\documentclass[12pt,a4paper,fleqn]{article}
\usepackage[norsk]{babel}
\usepackage{latexsym}
\usepackage{epic,curves}
\usepackage{amsmath}
\usepackage[latin1]{inputenc}
\usepackage{graphicx}
\input{ae_cmds.tex} 
\newcommand{\drm}{\mathrm d}
\pagestyle{empty}
\topmargin=-1cm
\oddsidemargin=-5mm
\evensidemargin=-5mm
\textheight=25cm
\textwidth=17cm
\parindent=10mm


\newcommand{\bm}[1]{\mbox{\boldmath $#1$}}
\bibliographystyle{plain}
\begin{document}

\begin{center}
{\bf\large Kule på roterende skive} \\
\vspace{2mm}
E.\,H.\,Hauge\\
Institutt for fysikk, NTNU
\end{center}


I Fra Fysikkens Verden 2/13 gir \O yvind Gr\o n og Arnt Inge Vistnes en grundig innføring 
i Corioliskraftens fysikk og historikk~\cite{gv}. Dessverre kommer de i skade for \aa\
bruke en kule som ruller p\aa\ en roterende grammofonplate som misvisende eksempel. Dette er
et interessant mekanikkproblem i seg selv! De fleste, enten de er utdannete fysikere eller
ei, gjetter feil n\aa r de blir spurt om hvordan kula vil bevege seg. Gr\o n og
Vistnes er i godt selskap. 

Jens H\o jgaard Jensen~\cite{jhj} har nylig diskutert mange aspekter ved rullende legemers 
mekanikk, med ``v\aa rt"\ problem som konkret eksempel. En eldre og mer omfattende artikkel 
som ogs\aa\ inkluderer dette problemet, er forfattet av Eriksen og V\o yenli~\cite{ev}. 
Vi konsentrerer oss om det enkleste eksemplet her, og gir en direkte utledning av
ligningen som gir kulas bane. Matematikken som inng\aa r er, 
i det vesentlige, sjonglering med kryssprodukter: element\ae rt, men ganske krevende. Alts\aa :     

En homogen kule med masse $m$ og med radius $\rho$ befinner seg på en perfekt, horisontal 
skive som dreier med vinkelhastighet ${\bm \Omega}= \Omega\hat{\bm z}$, der $\hat{\bm z}$
er enhetsvektoren i $z$-retningen. Kula kan rulle p{\aa} den roterende skiven, 
og vi antar at den ikke sklir p{\aa} underlaget. Luftmotstanden neglisjeres. Vi velger origo
p\aa\ skivens rotasjonsakse i h\o yden $\rho$ over skiven. Kulesentrets posisjon og hastighet 
relativt omgivelsenes inertialsystem (laboratoriesystemet) er gitt som ${\bm r}(t)$ og 
${\bm v}(t)= {\rm d}{\bm r}/{\rm d}t=\dot{\bm r}$. 
Disse vektorene lever i $xy$-planet parallelt med skiven, l\o ftet en kuleradius $\rho$ over 
denne. (Se figuren.) Rett under ${\bm r}$ er skivens hastighet 
\begin{equation} \label{V}
  {\bm V}={\bm \Omega}\times {\bm r} = \Omega \hat{\bm z}\times {\bm r}.
\end{equation} 
Vi antar at friksjonen mellom kula og den roterende skiven er tilstrekkelig til at kula
{\it ruller} p\aa\ skiven. Kulas hastighet ved {\bm r} relativt underlaget er 
${\bm v}-{\bm V}$, og n\aa r kulas vinkelhastighet er ${\bm \omega}$ (en vektor i 
$xy$-planet), f\aa r rullebetingelsen formen (her gjelder det \aa\ holde styr
p\aa\ fortegnene som f\o lger av h\o yreh\aa ndsregler og kryssprodukt! Se figuren.)
\begin{equation} \label{rull}
  {\bm v}-{\bm V}= {\bm \omega}\times \rho \hat{\bm z}.
\end{equation}
S\aa\ langt kinematikk.


\begin{center}
\includegraphics[trim = 3ex 2ex 59ex 65ex, clip, width=0.7\textwidth]{Dagfigur.pdf}
\end{center}
\vspace{-2mm}

