\documentclass[11pt]{article}
\usepackage{epsfig}
\usepackage[norsk]{babel}
\topmargin=-2.5cm
\oddsidemargin=-1.0cm
\evensidemargin=-1.0cm
\textheight=25cm
\textwidth=18cm
\setlength{\parindent}{0cm}

\begin{document}
\newcommand{\bold}[1]{\mbox{\boldmath $#1$}}

\begin{center}
\begin{bf}
TFY4104/TFY4125 Fysikk. Institutt for fysikk, NTNU.

{\O}ving 2.
\end{bf}
\end{center}

{\bf \underline{Oppgave 1.}} \\

\begin{minipage}{0.20\textwidth}
%%FIGURE
\vspace{0.1cm}
\centerline{\epsfxsize=1.2in \epsfbox{pendel.eps}}
\vspace{0.1cm}
%%END FIGURE
\end{minipage}
\hfill
\begin{minipage}{0.70\textwidth}
Ei kule (punktmasse) med masse $m$ er festet til ei vektl{\o}s stang med lengde $L$.
Stanga er festet i et punkt A som den kan bevege seg fritt om. \\

$a)$ Kula trekkes ut til siden (i papirplanet) med en horisontal kraft $\bold{F}$.
Hvor stor m{\aa} $F$ v{\ae}re for {\aa} holde kula i ro ved vinkelen $\theta$? \\
A) $F = m g \sin\theta$ \hspace{3mm}
B) $F = m g \cos\theta$ \hspace{3mm}
C) $F = m g \tan\theta$ \\
D) $F = m g$ \hspace{3mm}
E) $F = m g/3$
\end{minipage}
\vspace{5mm}

\begin{minipage}{0.20\textwidth}
%%FIGURE
\vspace{0.2cm}
\centerline{\epsfxsize=1.3in \epsfbox{pendel2.eps}}
\vspace{0.2cm}
%%END FIGURE
\end{minipage}
\hfill
\begin{minipage}{0.70\textwidth}
$b)$ I stedet for {\aa} trekke med en kraft $\bold{F}$ lar vi systemet rotere om
en vertikal akse gjennom opphengningspunktet A, med vinkelhastighet $\omega$.
Stanga danner da en vinkel $\theta$ med vertikalaksen, bestemt ved \\
A) $\tan\theta = g/\omega^2 L$ \hspace{6mm}
B) $\cos\theta = g/\omega^2 L$ \hspace{6mm}
C) $\tan\theta = \omega^2 L/g$ \\
D) $\cos\theta = \omega^2 L/g$ \hspace{6mm}
E) $\sin\theta = \omega L/g$

(Denne l{\o}sningen gjelder ikke for alle verdier av $\omega$. Hva m{\aa} $\omega$
(minst) v{\ae}re for at denne l{\o}sningen skal gjelde?)
\end{minipage}
\vspace{0.2cm}

$c)$ Til slutt tenker vi oss at pendelen henger (uten {\aa} rotere) i et fly som akselererer bortover rullebanen.
Hva er flyets akselerasjon dersom $\theta= 30^\circ$?  (Utf{\o}r eksperimentet neste gang du er ute og flyr!) \\
A) $a = g$ \hspace{5mm}
B) $a = g/2$ \hspace{5mm}
C) $a = \sqrt{3}g$ \hspace{5mm}
D) $a = \sqrt{2}g$ \hspace{5mm}
E) $a = g/\sqrt{3}$

\vspace{8mm}
{\bf \underline{Oppgave 2.}} \\

\begin{minipage}{0.25\textwidth}
%%FIGURE
\vspace{0.2cm}
\centerline{\epsfxsize=1.3in \epsfbox{vertsirk.eps}}
\vspace{0.2cm}
%%FIGURE
\end{minipage}
\hfill
\begin{minipage}{0.67\textwidth}
En stein med masse $m$ er festet til enden av ei (massel{\o}s) snor med lengde
$R$, og slynges rundt i en vertikal sirkelbane, som vist i figuren til venstre.
\\[2mm]
$a)$ Vis at Newtons 2. lov for den tangentielle bevegelsen langs sirkelbanen
kan skrives som
$$R \frac{d \omega }{d t } = -g\cos\theta,$$
og bruk kjerneregelen, $\displaystyle \frac{d \omega}{d t} = 
\frac{d \omega}{d \theta}\cdot \frac{d \theta}{d t}$, til {\aa} finne en differensialligning for $\omega(\theta)$.
\end{minipage}

\vspace{2mm}
$b)$ L{\o}s ligningen og vis at
$$\omega^2 = \omega_0^2 - \frac{2g}{R}\cdot \sin \theta,$$
der $\omega_0$ er vinkelhastigheten ved $\sin\theta = 0 $.

