\documentclass[11pt]{article}
\usepackage{epsfig}
\usepackage[norsk]{babel}
\topmargin=-1.5cm
\oddsidemargin=-1.0cm
\evensidemargin=-1.0cm
\textheight=25cm
\textwidth=18cm
\setlength{\parindent}{0cm}

\begin{document}
\newcommand{\bold}[1]{\mbox{\boldmath $#1$}}
\newcommand{\half}{\frac{1}{2}}

\begin{center}
\begin{bf}
TFY4104/TFY4125 Fysikk. Institutt for fysikk, NTNU.

L{\o}sningsforslag til Ekstra 5.
\end{bf}
\end{center}

\vspace{3mm}

$a)$ Rakettligningen:
$$m \frac{dv}{dt} = -mg + u \frac{dm}{dt}.$$
Vi ganger ligningen med $dt/m$ og integrerer, fra $0$ til $v$ for $v$, fra $0$ til $t$ for $t$,
og fra $m_0$ til $m$ for $m$:
$$\int_0^v dv = -g \int_0^t dt + u \int_{m_0}^m \frac{dm}{m},$$
som gir
$$v(t) = -gt + u \ln \frac{m}{m_0} = -u \ln \frac{m_0}{m} -gt.$$

\vspace{3mm}
$b)$ M{\aa} ha skyvkraft minst like stor som tyngdekraften $m_0 g = 2.98 \cdot 10^7$ N.
Her er skyvkraften lik $u\beta = 3.40 \cdot 10^7$ N, s{\aa} raketten {\em vil} lette fra bakken.
Drivstoffmassen ved avreise er $m_d = -\beta t_f = 1.98 \cdot 10^6$ kg. Raketten uten
drivstoff har masse $m_f = m_0 - m_d = 1.06 \cdot 10^6$ kg. \\

$c)$ Fra rakettligningen har vi umiddelbart
$$a(t) = \frac{dv}{dt} = -g + \frac{u}{m} \frac{dm}{dt} = \frac{u\beta}{m} - g.$$
Med konstant drivstoff-forbruk har vi $m = m_0 + \beta t$, og dermed $a(t)$ som oppgitt.
Ved $t=0$: $a(0) = u\beta/m_0 - g = 1.39$ m/s$^2$.
Ved $t=t_f$: $a(t_f) = u\beta/m_f - g = 22.3$ m/s$^2$. \\
Innsetting av tallverdier i $v(t)$ fra oppgave $a)$ gir $v(t_f) \simeq 1247\,{\rm m/s} 
\simeq 1.25\,{\rm km/s}$. \\

$d)$ Vi kan skrive
$$a(t) = \frac{u\beta}{m_0} \frac{1}{1+\beta t/m_0} - g.$$
Hvis $t \ll m_0/(-\beta)$, s{\aa} er $x = -\beta t/m_0 \ll 1$. Dermed er
$$a(t) \simeq a_{\rm lin}(t) = \frac{u\beta}{m_0} \left( 1 - \frac{\beta t}{m_0} \right) - g
= a(0) - \frac{u \beta^2}{m_0^2} \, t,$$
som oppgitt. \\

$e)$ Tilbakelagt distanse er gitt ved
$$h(t) = \int_0^t v(t) dt.$$
Vi har at
$$\int \ln x dx = x \ln x - x,$$
siden den deriverte av h{\o}yre side her gir tilbake $\ln x$. Litt fundering p{\aa}
hvordan riktige konstanter skal velges her og der gir da
$$h(t) = u \frac{m_0 + \beta t}{\beta} \ln \frac{m_0 + \beta t}{m_0} - u t - \frac{1}{2} gt^2,$$
og setter vi inn $t = t_f = 150$ s her, finner vi at
$h(t_f) = 58353$ m $\simeq$ 58.4 km. \\

Forholdet mellom $g(0)$, dvs $g$ ved jordoverflaten, og $g(h)$, 
dvs $g$ i h{\o}yden $h$ over bakken, er
$$\frac{g(0)}{g(h)} = \left( \frac{R+h}{R} \right)^2.$$
Setter vi inn $R = 6.37 \cdot 10^3$ km og $h = h_f = 58.4$ km, finner vi at dette forholdet
blir ca 1.02. Med andre ord, vi gj{\o}r ikke st{\o}rre feil enn et par prosent ved {\aa}
bruke samme verdi 9.81 m/s$^2$ for $g$ for hele distansen.  \\

\end{document}