\documentclass[11pt]{article} \usepackage{epsfig} \usepackage[norsk]{babel} \topmargin=-1.5cm \oddsidemargin=-1.0cm \evensidemargin=-1.0cm \textheight=25cm \textwidth=18cm \setlength{\parindent}{0cm} \begin{document} \newcommand{\bold}[1]{\mbox{\boldmath $#1$}} \begin{center} \begin{bf} TFY4125 Fysikk. Institutt for fysikk, NTNU. {\O}ving 13. \end{bf} \end{center} \vspace{0.7cm} \noindent {\bf Oppgave 1} \vspace{0.2cm} \noindent I forelesningene viste vi at atomer kan oppfattes som sm{\aa} str{\o}msl{\o}yfer, dvs som sm{\aa} magnetiske dipoler med magnetisk dipolmoment $\bold{m} = I \bold{A}$ der str{\o}mmen $I$ g{\aa}r i en bane som omslutter et (plant) areal $A$. (''Vektorarealet'' er da $\bold{A} = A\;\hat{n}$, der $\hat{n}$ er en enhetsvektor normalt til den omsluttede flaten, med positiv retning bestemt ved h{\o}yreh{\aa}ndsregelen.) \noindent Her skal vi bruke ei {\em kvadratisk} str{\o}msl{\o}yfe som modell for en slik atom{\ae}r magnetisk dipol og se n{\ae}rmere p{\aa} hvordan den vil oppf{\o}re seg i et ''ytre'' magnetfelt $\bold{B}$. (Vi kunne ogs{\aa} ha brukt ei {\em sirkul{\ae}r} str{\o}msl{\o}yfe, men den kvadratiske er litt enklere {\aa} regne p{\aa}.) \noindent Str{\o}msl{\o}yfa har sidekanter med lengde $a$ og f{\o}rer alts{\aa} en str{\o}m $I$. Den er plassert i et {\em homogent} magnetfelt $\bold{B} = B\;\hat{z}$ og kan rotere fritt omkring $y$-aksen, som her g{\aa}r gjennom str{\o}msl{\o}yfas sentrum som vist i figuren: %%FIGURE \vspace{0.5cm} \centerline{\epsfxsize=4.5in \epsfbox{ov13_fig1.eps}} \vspace{0.5cm} %%END FIGURE \noindent Orienteringen av str{\o}msl{\o}yfa er definert ved vinkelen $\theta$ mellom $z$-aksen og flatenormalen $\hat{n}$. (Positiv $\theta$ {\em med} klokka, som vist i figuren.) \vspace{0.3cm} \noindent $a)$ Hva blir str{\o}msl{\o}yfas magnetiske dipolmoment $\bold{m}$? Hva blir den totale kraften fra $\bold{B}$ p{\aa} str{\o}msl{\o}yfa? \vspace{0.3cm} \noindent $b)$ Beregn dreiemomentet $\bold{\tau}$ p{\aa} sl{\o}yfa omkring $y$-aksen og vis at det kan uttrykkes p{\aa} formen $\bold{\tau} = \bold{m} \times \bold{B}$. \noindent [Tips: Finn kraften p{\aa} hver av de fire rette lederstykkene og bruk at dreiemoment = ''arm ganger kraft''.] \vspace{0.3cm} \noindent $c)$ Bestem den potensielle energien $U(\theta)$ til en slik magnetisk dipol i feltet $\bold{B}$. Skisser $U(\theta)$. Hva slags orientering av dipolen i forhold til $\bold{B}$ representerer henholdsvis en stabil og en ustabil likevekt? [Tips: $\tau = -dU/d\theta$, jfr {\o}ving 9.] \newpage %\vspace{1.3cm} \noindent {\bf Oppgave 2} \vspace{0.2cm} \noindent I denne oppgaven skal vi, med utgangspunkt i en klassisk atommodell, se n{\ae}rmere p{\aa} hvordan et ytre magnetfelt $\bold{B}$ vil p{\aa}virke elektronets banebevegelse rundt atomkjernen. En slik {\em diamagnetisk effekt} f{\aa}r vi i alle atomer. Her kan vi for enkelhets skyld ha et hydrogenatom i tankene, med ett elektron med ladning $-e$ i sirkul{\ae}r bane (i $xy$-planet) med radius $R$ rundt en kjerne med ladning $+e$. %%FIGURE \vspace{0.5cm} \centerline{\epsfxsize=3.7in \epsfbox{ov14_fig1.eps}} \vspace{0.5cm} %%END FIGURE \vspace{0.3cm} \noindent $a)$ Uten et ytre magnetfelt til stede er elektronets hastighet $v_0$. Vis at uniform sirkelbevegelse i Coulombfeltet fra atomkjernen da resulterer i en baneradius $$R = \frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0 m_e v_0^2}.$$ Vis at atomets magnetiske dipolmoment (gitt ved produktet av str{\o}m og omsluttet areal) er $$\bold{m}_0 = -\frac{1}{2} e v_0 R \hat{z}.$$ \vspace{0.3cm} \noindent $b)$ Vi skrur n{\aa} p{\aa} et ytre magnetfelt $\bold{B} = B\,\hat{z}$, for enkelhets skyld rettet normalt p{\aa} elektronets sirkul{\ae}re bane: %%FIGURE \vspace{0.5cm} \centerline{\epsfxsize=3.7in \epsfbox{ov14_fig2.eps}} \vspace{0.5cm} %%END FIGURE \noindent Elektronet p{\aa}virkes n{\aa}, i tillegg til Coulombkraften fra kjernen, av en magnetisk kraft $\bold{F}_m = -e \bold{v} \times \bold{B}$ slik at bevegelsesligningen (dvs Newtons 2.