\documentclass[11pt]{article}
\usepackage{epsfig}
\usepackage[norsk]{babel}
\topmargin=-1.5cm
\oddsidemargin=-1.0cm
\evensidemargin=-1.0cm
\textheight=25cm
\textwidth=18cm
\setlength{\parindent}{0cm}

\begin{document}
\newcommand{\bold}[1]{\mbox{\boldmath $#1$}}

\begin{center}
\begin{bf}
TFY4104 Fysikk. Institutt for fysikk, NTNU. H{\o}sten 2013.

{\O}ving 5. Tips.
\end{bf}
\end{center}

\vspace{3mm}
{\bf Oppgave 1.} \\

$a)$ Multiplikasjon av den oppgitte bevegelsesligningen (N2) med $dt/m$ separerer
variablene $v$, $t$ og $m$, slik at du kan integrere ligningen. \\

$b)$ Fasitsvar: $m_d = 1.98 \cdot 10^6$ kg, $m_f = 1.06 \cdot 10^6$ kg. \\

$c)$ Fasitsvar: $a(0) = 1.39$ m/s$^2$, $a(t_f) = 22.3$ m/s$^2$, $v(t_f) = 1.25$ km/s. \\

$d)$ Trekk ut en felles faktor slik at du f{\aa}r et uttrykk som inneholder $1/(1+x)$,
med en liten (og negativ) $x$. MATLAB-tips: Husk at du kan regne ut $a$ og $v$ for alle
de $N=200$ $t$-verdiene ved {\aa} bruke ''.'' (dvs punktum) foran divisjonstegn og
multiplikasjonstegn. Mitt {\o}yem{\aa}l tilsier at $a_{\rm lin}(t)$ er en brukbar
tiln{\ae}rmelse de f{\o}rste ca 20 sekundene. \\

$e)$ Integrer hastigheten $v(t)$ for {\aa} finne tilbakelagt distanse. Du vil trolig f{\aa} bruk
for integralet
$$\int \ln x \, dx = x \, \ln x - x.$$
Fasitsvar: $h_f = 58.4$ km. Relativ feil ved {\aa} bruke $g(h_f) = g(0)$: ca 2\%. \\

\vspace{3mm}
{\bf Oppgave 2.} \\

$a)$ Kollisjoner med neglisjerbar varighet betyr at du kan se bort fra den ytre
tyngdekraften i kollisjonsprosessen. Anta at det er et lite mellomrom mellom de to
ballene, slik at den nederste ballen er p{\aa} vei oppover n{\aa}r de to ballene
kolliderer. \\

$b)$ Benytt ''trikset'' fra forelesningene, dvs divider ligningen du f{\aa}r fra
energibevarelse med ligningen du f{\aa}r fra impulsbevarelse. Fasitsvar:
$v = \sqrt{2gh}(1-3\alpha)/(\alpha+1)$,
$y = h \cdot ((3\alpha-1)/(\alpha+1))^2.$

\vspace{9mm}
{\bf Oppgave 3.} \\

$a)$ Forholdet mellom massen $dm$ til en liten bit av b{\o}ylen som dekker en liten vinkel $d\theta$
og total masse $M$ m{\aa} v{\ae}re lik forholdet mellom $d\theta$ og total vinkel $2\alpha$. \\

$b)$ Forholdet mellom massen $dm$ til en liten bit av skiva med arealet $dA = r\,d\theta \cdot dr$
og total masse $M$ m{\aa} v{\ae}re lik forholdet mellom $dA$ og skivas totale areal $A = \dots$.

\end{document}