrelsesorden $10^3$ til $10^4$. Alternativt kan vekselvirkningen v{\ae}re slik at det er energetisk foretrukket at naboatomer har sine magnetiske dipolmoment i motsatt retning. Da har vi en {\em antiferromagnet}. Eksempler p{\aa} antiferromagneter er Cr (krom) og NiO (nikkeloksyd). Ved tilstrekkelig h{\o}y temperatur blir den ordnede strukturen av magnetiske dipoler {\o}delagt av ''termiske bevegelser'', og ferromagneten/antiferromagneten blir en paramagnet. \vspace{1.3cm} \noindent {\bf Oppgave 2} \vspace{0.2cm} \noindent $a)$ Sentripetalakselerasjonen er $v_0^2/R$ mens Coulombkraften er $e^2/4\pi\varepsilon_0 R^2$. Newtons 2.\ lov gir da $$m_e \frac{v_0^2}{R} = \frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0 R^2} \;\;\; \Rightarrow \;\;\; R = \frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0 m_e v_0^2}$$ Atomets magnetiske dipolmoment blir dermed $$\bold{m}_0 = I \bold{A} = - \frac{e}{2\pi R/v_0} \cdot \pi R^2 \;\hat{z} = -\frac{1}{2}e v_0 R \;\hat{z}.$$ %%FIGURE \vspace{0.5cm} %\centerline{\epsfxsize=2.8in \epsfbox{los14_fig1.eps}} \vspace{0.5cm} %%END FIGURE \vspace{0.2cm} \noindent $b)$ Den valgte retningen p{\aa} $\bold{B}$ f{\o}rer til at den magnetiske kraften $\bold{F}_m = -e\;\bold{v}\times\bold{B}$ blir rettet innover mot kjernen, dvs i samme retning som den tiltrekkende Coulombkraften. Med uendret baneradius $R$ bestemmes dermed hastigheten $v$ av ligningen $$m_e \frac{v^2}{R} = \frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0 R^2} + evB.$$ Dette er en annengradsligning for $v$, $$v^2 - \frac{eB R}{m_e}\;v - \frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0 m_e R} = 0,$$ med l{\o}sning $$v = \frac{eB R}{2m_e} + \sqrt{\frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0 m_e R} + \left(\frac{eB R}{2m_e}\right)^2 }$$ (L{\o}sningen med negativt fortegn foran kvadratroten er negativ og ikke aktuell.) \noindent La oss g{\aa} tilbake og se p{\aa} hastigheten uten magnetfelt: $$v_0 = \sqrt{\frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0 m_e R}}$$ Vi ser umiddelbart at $v>v_0$. Det betyr at det magnetiske dipolmomentet $$\bold{m} = - \frac{1}{2}e v R \;\hat{z}$$ er st{\o}rre enn f{\o}r vi skrudde p{\aa} magnetfeltet. Med andre ord, {\em endringen} $$\Delta \bold{m} = \bold{m} - \bold{m}_0$$ er motsatt rettet det ytre magnetfeltet. \noindent Hvis magnetfeltet i stedet var rettet nedover, $\bold{B} = -B \;\hat{z}$, ville den magnetiske kraften bli rettet radielt {\em utover}, dvs i motsatt retning av Coulombkraften, slik at tilleggsleddet $evB$ i bevegelsesligningen ville komme inn med motsatt fortegn. Dermed ville den nye hastigheten $v$ ha blitt mindre enn $v_0$, og det magnetiske dipolmomentet ogs{\aa} mindre enn f{\o}r vi skrudde p{\aa} magnetfeltet. Igjen: {\em Endringen} i magnetisk dipolmoment ville fremdeles ha v{\ae}rt motsatt rettet det ytre feltet. \noindent Konklusjon: Et ytre magnetfelt p{\aa}virker elektronets banebevegelse i atomet p{\aa} en slik m{\aa}te at det {\em induserte} magnetiske dipolmomentet, dvs det magnetiske dipolmomentet knyttet til endringen i banebevegelsen, blir motsatt rettet det p{\aa}trykte feltet. Alts{\aa} {\em diamagnetisme}. \vspace{1.3cm} \noindent {\bf Oppgave 3} \\ $a)$ {\bf B}. $N$ viklinger omslutter en magnetisk fluks, som er proporsjonal med $N$, dvs i alt en total omsluttet magnetisk fluks proporsjonal med $N^2$. \\ $b)$ {\bf B}. Magnetisk energitetthet er $B^2/2\mu_0$, og magnetfeltet kan regnes som omtrent konstant og lik $\mu_0 n I$ i hele volumet $A \cdot l$. Her er $A$ spolens tverrsnitt, $l$ den lengde, og $n = N/l$ dens viklingstetthet. Innsetting av oppgitte tallverdier gir, med $\mu_0 = 4\pi \cdot 10^{-7}$, ca 3.6 mJ. Siden det faktiske magnetfeltet nok er noe svakere ut mot spolens ender, sier vi ca 3 mJ. \\ $c)$ {\bf D}. Kirchhoffs spenningsregel (''K2'') gir $$V_0 \cos \omega t = Q/C,$$ slik at $$I = dQ/dt = -V_0 \omega C \sin \omega t.$$ Str{\o}mmen har derfor amplitude $V_0 \omega C$. Str{\o}mamplituden {\o}ker alts{\aa} line{\ae}rt med frekvensen til den p{\aa}trykte spenningen. Likespenning, $\omega = 0$, gir null str{\o}m, som forventet -- ingen str{\o}m gjennom en ideell kondensator. \\ $d)$ {\bf B}. K2 gir $$V_0 \cos \omega t = L dI/dt,$$ dvs $$I = (V_0/\omega L) \sin \omega t.$$ Str{\o}mmen har derfor amplitude $V_0/\omega L$. Str{\o}mamplituden avtar alts{\aa} med frekvensen til den p{\aa}trykte spenningen. Likespenning, $\omega = 0$, gir uendelig str{\o}m, som forventet -- en induktans er ganske enkelt en kortslutning dersom str{\o}mmen gjennom den ikke endrer seg. \\ $e)$ {\bf B}. Ohms lov. \\ $f)$ {\bf B}. Noen navn m{\aa} vi kjenne til! \end{document}