Newtons annen lov for translasjon lyder
\begin{equation} \label{N2tr}
  {\bm F} =m ({\rm d}{\bm v}/{\rm d}t)=m\dot{\bm v},
\end{equation}
der $\bm F$ er (den ukjente) kraften på kula. S\aa\ var det den tilsvarende loven for rotasjon.
Med kulas sentrum som referansepunkt for den totale dreieimpulsen $\bm L$, er det bare
kulas egenspinn som bidrar, ${\bm L}=I_0{\bm \omega}$. Se, for eksempel,~\cite{hs}. (I utledningen i
ref.~\cite{jhj} er kulas \o yeblikkelige kontaktpunkt med skiven valgt som referansepunkt. 
Da bidrar ogs\aa\ banedreieimpulsen, mens dreiemomentet ${\bm \tau }=0$. Resultatet blir det 
samme.) Derved lyder Newtons annen lov for rotasjon i v\aa rt tilfelle 
\begin{equation} \label{N2rot}
   {\bm \tau} = (-\rho \hat{\bm z})\times {\bm F} =  {\rm d}{\bm L}/{\rm d}t=I_0\dot{\bm \omega},
\end{equation}
der kulas treghetsmoment om en akse gjennom sentrum er $I_0 = \tfrac{2}{5}m\rho^2$. Minustegnet 
p\aa\ h\o yre side av ligningen er et resultat av at ``armen"\ i dette tilfellet g\aa r 
fra kulas sentrum ned til ber\o ringspunktet med underlaget, der kraften tar tak. 
Vi eliminerer den ukjente kraften {\bm F} mellom (\ref{N2tr}) og (\ref{N2rot}) og finner
\begin{equation} \label{Fvekk}
   m\dot{\bm v}\times \rho \hat{\bm z} = I_0\dot{\bm \omega}\ \ \ \Rightarrow\ \ \ 
       \dot{\bm v}\times \hat{\bm z} = \tfrac{2}{5}\rho \dot{\bm \omega}.
\end{equation}
Dette uttrykket for $\dot{\bm \omega}$ bruker vi s\aa\ i den tidsderiverte av rullebetingelsen 
(\ref{rull}), med resultatet

\begin{equation} \label{rull2}
   \dot{\bm v} -\Omega\hat{\bm z}\times {\bm v}=-\tfrac{5}{2} \hat{\bm z}\times (\dot{\bm v}\times 
                            \hat{\bm z}) =-\tfrac{5}{2}\dot{\bm v}, 
\end{equation} 
der vi ogs\aa\ brukte identiteten ${\bm A}\times ({\bm B}\times {\bm C}) = 
{\bm B}({\bm A}\cdot{\bm C})-{\bm C} ({\bm A}\cdot{\bm B})$  og det faktum at 
$\hat{\bm z}$ st\aa r vinkelrett p\aa\ den horisontale akselerasjonen $\dot{\bm v}$. 
N\aa r (\ref{rull2}) l\o ses med hensyn p\aa\ akselerasjonen, finner vi til slutt
\begin{equation}  \label{aks}
   \dot{\bm v} = \tfrac{2}{7}\Omega \, \hat{\bm z} \times {\bm v}.
\end{equation}

Resultatet er b\aa de enkelt og oppsiktsvekkende. I laboratoriesystemet er kulas 
akselerasjon vinkelrett p\aa\ dens hastighet. Dette inneb\ae rer at 
kula beveger seg i en {\it sirkel i laboratoriesystemet}. Vinkelhastigheten
i denne stasjon\ae re sirkelbevegelsen er $\Omega' = \tfrac{2}{7}\Omega$. Dersom den roterende skiven
roterer med  (mot) klokka, vil kulas sirkelbevegelse ogs\aa\ v\ae re med (mot) klokka. 
({\it Tilsynelatende} i strid med Coriolis' visdom.) 
Med (konstant) banefart $v=|{\bm v}|$ gir sirkelbevegelsers kinematikk at radius i 
sirkelen er $R=v/\Omega' = \tfrac{7}{2}v/\Omega$. Og videre: Dersom kulas startbetingelser er 
$({\bm r_0},{\bm v_0})$ (med ren rulling fra start!) er sirkelens sentrum gitt som ${\bm O} = 
{\bm r_0} -\tfrac{7}{2}\, {\bm v_0}\times \hat{\bm z}/\Omega$. Sentrum for sirkelbevegelsen kan alts\aa\ 
v\ae re hvor som helst i $xy$-planet, s\aa\ lenge kula ikke ruller utfor kanten. To spesialtilfeller:
(i) Dersom begynnelsesbetingelsene er slik at ${\bm v_0}\times \hat{\bm z}
=\tfrac{2}{7}\Omega {\bm r_0}$, er ${\bm O}={\bm 0}$ og kula roterer om skivens omdreiningsakse med 
vinkelhastighet $\Omega'$. (ii) Dersom ${\bm v_0} = 0$ (i laboratoriesystemet!) er ${\bm O} = {\bm r_0}$. 
Kula ruller p\aa\ den roterende skiven, men blir liggende i ro i laboratoriesystemet. Et siste punkt:
Rullebetingelsen krever som vanlig at tangentialkraften i ber\o ringspunktet er mindre enn
normalkraften multiplisert med friksjonskoeffisienten $\mu$ mellom kule og skive. Bruk av 
(\ref{N2tr}) og (\ref{aks}) gir betingelsen $ \Omega v < \tfrac{7}{2}\mu g$, der $g$ er tyngdens 
akselerasjon. Blir banefarten $v$ for stor, uansett hvor p\aa\ den roterende skiven kula befinner 
seg, begynner kula \aa\ skli. Betingelsene for v\aa re regninger er ikke lenger oppfylt.\\

