\documentclass[11pt]{article}
\usepackage{epsfig}
\usepackage[norsk]{babel}
\topmargin=-1.5cm
\oddsidemargin=-1.0cm
\evensidemargin=-1.0cm
\textheight=25cm
\textwidth=18cm
\setlength{\parindent}{0cm}

\begin{document}
\newcommand{\bold}[1]{\mbox{\boldmath $#1$}}

\begin{center}
\begin{bf}
TFY4104 Fysikk. Institutt for fysikk, NTNU. H{\o}sten 2013.

{\O}ving 5. Veiledning: 20.\ september. Innleveringsfrist: 25.\ september kl 14.
\end{bf}
\end{center}

{\bf Oppgave 1: Saturn V, trinn 1} \\

\vspace{0.2cm}

Rakett-typen som blant annet s{\o}rget for {\aa} bringe Apollo 11 fra jorda til m{\aa}nen i juli 1969
kalles Saturn V. I det f{\o}rste av i alt tre rakett-trinn ble 13.2 tonn drivstoff forbrent pr sekund
(dvs $dm/dt = -13.2 \cdot 10^3$ kg/s) og bl{\aa}st ut bakover med en hastighet $|u| = 2.58$ km/s 
relativt raketten. Etter 2.5 minutter var alt drivstoff
i trinn 1 brukt opp. Oppskytingen startet med raketten i ro p{\aa} bakken, der tyngdens akselerasjon
er $g = 9.81$ m/s$^2$. Total masse f{\o}r avreise var $3.04\cdot10^6$ kg. \\

\vspace{0.2cm}

$a)$ Bruk ''rakettligningen'' (som vi utledet i forelesningene)
$$ma = F_{\rm ytre} + F_{\rm skyv}$$
til {\aa} vise at rakettens hastighet etter en tid $t$ blir
$$v(t) = -u \ln\frac{m_0}{m} - g t.$$
Her er $m_0$ startmassen, mens $m = m(t)$ er gjenv{\ae}rende masse ved tidspunktet $t$.
Vi har valgt positiv retning oppover, slik at ytre kraft p{\aa} raketten er $-mg$.
Skyvkraften er $u \cdot \beta$, der $u$ er eksosens hastighet relativt raketten og $\beta = dm/dt$
angir forbrent drivstoffmasse pr tidsenhet. Her er b{\aa}de $u$ og $\beta$ negative st{\o}rrelser,
og vi antar at de begge er konstante, som antydet innledningsvis. Vi antar ogs{\aa} at tyngdens
akselerasjon $g$ kan regnes som konstant, en antagelse som vi skal komme tilbake til i punkt
$e)$ nedenfor.  \\

\vspace{0.5cm}

$b)$ Hvor stor m{\aa} skyvkraften minst v{\ae}re for at raketten i det hele tatt skal ta av
fra bakken? Sjekk at dette var tilfelle for Saturn V.
Regn ut drivstoffmassen $m_d$ ved avreise, $t=0$, og rakettens sluttmasse $m_f$ ved tidspunktet $t_f$, dvs idet
alt drivstoff er brukt opp. \\

\vspace{0.5cm}

$c)$ Vis at rakettens akselerasjon kan skrives som
$$a(t) = \frac{u\beta}{m_0 + \beta t} - g.$$
Bestem akselerasjonen ved $t=0$. Bestem ogs{\aa} akselerasjon og hastighet ved slutten av trinn 1, 
dvs ved $t=t_f$. \\

\vspace{0.5cm}

$d)$ Det oppgis at dersom $|x| \ll 1$, er det en god tiln{\ae}rmelse {\aa} erstatte br{\o}ken $1/(1+x)$
med polynomet $1-x$. (Pr{\o}v for eksempel med $x = -0.01$.) Bruk Rottmann til {\aa} verifisere at
$1/(1+x) \simeq 1-x$
n{\aa}r $|x| \ll 1$. Bruk deretter denne opplysningen til {\aa} vise at
$$a_{\rm lin}(t) = a(0) - \frac{u \beta^2}{m_0^2}\,t$$
er en god tiln{\ae}rmelse for $a(t)$ s{\aa} lenge $t \ll m_0/(-\beta)$.
Ta utgangspunkt i MATLAB-programmet rakett.m og modifiser
linjene 25 og 48 slik at du f{\aa}r plottet $a(t)$ og $a_{\rm lin}(t)$ i samme figur, for $0 < t < t_f$.
Ansl{\aa} p{\aa} {\o}yem{\aa}l ved hvilket tidspunkt $a_{\rm lin}(t)$ begynner {\aa} bli en ''mindre
god'' tiln{\ae}rmelse for $a(t)$. Modifiser videre linje 27 slik at du f{\aa}r plottet $v(t)$ i en annen figur.
(For innlevering, lagre figurene i pdf-format og send som vedlegg pr epost til din studass.) \\