\ lov) endres. Resultatet blir en endret sammenheng mellom elektronets hastighet $v$ og banens radius $R$. Anta at magnetfeltet kun endrer hastigheten, og ikke banens radius $R$, og bestem den nye hastigheten $v$. Bestem ogs{\aa} det nye magnetiske dipolmomentet $\bold{m}$, og vis at {\em endringen} $$\Delta \bold{m} = \bold{m} - \bold{m}_0$$ er {\em motsatt rettet} det ytre magnetfeltet $\bold{B}$. Argumenter kvalitativt for at endringen $\Delta \bold{m}$ vil v{\ae}re motsatt rettet $\bold{B}$ ogs{\aa} dersom $\bold{B}$ peker i motsatt retning (dvs i negativ $z$-retning). \newpage %\vspace{0.5cm} \noindent Kommentarer: \begin{itemize} \item Vi har tidligere konkludert med at et statisk magnetfelt aldri utf{\o}rer noe arbeid p{\aa} en ladning i bevegelse ettersom $\bold{F}_m \perp \bold{v}$. Et statisk magnetfelt kan alts{\aa} ikke endre ladningens hastighet (i absoluttverdi), tilsynelatende i konflikt med det vi har funnet ovenfor. Poenget er imidlertid at vi starter med $B=0$ og {\em skrur p{\aa}} et magnetfelt. Dermed har vi ikke hele tiden et statisk magnetfelt, men et felt som i l{\o}pet av en viss tid m{\aa} endre seg fra null til sin endelige verdi. Og som vi har diskutert i forelesningene, vil et tidsavhengig magnetfelt skape (''indusere'') et elektrisk felt (Faradays induksjonslov), og et elektrisk felt kan som kjent endre hastigheten til et elektron. \item Fortegnet p{\aa} den diamagnetiske responsen er et uttrykk for {\em Lenz' lov}: Systemets ''respons'' er slik at den p{\aa}trykte endringen {\em motvirkes}. \item Strengt tatt er det n{\o}dvendig med en {\em kvantemekanisk} beskrivelse for {\aa} forklare diamagnetisme ''skikkelig''. Likevel gir denne enkle klassiske modellen med ett atom et brukbart kvalitativt bilde av effekten. \end{itemize} \vspace{1.2cm} \noindent {\bf Oppgave 3} \\ \vspace{0.2cm} \hrule \vspace{0.2cm} \noindent $a)$ Dersom antall viklinger p{\aa} en spole fordobles, {\o}ker spolens induktans med en faktor \vspace{0.5cm} \noindent A 2 \hspace{1cm} B 4 \hspace{1cm} C 8 \hspace{1cm} D 16 \\ \vspace{0.2cm} \hrule \vspace{0.2cm} \noindent $b)$ Hvor mye (magnetisk) energi er lagret i en lang, tettviklet spole med 400 viklinger fordelt over en lengde 10 cm, tverrsnitt 4 cm$^2$, og str{\o}mstyrke 3.0 A i spoletr{\aa}den? (S{\aa}nn omtrent!) \vspace{0.5cm} \noindent A ca 3 $\mu$J \hspace{1cm} B ca 3 mJ \hspace{1cm} C ca 3 J \hspace{1cm} D ca 3 kJ \\ \vspace{0.2cm} \hrule \vspace{0.2cm} \noindent $c)$ Dersom en vekselspenningskilde $V_0 \cos \omega t$ kobles til en kondensator med kapasitans $C$, vil str{\o}mmen i kretsen ha amplitude \vspace{0.5cm} \noindent A null \hspace{1cm} B $V_0/\omega C$ \hspace{1cm} C $V_0 C/\omega$ \hspace{1cm} D $V_0 \omega C$ \\ \vspace{0.2cm} \hrule \vspace{0.2cm} \noindent $d)$ Dersom en vekselspenningskilde $V_0 \cos \omega t$ kobles til en spole med induktans $L$, vil str{\o}mmen i kretsen ha amplitude \vspace{0.5cm} \noindent A null \hspace{1cm} B $V_0/\omega L$ \hspace{1cm} C $V_0 L/\omega$ \hspace{1cm} D $V_0 \omega L$ \\ \vspace{0.2cm} \hrule \vspace{0.2cm} \noindent $e)$ Dersom en vekselspenningskilde $V_0 \cos \omega t$ kobles til en motstand med resistans $R$, vil str{\o}mmen i kretsen ha amplitude \vspace{0.5cm} \noindent A null \hspace{1cm} B $V_0/R$ \hspace{1cm} C $V_0 R/\omega$ \hspace{1cm} D $V_0/\omega R$ \\ \vspace{0.2cm} \hrule \vspace{0.2cm} \noindent $f)$ Hvem forbinder du f{\o}rst og fremst med hhv krefter mellom elektriske ladninger, indusert spenning fra tidsavhengig magnetisk fluks, og naturens iboende motstand mot p{\aa}tvungne endringer? \vspace{0.5cm} \noindent A Hhv Lenz, Coulomb og Faraday B Hhv Coulomb, Faraday og Lenz C Hhv Faraday, Lenz og Coulomb D Hhv Coulomb, Lenz og Faraday \end{document}