Alt dette var teori, bygd p\aa\ idealiseringene: ingen luftmotstand og perfekt, horisontal skive.
Teorien som forklarer fenomenet har v\ae rt kjent i alle fall siden 1844 \cite{romer}.
Men kan virkeligheten v\ae re n\ae r nok idealiseringene til at fenomenet kan {\it observeres}?
Jens H\o jgaard Jensen har demonstrert det med en bordtennisball p\aa\ en roterende LP-plate. 
(Tsjaikovskis f\o rste klaverkonsert!) En bordtennisball er ingen homogen kule, men essensielt et
kuleskall. For et kuleskall er treghetsmomentet $I_0=\tfrac{2}{3}m\rho^2$, og det inneb\ae rer at 
koeffisienten i (\ref{aks}) m\aa\ modifiseres til $\tfrac{2}{5}$, slik at $\Omega' = 
\tfrac{2}{5}\Omega$. Da Jonas Persson ved NTNU ble utfordret p\aa\ dette,
gjorde han filmopptak av en homogen kulelagerkule og av en bordtennisball p\aa\ en roterende 
metallskive (p\aa\ en LP-spiller) og la dem ut p\aa\ Youtube. Hans hjemmeside der er 
http://youtube.com/fysikkforfakirer, og to spesifikke opptak er http://youtu.be/Qv93Xvr2Cms og
http://youtu.be/ONPHyc1ifGQ. Klassisk mekanikk har fortsatt underholdende overraskelser p\aa\ 
lur: Sjekk Youtube-filmene! \\

Til slutt vil jeg f\o rst og fremst takke Jonas Persson for entusiastisk \aa\ ha g\aa tt 
l\o s p\aa\ de eksperimentelle utfordringene. Jeg takker ogs\aa\ for konstruktive innspill fra 
Jens H\o jgaard Jensen, Hans Pécseli, Dag Werner Breiby, K\aa re Olaussen og Jon Andreas St\o vneng. 


\vspace{5mm}
\begin{thebibliography}{99}
\bibitem{gv} \O .\,Gr\o n og A.\,I.\,Vistnes: {\it Corioliskraften}, FFV nr.2, 43-47 (2013)
\bibitem{jhj} J.\,H.\,Jensen: {\it Five ways of deriving the equation of motion for rolling bodies},
Am.J.Phys. {\bf 80}, 1073-1077 (2012) 
\bibitem{ev} E.\,Eriksen og K.\,V\o yenli: {\it Quasi-electrodynamic effects in the motion of a sphere
that rolls on a rotating disc}, Eur.J.Phys. {\bf 12}, 135-141 (1991)
\bibitem{hs} E.\,H.\,Hauge og J.\,A.\,St\o vneng: {\it Grunnleggende fysikk -klassisk mekanikk og varmel\ae re},
2. utgave, Tapir akademisk forlag, 61-64 (2010) 
\bibitem{romer} R.\,H.\,Romer: {\it Motion of a sphere on a tilted turntable}, Am.J.Phys. {\bf 49},
985-986 (1981)
\end{thebibliography}
  
\end{document}