$c)$ Sett opp en ligning for sentripetalakselerasjonen $a_\perp$ og finn 
snordraget $S$ som funksjon av $\theta$. I hvilken posisjon av
banen er det st{\o}rst fare for at snora ryker? (Bruk uttrykket du har funnet for
$S(\theta)$ og sjekk det mot din sunne fornuft.) Hva m{\aa} $\omega_0$ minst v{\ae}re
for at snora hele tida skal v{\ae}re stram? (Sunn fornuft gir en god sjekk ogs{\aa} her.) \\

\newpage
%\vspace{1mm}
{\bf \underline{Oppgave 3.}} \\

En kloss med masse $m$ ligger i ro p{\aa} et skr{\aa}plan med helningsvinkel $\theta$.
Statisk og kinetisk friksjonskoeffisient for kontaktflaten mellom kloss og skr{\aa}plan
er hhv $\mu_s$ og $\mu_k < \mu_s$. \\

$a)$ Hvor stor er normalkraften $N$ fra skr{\aa}planet p{\aa} klossen?
($\cot x = \cos x/\sin x = 1/\tan x$) \\
A) $N = mg$ \hspace{3mm}
B) $N = mg \sin\theta$ \hspace{3mm}
C) $N = mg \cot\theta$ \hspace{3mm}
D) $N = mg \tan\theta$ \hspace{3mm}
E) $N = mg \cos\theta$\\

$b)$ Hvor stor er friksjonskraften $f$ fra skr{\aa}planet p{\aa} klossen? \\
A) $f = mg$ \hspace{3mm}
B) $f = mg \sin\theta$ \hspace{3mm}
C) $f = mg \cot\theta$ \hspace{3mm}
D) $f = mg \tan\theta$ \hspace{3mm}
E) $f = mg \cos\theta$\\

$c)$ Hvor stor m{\aa} $\mu_s$ minst v{\ae}re for at klossen skal ligge i ro? \\
A) $\mu_s^{\rm min} = \sin\theta$ \hspace{3mm}
B) $\mu_s^{\rm min} = \cos\theta$ \hspace{3mm}
C) $\mu_s^{\rm min} = \tan\theta$ \hspace{3mm}
D) $\mu_s^{\rm min} = \cot\theta$ \hspace{3mm}
E) $\mu_s^{\rm min} = 1$ \\

$d)$ Hva blir klossens akselerasjon $a_\parallel$ nedover skr{\aa}planet
dersom $\mu_s$ ikke er stor nok til at klossen blir liggende i ro? \\
A) $a_\parallel = g (\sin\theta - \mu_k \cos\theta)$ \hspace{3mm}
B) $a_\parallel = g (\cos\theta - \mu_k \sin\theta)$ \hspace{3mm}
C) $a_\parallel = g (\sin\theta - \mu_s \cos\theta)$ \\
D) $a_\parallel = g (\cos\theta - \mu_s \sin\theta)$ \hspace{3mm}
E) $a_\parallel = g (\cos\theta + \mu_k \sin\theta)$ \\

$e)$ Anta at $\mu_s$ er for liten til {\aa} holde klossen i ro, slik at
den akselererer nedover skr{\aa}planet. Til hvilken helningsvinkel $\alpha$
m{\aa} du justere skr{\aa}planet for at klossen skal gli med konstant
hastighet? \\
A) $\alpha = \mu_k$ \hspace{3mm}
B) $\alpha = \mu_s$ \hspace{3mm}
C) $\alpha = \arcsin \mu_k$ \hspace{3mm}
D) $\alpha = \arccos \mu_k$ \hspace{3mm}
E) $\alpha = \arctan \mu_k$ \\

\vspace{1mm}
{\bf \underline{Oppgave 4.}} \\

To klosser med masse hhv $m_1$ og $m_2$ og kinetisk friksjonskoeffisient
hhv $\mu_1$ og $\mu_2$ glir nedover et skr{\aa}plan med helningsvinkel $\beta$.
De to klossene er forbundet med ei tiln{\ae}rmet massel{\o}s snor. Klossen
med masse $m_1$ ligger {\o}verst p{\aa} skr{\aa}planet. Snordraget er
$S=0$ hvis snora er slakk og $S>0$ hvis snora er stram. \\

