\documentclass[11pt]{article}
\usepackage{epsfig}
\usepackage[norsk]{babel}
\topmargin=-1.0cm
\oddsidemargin=-1.0cm
\evensidemargin=-1.0cm
\textheight=24cm
\textwidth=18cm
\setlength{\parindent}{0cm}

\begin{document}
\newcommand{\bold}[1]{\mbox{\boldmath $#1$}}

\begin{center}
\begin{bf}
FY1001/TFY4145 Mekanisk fysikk. Institutt for fysikk, NTNU. H{\o}sten 2012.
\end{bf}

Veiledning: 4.\ - 7.\ september. Innleveringsfrist: Onsdag 12.\ september kl 14.
\vspace{0.5cm}

\begin{large}
{\O}ving 2
\end{large}

\end{center}

\vspace{0.5cm}
{\bf Oppgave 1: Sirkelbevegelse.} \\

\begin{minipage}{0.60\textwidth}
%%FIGURE
\vspace{0.2cm}
\centerline{\epsfxsize=4.0in \epsfbox{sirkelbevegelse.eps}}
\vspace{0.2cm}
%%END FIGURE
\end{minipage}
\hfill
\begin{minipage}{0.35\textwidth}
En partikkel utf{\o}rer uniform sirkelbevegelse med konstant vinkelhastighet
$\omega = v/r$. (Som vektor: $\bold{\omega} = \omega \hat{z}$, dvs ut av planet,
angitt med $\bullet$, som en pil sett forfra.) Ved {\aa} betrakte figuren har vi da

\vspace{3mm}
\begin{eqnarray*}
\hat{r}(t)    &=&  \hat{x} \cos \omega t + \hat{y} \sin \omega t,  \\
\hat{\phi}(t) &=& -\hat{x} \sin \omega t + \hat{y} \cos \omega t.
\end{eqnarray*}
\end{minipage}
\vspace{5mm}

$a)$ Her har vi allerede antatt at $\phi(t) = \omega t$, dvs $\phi=0$ for $t=0$.
Hvordan blir uttrykkene for $\hat{r}(t)$ og $\hat{\phi}(t)$ hvis vi velger $\phi(0)=\pi/2$? \\

$b)$ Vis at de tidsderiverte av disse enhetsvektorene blir
$$\dot{\hat{r}} = \omega \hat{\phi} \quad ; \quad \dot{\hat{\phi}} = -\omega\hat{r}.$$
(Tips: Start med uttrykkene for $\hat{r}$ og $\hat{\phi}$ ovenfor.) \\

$c)$ Vis deretter at
$$\bold{v} = r\omega\hat{\phi} \quad ; \quad \bold{a} = -r\omega^2\hat{r}.$$
(Tips: Husk at $\bold{r} = r \hat{r}$.) \\

$d)$ Vi har sammenhengen $\bold{v} = \bold{\omega} \times \bold{r}$. Bruk dette til {\aa}
vise at akselerasjonen kan uttrykkes som
$$\bold{a} = \bold{\omega} \times (\bold{\omega} \times \bold{r})$$
n{\aa}r $\bold{\omega}$ er konstant. (Her skal kryssproduktet inne i parentesen utf{\o}res
f{\o}rst. Hva ville ellers skje?) \\

$e)$ Vis at $\bold{v}$ og $\bold{a}$ i spm $d$ er identiske med $\bold{v}$ og $\bold{a}$ i spm $c$.
(Tips: Sett inn $\bold{\omega} = \omega \hat{z}$ og $\bold{r} = r \hat{r}$ og regn ut
kryssproduktene.)


\newpage
%\vspace{1.0cm}
{\bf Oppgave 2: Sykkelhopp.} \\

%%FIGURE
\vspace{0.2cm}
\centerline{\epsfxsize=5in \epsfbox{sykkelhopp.eps}}
\vspace{0.2cm}
%%END FIGURE

En trial-kj{\o}rer med hastighet $v_0$ p{\aa} ei startrampe {\o}nsker {\aa} foreta et hopp opp til ei 
landingsrampe i avstand $L$ fra startrampa. Landingsrampa ligger p{\aa} sitt h{\o}yeste $h$ over 
startrampa (se figur). Startrampa har helningsvinkel $\theta$. Betrakt motorsyklisten som en 
punktpartikkel og se bort fra luftmotstand. \\

$a)$ Velg origo {\o}verst p{\aa} startrampa og vis at syklistens bane derfra blir
$$z(x) = x \tan\theta - \frac{g x^2}{2v_0^2 \cos^2\theta}.$$
Bruk programmet sykkelhopp.m til {\aa} plotte banen for ulike hastigheter $v_0$, for et gitt
''rampe-oppsett'' (dvs gitte verdier for $L$, $h$ og $\theta$). \\

$b)$ For gitt $L$, $h$ og $\theta$, finn et uttrykk for den minste starthastigheten 
$v_0^{\rm min}$ som er n{\o}dvendig for et vellykket hopp. Sjekk at ditt uttrykk for
$v_0^{\rm min}$ er konsistent med banene som du plottet i punkt $a$.  \\

$c)$ Vis at uansett hvor stor farten er, s{\aa} m{\aa} h{\o}ydeforskjellen ikke overskride 
$h_{\rm max} = L \tan \theta$.  \\

$d)$ Hvor stor er motorsyklistens akselerasjon n{\aa}r hun er p{\aa} sitt h{\o}yeste punkt?


