\documentclass[11pt]{article}
\usepackage{epsfig}
\usepackage[norsk]{babel}
\topmargin=-1.5cm
\oddsidemargin=-1.0cm
\evensidemargin=-1.0cm
\textheight=25cm
\textwidth=18cm
\setlength{\parindent}{0cm}

\begin{document}
\newcommand{\bold}[1]{\mbox{\boldmath $#1$}}
\newcommand{\half}{\frac{1}{2}}

\begin{center}
\begin{bf}
TFY4125 Fysikk. Institutt for fysikk, NTNU.

L{\o}sningsforslag til {\o}ving 5.
\end{bf}
\end{center}

\vspace{5mm}
{\bf Oppgave 1.} \\

$a)$ $I_0 = MR^2/2 = 500 \cdot 0.5^2/2 = 500/8 = 62.5$ kg m$^2$.
Riktig svar: A. \\

$b)$ 60 sekunder pr minutt og 2500 oml{\o}p pr minutt gir
$T = 60/2500 = 0.024$ s = 24 ms. Riktig svar: C. \\

$c)$ $\omega = 2\pi/T = 2\pi/0.024 = 262$ s$^{-1}$. Riktig svar: D. \\

$d)$ $K = I_0 \omega^2/2 = 62.5 \cdot 262^2/2 = 2.14$ MJ, som omregnet
(1 kWh = 3.6 MJ) gir 0.59 kWh. Riktig svar: B. \\

$e)$ $L = I_0 \omega = 62.5 \cdot 262 = 16.4 \cdot 10^3$ Js. Riktig svar: D. \\

\vspace{6mm}
{\bf Oppgave 2.} \\

$a)$ Bordtennisball: $m = 2.7$ g = 0.0027 kg og $r = 20$ mm = 0.020 m.
Dermed: $I_0 = 2mr^2/3 = 7.2 \cdot 10^{-7}$ kg m$^2$. Riktig svar: B. \\

$b)$ Kule, friidrett, menn: $M = 7.26$ kg og $R = 60$ mm = 0.060 m.
(Helt presist: Mellom 55 og 65 mm.) Dermed:
$I_0 = 2MR^2/5 = 0.010$ kg m$^2$. Riktig svar: D. \\


\vspace{6mm}
{\bf Oppgave 3} \\

$a)$ Mhp aksen gjennom A (normalt papirplanet) har staven et treghetsmoment $MD^2/3$
(se forelesningene).
En ekstra (punkt-)masse $m$ i avstand $d$ gir ganske enkelt et ekstra bidrag $md^2$, slik at
$$I =  \frac{1}{3}MD^2 + md^2.$$
Riktig svar: A. \\

\vspace{3mm}
$b)$ F{\o}r sammenst{\o}tet mellom kule og stav er det bare kula som har impuls, slik at
$$\bold{p}_i = mv \hat{x}.$$
Riktig svar: B. \\

\vspace{3mm}
$c)$ F{\o}r sammenst{\o}tet er det bare kula som har dreieimpuls mhp A, dens
{\em banedreieimpuls} mhp A er
$$\bold{L}_i = \bold{r} \times \bold{p}_i = -d \hat{y} \times mv\hat{x} =
mvd \hat{z}.$$
Med impuls i $x$-retning bidrar ikke $x$-komponenten av $\bold{r}$ til
dreieimpulsen. Riktig svar: B. \\

\newpage
\vspace{3mm}
$d)$ Tyngdekraften som virker p{\aa} staven og kula i sammenst{\o}tet
har ingen arm mhp A. En eventuell kraft fra akslingen i sammenst{\o}tet
angriper staven i A og har dermed heller ingen arm mhp A.
Da er det ikke noe ytre dreiemoment mhp A
som p{\aa}virker systemet, og dreieimpulsen mhp A er bevart:
$\bold{L}_f = \bold{L}_i = mvd \hat{z}.$ \\
Riktig svar: B. \\

\vspace{3mm}
$e)$ Stav pluss kule er et stivt legeme med treghetsmoment $I$ og dreieimpuls
$mvd$ mhp A rett etter sammenst{\o}tet. Systemet utf{\o}rer ren rotasjon om A.
Da har vi $L = I \omega$, slik at
$$\bold{\omega} = \frac{\bold{L}}{I} = \frac{v/d}{1 + MD^2/3md^2}\,\hat{z}.$$
Alternativt uttrykt som alternativ D i oppgaveteksten. Riktig svar: D. \\

