\documentclass[11pt]{article}
\usepackage{epsfig}
\usepackage[norsk]{babel}
\topmargin=-1.5cm
\oddsidemargin=-1.0cm
\evensidemargin=-1.0cm
\textheight=25cm
\textwidth=18cm
\setlength{\parindent}{0cm}

\begin{document}
\newcommand{\bold}[1]{\mbox{\boldmath $#1$}}
\newcommand{\half}{\frac{1}{2}}

\begin{center}
\begin{bf}
TFY4104/TFY4125 Fysikk. Institutt for fysikk, NTNU.

L{\o}sningsforslag til Ekstra 4.
\end{bf}
\end{center}

\vspace{0.5cm}

{\bf E1} \\

\vspace{3mm}
\begin{minipage}{0.35\textwidth}
%%FIGURE
\vspace{0.2cm}
\centerline{\epsfxsize=2.5in \epsfbox{kuleskall.eps}}
\vspace{0.2cm}
%%END FIGURE
\end{minipage}
\hfill
\begin{minipage}{0.60\textwidth}
Vi setter $dm = M \cdot dA/A$, med $A = 4\pi R^2 =$ arealet av hele kuleskallet og
$dA = 2\pi \rho \cdot R d\theta = 2\pi R \sin\theta \cdot R d\theta = $ arealet av en smal
ring med omkrets $2\pi R \sin\theta$ og bredde $R d\theta$. Her er $\theta$ vinkelen mellom
(rotasjons-)aksen og linjen fra kuleskallets sentrum ut til den smale ringen,
se figur. Dermed:
\end{minipage}

\vspace{3mm}
$$I_0 = \int_0^\pi (R\sin\theta)^2 \cdot M \cdot \frac{2\pi R^2 \sin\theta d\theta}{4\pi R^2} =
\frac{1}{2}MR^2 \int_0^\pi \sin^3 \theta d\theta.$$
Vi bruker tipset gitt i oppgaven og finner
$$\int_0^\pi \sin^3 \theta d\theta = \int_0^\pi \frac{1}{4} \left(3\sin\theta-\sin 3\theta \right)=
|_0^\pi \left( \frac{\cos3\theta}{12}-\frac{3\cos\theta}{4}\right) = \frac{4}{3},$$
slik at
$$I_0 = \frac{2}{3}MR^2.$$

\vspace{3mm}
Vi betrakter ei kompakt kule som mange tynne kuleskall utenp{\aa} hverandre, hver med
treghetsmoment $dI = 2r^2 dm/3$, radius $r$, masse $dm = M \cdot dV/V$, der
$V = 4\pi R^3/3$ er kulas totale volum, og $dV = 4\pi r^2 dr$ er volumet til et kuleskall
med radius $r$ og tykkelse $dr$. Dermed:
$$I_0 = \int dI = \int_0^R \frac{2}{3} r^2 \cdot M \cdot \frac{4\pi r^2 dr}{4\pi R^3/3} =
\frac{2M}{R^3} \int_0^R r^4 dr = \frac{2}{5} MR^2.$$
Alternativ metode: La $x$-aksen v{\ae}re rotasjonsaksen og del opp kula i tynne skiver
med tykkelse $dx$ og radius $\sqrt{R^2-x^2}$, og dermed volum $dV = dx \cdot \pi (R^2-x^2)$
og masse $dm = M dV/V = M \cdot dx \cdot \pi (R^2-x^2)/(4\pi R^3/3)$. Treghetsmomentet til
ei slik skive er $dI = dm \cdot (R^2-x^2)/2$, slik at kulas treghetsmoment blir
\begin{eqnarray*}
I &=& \int dI \\
&=& \frac{1}{2} \int dm \cdot (R^2-x^2) \\
&=& 2 \cdot \frac{1}{2} \int_0^R \frac{M \cdot dx \cdot \pi (R^2-x^2)}{4\pi R^3/3}
\cdot (R^2-x^2) \\
&=& \frac{3M}{4R^3} \int_0^R (R^4-2R^2 x^2 + x^4) dx \\
&=& \frac{2}{5} MR^2
\end{eqnarray*}


\end{document}