\newpage

$e)$ (Utfordring!) Hvor h{\o}yt, $h_f$, kommer raketten i l{\o}pet av dette f{\o}rste oppskytingstrinnet?
Raketten trekkes mot jorda med gravitasjonskraften
$$F_G = \frac{GMm}{r^2},$$
der $G$ er gravitasjonskonstanten, $M$ er jordmassen, $m$ er rakettmassen og $r$ er avstanden mellom
raketten og jordas sentrum. Anta at jorda er kuleformet med radius $R = 6.37 \cdot 10^3$ km.
Hvis du har regnet riktig, har du kommet fram til at $h_f$ er i underkant av 60 km. Bruk disse verdiene
til {\aa} ansl{\aa} hvor stor feil du har gjort underveis i dine regninger ved {\aa} bruke den
konstante verdien 9.81 m/s$^2$ for tyngdens akselerasjon. \\

\vspace{0.8cm}

{\bf Oppgave 2: Sprettballer}  \\

\begin{minipage}{0.25\textwidth}
%%FIGURE
\vspace{0.2cm}
\centerline{\epsfxsize=1.5in \epsfbox{superball.eps}}
\vspace{0.2cm}
%%END FIGURE
\end{minipage}
\hfill
\begin{minipage}{0.70\textwidth}
To baller, begge med hull gjennom sentrum, kan gli friksjonsfritt nedover en stang. Den nederste ballen har masse
$M$ og den {\o}verste har masse $m$. Ballene slippes, med null starthastighet, fra en h{\o}yde $h$ over
bakken. Alle kollisjoner er i denne oppgaven fullstendig {\em elastiske} og har neglisjerbar varighet.\\

$a)$ Bestem ballenes hastighet $v_0$ rett f{\o}r den nederste ballen st{\o}ter mot bakken. Hva er
den nederste ballens hastighet rett {\em etter} st{\o}tet mot bakken? (Vi antar at st{\o}tet mot bakken
er fullf{\o}rt f{\o}r de to ballene kolliderer med hverandre.) \\

$b)$ Som sagt, umiddelbart etter at nederste ball har fullf{\o}rt st{\o}tet mot bakken kolliderer de to
ballene med hverandre. Bestem den {\o}verste ballens hastighet $v$ rett etter kollisjonen. Finn ogs{\aa} ut
hvor h{\o}yt, $y$, den vil sprette. Uttrykk $v$ og $y$ ved $h$ og masseforholdet $\alpha = M/m$.
Hvor stor blir $y$ i grensetilfellet $M \gg m$, samt spesialtilfellet $M = m$?
(Dvs: $\alpha \gg 1$ og $\alpha = 1$.)
\end{minipage}

\vspace{1.3cm}

{\bf Oppgave 3: Tyngdepunkt} \\

\begin{minipage}{0.25\textwidth}
%%FIGURE
\vspace{0.2cm}
\centerline{\epsfxsize=1.7in \epsfbox{sirkelsektor.eps}}
\vspace{0.2cm}
%%END FIGURE
\end{minipage}
\hfill
\begin{minipage}{0.70\textwidth}
$a)$ En tynn, jevntykk b{\o}yle er en del av en sirkel og har sektorvinkel $2\alpha$, som vist i figuren.
Sirkelradien er $R$. Vis at tyngdepunktet er
$$X = R \, \frac{\sin\alpha}{\alpha}.$$
Hva blir resultatet for $\alpha=\pi$ og $\alpha \rightarrow 0$? Er svarene rimelige?
\end{minipage}

\vspace{6mm}
$b)$ B{\o}ylen erstattes av en sirkelsektor (dvs ei tynn, jevntykk skive) med samme {\aa}pningsvinkel $2\alpha$ og radius $R$.
Vis at tyngdepunktet er
$$X = \frac{2}{3}R \, \frac{\sin\alpha}{\alpha}.$$
Hva blir resultatet for $\alpha=\pi$ og $\alpha \rightarrow 0$?  Er svarene rimelige? \\


\end{document}