\vspace{3mm}
$f)$ Like etter sammenst{\o}tet har alle deler av staven, inklusive den
''absorberte'' kula, hastighet i positiv $x$-retning:
$$\bold{v}(y) = -\omega y \hat{x},$$
slik at $\bold{v}=0$ ved A ($y=0$) og $\bold{v}=\omega D \hat{x}$ helt
nederst ($y = -D$). Gjennomsnittshastigheten for staven blir dermed
$\omega D \hat{x}/2$ og dens impuls $M \omega D \hat{x}/2$. Til dette
m{\aa} vi huske {\aa} addere kulas impuls $m \omega d \hat{x}$. F{\o}lgelig:
$$\bold{p}_f = \left( \frac{1}{2}MD+md\right)\omega\hat{x}.$$
Innsetting for $\omega$ fra $e)$ gir
$$\bold{p}_f = \frac{mv+MvD/2d}{1+MD^2/3md^2}\,\hat{x}.$$
Siden vi skal sammenligne $p_f$ med $p_i$, trekker vi ut $mv = p_i$
fra telleren og f{\aa}r
$$\bold{p}_f = \bold{p}_i \, \frac{1+MD/2md}{1+MD^2/3md^2}.$$
Riktig svar: A. \\

\vspace{3mm}
$g)$ Her vil forholdet mellom leddene som adderes til 1 i teller og nevner
avgj{\o}re om det er $p_f$ eller $p_i$ som er st{\o}rst:
$$\frac{MD/2md}{MD^2/3md^2} = \frac{3d}{2D}.$$
Dermed: Hvis $d = 2D/3$, er $p_f = p_i$. 
Treffer kula n{\o}yaktig her, {\o}nsker stavens {\o}vre ende
ikke {\aa} bevege seg i sammenst{\o}tet, og vi har faktisk impulsbevarelse.

Hvis $d > 2D/3$: Kula treffer staven s{\aa} langt ned
at rotasjonsbevegelsen ville ha blitt slik at stavens {\o}verste ende rett
etter st{\o}tet ville ha beveget seg mot venstre. Men staven er festet i A
og beveger seg ikke der. Dette m{\aa} skyldes en kraft $\bold{F}$
fra akslingen p{\aa} staven i A rettet mot h{\o}yre. Og et ytre kraftst{\o}t
$\bold{F} \cdot \Delta t$ rettet mot h{\o}yre vil som kjent gi en {\o}kning
i systemets impuls i denne retningen. (Her er $\Delta t$ sammenst{\o}tets
(korte) varighet.)

Tilsvarende: Hvis $d < 2D/3$, treffer kula staven s{\aa} langt opp at
{\o}verste ende ''pr{\o}ver'' {\aa} bevege seg mot h{\o}yre. En kraft
fra akslingen rettet mot venstre forhindrer dette, og gir samtidig systemet
en redusert impuls mot h{\o}yre.

(I det {\em videre forl{\o}pet}, n{\aa}r tyngdekraften f{\aa}r virke p{\aa}
systemet, med en arm mhp A som ikke er null, har vi selvsagt ikke impulsbevarelse - og
heller ikke dreieimpulsbevarelse - men det var det ikke sp{\o}rsm{\aa}l om her.) \\


\newpage
$h)$ Kinetisk energi f{\o}r st{\o}tet:
$$K_i = \frac{1}{2}mv^2.$$
Kinetisk energi rett etter st{\o}tet:
\begin{eqnarray*}
K_f &=& \frac{1}{2} m (\omega d)^2 + \frac{1}{2} \int_{\rm staven}
dm (\omega y)^2 \\
&=& \frac{1}{2} m \omega^2 d^2 + \frac{1}{2} \int_{-D}^0 \frac{M dy}{D} \omega^2 y^2 \\
&=& \frac{1}{2} m \omega^2 d^2 + \frac{1}{6} MD^2 \omega^2 \\
&=& \left(\frac{1}{2}md^2+\frac{1}{6}MD^2\right) \frac{(v/d)^2}{(1+MD^2/3md^2)^2} \\
&=& \dots \\
&=& \frac{K_i}{1+MD^2/3md^2}.
\end{eqnarray*}
Dermed er endringen i kinetisk energi
$$\Delta K = K_f - K_i = -\frac{K_i}{1+3md^2/MD^2},$$
og relativ endring, i absoluttverdi, som i alternativ A i oppgaveteksten. \\

Hvis kula har mye st{\o}rre masse enn staven, $m \gg M$, er $\Delta K/K_i \simeq 0$.
Det h{\o}res rimelig ut: Staven representerer kun en ''ubetydelig hindring''
for kula, som (rett etter st{\o}tet) fortsetter som om intet hadde hendt.
Hvis kula derimot har mye mindre masse enn staven, $m \ll M$, blir
$\Delta K/K_i \simeq -1 = -100\%.$ Det h{\o}res ogs{\aa} rimelig ut: Staven er
s{\aa} tung i forhold til kula at den henger praktisk talt i ro etter st{\o}tet.
(Tenk bare p{\aa} grensen $M \rightarrow \infty$; da er staven som en ''massiv
vegg'', all bevegelse opph{\o}rer, og hele den kinetiske energien er tapt
som varme og eventuelt deformasjon av kule og stav.) \\