$a)$ Hvor stor er friksjonskraften $f_i$ fra skr{\aa}planet p{\aa} kloss nr $i$
($i =1,2$)? \\
A) $f_i = \mu_i m_i g \sin\beta$ \hspace{3mm}
B) $f_i = \mu_i m_i g \cos\beta$ \hspace{3mm}
C) $f_i = \mu_i m_i g \tan\beta$ \hspace{3mm}
D) $f_i = \mu_i m_i g \cot\beta$ \hspace{3mm}
E) $f_i = \mu_i m_i g$ \\

$b)$ Hva er akselerasjonen $a_1$ til kloss nr $1$? \\
A) $a_1 = g (\sin\beta + \mu_1 \cos\beta) + S/m_1$ \hspace{3mm}
B) $a_1 = g (\sin\beta - \mu_1 \cos\beta) + S/m_1$

C) $a_1 = g (\sin\beta + \mu_1 \cos\beta) - S/m_1$ \hspace{3mm}
D) $a_1 = g (\sin\beta - \mu_1 \cos\beta) - S/m_1$ 

E) $a_1 = g (\cos\beta - \mu_1 \sin\beta) + S/m_1$ \\

$c)$ Hva er akselerasjonen $a_2$ til kloss nr $2$? \\
A) $a_2 = g (\sin\beta + \mu_2 \cos\beta) + S/m_2$ \hspace{3mm}
B) $a_2 = g (\sin\beta - \mu_2 \cos\beta) + S/m_2$

C) $a_2 = g (\sin\beta + \mu_2 \cos\beta) - S/m_2$ \hspace{3mm}
D) $a_2 = g (\cos\beta - \mu_2 \sin\beta) + S/m_2$ 

E) $a_2 = g (\sin\beta - \mu_2 \cos\beta) - S/m_2$ \\

$d)$ Hva er betingelsen for at snora skal holde seg stram? (Dvs, med
et snordrag $S > 0$.) \\
A) $m_1 > m_2$ \hspace{3mm}
B) $\mu_1 > \mu_2$ \hspace{3mm}
C) $\mu_1 m_1 = \mu_2 m_2$ \hspace{3mm}
D) $\mu_1 m_1 > \mu_2 m_2$ \hspace{3mm}
E) $m_1/\mu_1 > m_2/\mu_2$ \\

$e)$ Hva m{\aa} vinkelen $\beta$ v{\ae}re for at de to klossene
skal gli nedover skr{\aa}planet med samme konstante hastighet? \\
A) $\beta = \arcsin [ (\mu_1 m_1 + \mu_2 m_2)/(m_1+m_2) ]$ \hspace{5mm}
B) $\beta = \arctan [ (\mu_1 m_1 + \mu_2 m_2)/(m_1+m_2) ]$

C) $\beta = \arcsin [ (m_1+m_2)/(\mu_1 m_1 + \mu_2 m_2) ]$ \hspace{5mm}
D) $\beta = \arccos [ (m_1+m_2)/(\mu_1 m_1 + \mu_2 m_2) ]$

E) $\beta = \arctan [ (m_1+m_2)/(\mu_1 m_1 + \mu_2 m_2) ]$ \\

\newpage
%\vspace{5mm}
{\bf \underline{Oppgave 5.}} \\

\begin{minipage}{0.5\textwidth}
%%FIGURE
\vspace{0.2cm}
\centerline{\epsfxsize=3.5in \epsfbox{fig4a.eps}}
\vspace{0.2cm}
%%END FIGURE
\end{minipage}
\hfill
\begin{minipage}{0.45\textwidth}
$a)$ En partikkel beveger seg i en sirkul{\ae}r bane, med jevnt {\o}kende hastighet. Hvilken figur
viser korrekt akselerasjon?
\end{minipage}
\vspace{15mm}

\begin{minipage}{0.5\textwidth}
%%FIGURE
\vspace{0.2cm}
\centerline{\epsfxsize=3.5in \epsfbox{fig4b.eps}}
\vspace{0.2cm}
%%END FIGURE
\end{minipage}
\hfill
\begin{minipage}{0.45\textwidth}
$b)$ Et legeme beveger seg langs en rett linje ($x$) som vist i figuren til venstre.
Hvilken figur viser best legemets akselerasjon $a$?
\end{minipage}
\vspace{15mm}

\begin{minipage}{0.5\textwidth}
%%FIGURE
\vspace{0.2cm}
\centerline{\epsfxsize=3.5in \epsfbox{fig4c.eps}}
\vspace{0.2cm}
%%END FIGURE
\end{minipage}
\hfill
\begin{minipage}{0.45\textwidth}
$c)$ Figuren viser banen for fire prosjektiler som skytes ut under ulike vinkler,
men med samme absoluttverdi av hastigheten. Hvilket prosjektil var lengst i lufta?
\end{minipage}

\end{document}