\vspace{0.8cm}
{\bf Oppgave 3: Pendel.}  \\

\begin{minipage}{0.20\textwidth}
%%FIGURE
\vspace{0.1cm}
\centerline{\epsfxsize=1.0in \epsfbox{pendel.eps}}
\vspace{0.1cm}
%%END FIGURE
\end{minipage}
\hfill
\begin{minipage}{0.70\textwidth}
Ei kule (punktmasse) med masse $m$ er festet til ei vektl{\o}s stang med lengde $L$.
Stanga er festet i et punkt A som den kan bevege seg fritt om. \\

$a)$ Kula trekkes ut til siden (i papirplanet) med en horisontal kraft $\bold{F}$.
Hvor stor m{\aa} $F$ v{\ae}re for {\aa} holde kula i ro ved vinkelen $\theta$? \\
\end{minipage}
\vspace{6mm}

\begin{minipage}{0.20\textwidth}
%%FIGURE
\vspace{0.2cm}
\centerline{\epsfxsize=1.1in \epsfbox{pendel2.eps}}
\vspace{0.2cm}
%%END FIGURE
\end{minipage}
\hfill
\begin{minipage}{0.70\textwidth}
$b)$ I stedet for {\aa} trekke med en kraft $\bold{F}$ lar vi systemet rotere om
en vertikal akse gjennom opphengningspunktet A, med vinkelhastighet $\omega$.
Hvor stor vinkel $\theta$ danner stanga med vertikalaksen?
Er denne l{\o}sningen riktig for alle verdier av $\omega$? 
{\sc Tips:} Kula har hastighet $v=\omega r$\, ($r = L \sin \theta$) og sentripetalakselerasjon $a = v^2/r$.
\end{minipage}
\vspace{0.2cm}

$c)$ Til slutt tenker vi oss at pendelen henger (uten {\aa} rotere!) i et fly som akselererer bortover rullebanen.
Hva er akselerasjonen dersom $\theta= 30^\circ$?  (Utf{\o}r eksperimentet neste gang du er ute og flyr!)


\newpage
{\bf Oppgave 4: Flervalgsoppgaver.}  \\

Eksamen vil sannsynligvis inneholde noen flervalgsoppgaver. Til hvert sp{\o}rsm{\aa}l oppgir jeg da fire
alternative svar, hvorav ett er riktig og tre er gale. Du velger ett av svarene og f{\aa}r poeng hvis det
er riktig og null poeng hvis det er galt. Enkelt og greit. Her er noen eksempler. \\

\begin{minipage}{0.5\textwidth}
%%FIGURE
\vspace{0.2cm}
\centerline{\epsfxsize=3.5in \epsfbox{fig4a.eps}}
\vspace{0.2cm}
%%END FIGURE
\end{minipage}
\hfill
\begin{minipage}{0.45\textwidth}
$a)$ En partikkel beveger seg i en sirkul{\ae}r bane, med jevnt {\o}kende hastighet. Hvilken figur
viser korrekt akselerasjon?
\end{minipage}
\vspace{15mm}

\begin{minipage}{0.5\textwidth}
%%FIGURE
\vspace{0.2cm}
\centerline{\epsfxsize=3.5in \epsfbox{fig4b.eps}}
\vspace{0.2cm}
%%END FIGURE
\end{minipage}
\hfill
\begin{minipage}{0.45\textwidth}
$b)$ Et legeme beveger seg langs en rett linje ($x$) som vist i figuren til venstre.
Hvilken figur viser best legemets akselerasjon $a$?
\end{minipage}
\vspace{15mm}

\begin{minipage}{0.5\textwidth}
%%FIGURE
\vspace{0.2cm}
\centerline{\epsfxsize=3.5in \epsfbox{fig4c.eps}}
\vspace{0.2cm}
%%END FIGURE
\end{minipage}
\hfill
\begin{minipage}{0.45\textwidth}
$c)$ Figuren viser banen for fire prosjektiler som skytes ut under ulike vinkler,
men med samme absoluttverdi av hastigheten. Hvilket prosjektil var lengst i lufta?
\end{minipage}
\vspace{15mm}

\newpage
Ukens LaTeX-trening:

\vspace{1cm}

\begin{itemize}
\item
Produser de to ligningene til h{\o}yre for figuren i oppgave 1 samt ligningen i oppgave 2 i LaTeX.
\item
Produser f{\o}lgende tekst i LaTeX:

For derivasjon med hensyn p{\aa} tiden $t$ brukes gjerne notasjonen
$$\dot{x} = \frac{dx}{dt} \quad {\rm og} \quad \ddot{x} = \frac{d^2 x}{dt^2}$$
som standard.
\end{itemize}

\end{document}