\vspace{0.8cm}

{\bf Oppgave 4} \\

$a)$ {\bf C}. Bruk Steiners sats, $I_1=I_2=I_0 + M d^2$ med $d=R_1=R_2$. \\

$b)$ {\bf C}. I luftlinje i nord-syd-retning er det ca 40 mil mellom Oslo og Trondheim,
dvs ca $4 \cdot 10^5$ m. Dette blir bilimpulsens ''arm'' $a$. Bilen har masse omlag 1000 kg
og hastighet {\o}stover ca 25 m/s. Dreieimpulsen mhp et sted i Oslo sentrum blir dermed
$L = m v a \sim 1000 \cdot 25 \cdot 4 \cdot 10^5 = 10^{10}$ kg m$^2$/s. \\

$c)$ {\bf A}. Vi har $\tau = I_0 \dot{\omega}$, N2 for rotasjon om akse gjennom slipesteinens
tyngdepunkt. Her er $\tau = Sr = 20 \cdot 0.25 = 5.0$ i SI-enheter. Dessuten er
$\dot{\omega} = 60/12=5.0$, ogs{\aa} i SI-enheter. Dermed m{\aa} $I_0$ v{\ae}re lik 1.0,
i SI-enheten kg m$^2$. \\

\newpage
\vspace{0.5cm}

{\bf Ekstraoppgave} \\

\vspace{3mm}
\begin{minipage}{0.35\textwidth}
%%FIGURE
\vspace{0.2cm}
\centerline{\epsfxsize=2.5in \epsfbox{kuleskall.eps}}
\vspace{0.2cm}
%%END FIGURE
\end{minipage}
\hfill
\begin{minipage}{0.60\textwidth}
Vi setter $dm = M \cdot dA/A$, med $A = 4\pi R^2 =$ arealet av hele kuleskallet og
$dA = 2\pi \rho \cdot R d\theta = 2\pi R \sin\theta \cdot R d\theta = $ arealet av en smal
ring med omkrets $2\pi R \sin\theta$ og bredde $R d\theta$. Her er $\theta$ vinkelen mellom
(rotasjons-)aksen og linjen fra kuleskallets sentrum ut til den smale ringen,
se figur. Dermed:
\end{minipage}

\vspace{3mm}
$$I_0 = \int_0^\pi (R\sin\theta)^2 \cdot M \cdot \frac{2\pi R^2 \sin\theta d\theta}{4\pi R^2} =
\frac{1}{2}MR^2 \int_0^\pi \sin^3 \theta d\theta.$$
Vi bruker tipset gitt i oppgaven og finner
$$\int_0^\pi \sin^3 \theta d\theta = \int_0^\pi \frac{1}{4} \left(3\sin\theta-\sin 3\theta \right)=
|_0^\pi \left( \frac{\cos3\theta}{12}-\frac{3\cos\theta}{4}\right) = \frac{4}{3},$$
slik at
$$I_0 = \frac{2}{3}MR^2.$$

\vspace{3mm}
Vi betrakter ei kompakt kule som mange tynne kuleskall utenp{\aa} hverandre, hver med
treghetsmoment $dI = 2r^2 dm/3$, radius $r$, masse $dm = M \cdot dV/V$, der
$V = 4\pi R^3/3$ er kulas totale volum, og $dV = 4\pi r^2 dr$ er volumet til et kuleskall
med radius $r$ og tykkelse $dr$. Dermed:
$$I_0 = \int dI = \int_0^R \frac{2}{3} r^2 \cdot M \cdot \frac{4\pi r^2 dr}{4\pi R^3/3} =
\frac{2M}{R^3} \int_0^R r^4 dr = \frac{2}{5} MR^2.$$
Alternativ metode: La $x$-aksen v{\ae}re rotasjonsaksen og del opp kula i tynne skiver
med tykkelse $dx$ og radius $\sqrt{R^2-x^2}$, og dermed volum $dV = dx \cdot \pi (R^2-x^2)$
og masse $dm = M dV/V = M \cdot dx \cdot \pi (R^2-x^2)/(4\pi R^3/3)$. Treghetsmomentet til
ei slik skive er $dI = dm \cdot (R^2-x^2)/2$, slik at kulas treghetsmoment blir
\begin{eqnarray*}
I &=& \int dI \\
&=& \frac{1}{2} \int dm \cdot (R^2-x^2) \\
&=& 2 \cdot \frac{1}{2} \int_0^R \frac{M \cdot dx \cdot \pi (R^2-x^2)}{4\pi R^3/3}
\cdot (R^2-x^2) \\
&=& \frac{3M}{4R^3} \int_0^R (R^4-2R^2 x^2 + x^4) dx \\
&=& \frac{2}{5} MR^2
\end{eqnarray*}


\end{document}