\documentclass[11pt]{article} \usepackage{epsfig} \usepackage[norsk]{babel} \topmargin=-1.5cm \oddsidemargin=-1.0cm \evensidemargin=-1.0cm \textheight=25cm \textwidth=18cm \setlength{\parindent}{0cm} \begin{document} \newcommand{\bold}[1]{\mbox{\boldmath $#1$}} \begin{center} \begin{bf} TFY4104/TFY4125 Fysikk. Institutt for fysikk, NTNU. Ekstra 6. \end{bf} \end{center} \vspace{0.5cm} {\bf Oppgave 4: Element{\ae}r snooker, ekstraoppgaver} \\ \vspace{4mm} Etter at st{\o}tet er overst{\aa}tt vil kulas totale dreieimpuls $\bold{L} = M \,(\bold{r}-\bold{r}_0) \times \bold{V} + I_0 \bold{\omega}$ v{\ae}re bevart, {\em dersom} vi velger referansepunktet $\bold{r}_0$ i et punkt p{\aa} skj{\ae}ringslinja mellom bordets overflate og vertikalplanet gjennom kulas massesenter (dvs langs $x$-aksen i figuren). Enkleste valg er i origo, dvs $\bold{r}_0 = 0$, se figuren. (Hvorfor f{\aa}r vi dreieimpulsbevarelse med dette valget?) Vi antar at bare $z$-komponenten til $\bold{L}$ er aktuell her, dvs ingen rotasjon om andre akser. \\ \vspace{4mm} $d)$ Pga friksjonen mellom bord og kule vil kulas bevegelse etter en viss tid g{\aa} over til ren rulling. Hva blir massesenterhastigheten $V_r$ til kula etter at ren rulling har inntr{\aa}dt? (Tips: Bruk bevaring av $L_z$ til {\aa} finne $V_r$.) \\ $${\rm A)} \;\;\; V_r = \frac{7}{5} \left(1 + \frac{h}{R} \right) \; V_0$$ $${\rm B)} \;\;\; V_r = \frac{7}{5} \left(1 + \frac{R}{h} \right) \; V_0$$ $${\rm C)} \;\;\; V_r = \frac{5}{7} \left(1 + \frac{h}{R} \right) \; V_0$$ $${\rm D)} \;\;\; V_r = \frac{5}{7} \left(1 + \frac{R}{h} \right) \; V_0$$ \vspace{4mm} $e)$ Anta at k{\o}en treffer kula i en h{\o}yde $h > h_0$. Hvor lang tid $t_r$ tar det da fra st{\o}tet til snookerkula ruller uten {\aa} gli? \\ $${\rm A)} \;\;\; t_r = \frac{2V_0}{7\mu_k g} \left(\frac{5h}{2R} - 1 \right)$$ $${\rm B)} \;\;\; t_r = \frac{2V_0}{7\mu_k g} \left(\frac{7h}{2R} - 1 \right)$$ $${\rm C)} \;\;\; t_r = \frac{2V_0}{5\mu_k g} \left(\frac{5h}{2R} - 1 \right)$$ $${\rm D)} \;\;\; t_r = \frac{2V_0}{5\mu_k g} \left(\frac{7h}{2R} - 1 \right)$$ (Hvis betingelsen for ren rulling er oppfylt fra f{\o}rste {\o}yeblikk, skrumper denne ''en viss tid'' inn til null, og $V_r=V_0$. Dette kan du jo ha som en kontroll av svaret.) \\ \vspace{4mm} $f)$ Bestem energitapet $\Delta K = K_r - K_0$. \\ \vspace{4mm} $g)$ Bestem forskj{\o}vet strekning $x_r$ langs underlaget i tiden $t_r$, dvs fra st{\o}tet til ren rulling oppn{\aa}s. \newpage {\bf Oppgave 5: Kollisjon mellom tynn stav og lita kule, ekstraoppgaver} \\ \vspace{0.4cm} $f)$ Hva er systemets impuls $\bold{p}_f$ umiddelbart etter sammenst{\o}tet? \\ A) $\bold{p}_i \cdot(1+MD/2md)/(1+MD^2/3md^2)$ \hspace{3mm} B) $\bold{p}_i \cdot(1-MD/2md)/(1-MD^2/3md^2)$ \\ C) $\bold{p}_i \cdot(1+MD/md)/(1+MD^2/7md^2)$ \hspace{3mm} D) $\bold{p}_i$ \\ \vspace{0.4cm} $g)$ For hvilken verdi av $d$ er $p_f = p_i$? \\ A) Alltid \hspace{3mm} B) $D/3$ \hspace{3mm} C) $2D/3$ \hspace{3mm} D) $D$ \\ \vspace{0.4cm} $h)$ Hva er $|\Delta K/K_i| = |(K_f - K_i)/K_i|$, dvs relativ endring i systemets kinetiske energi i sammenst{\o}tet? \\ A) $1/(1+3md^2/MD^2)$ \hspace{3mm} B) $1/(1-3md^2/MD^2)$ \hspace{3mm} C) $1+3md^2/MD^2$ \hspace{3mm} D) $1-3md^2/MD^2$ \\ \vspace{1.4cm} {\bf Oppgave 7: Svingninger, ekstraoppgaver} \\ \vspace{5mm} Et enkelt masse-fj{\ae}r-svingesystem med masse $m$ og fj{\ae}rstivhet $k$ har som kjent vinkelfrekvens $\omega = \sqrt{k/m}$. Sett opp ''N2'' for de tre svingesystemene vist i figuren nedenfor og finn vinkelfrekvensen for hvert av systemene uttrykt ved $\omega_1 = \sqrt{k_1/m}$ og $\omega_2=\sqrt{k_2/m}$. I alle tilfellene er fj{\ae}rene massel{\o}se, og det er ingen friksjon. %%FIGURE \vspace{1.0cm} \centerline{\epsfxsize=7.0in \epsfbox{fjaerkobling.eps}} \vspace{1.0cm} %%END FIGURE \vspace{3mm} $i)$ $\omega_i = \dots$ \\ A) $\omega_1 + \omega_2$ \hspace{3mm} B) $\omega_1 \omega_2/\sqrt{\omega_1^2 + \omega_2^2}$ \hspace{3mm} C) $\sqrt{\omega_1^2 + \omega_2^2}$ \hspace{3mm} D) $\sqrt{\omega_1\omega_2}$ \\ \vspace{3mm} $j)$ $\omega_j = \dots$ \\ A) $\omega_1 + \omega_2$ \hspace{3mm} B) $\omega_1 \omega_2/\sqrt{\omega_1^2 + \omega_2^2}$ \hspace{3mm} C) $\sqrt{\omega_1^2 + \omega_2^2}$ \hspace{3mm} D) $\sqrt{\omega_1\omega_2}$ \\ \vspace{3mm} $k)$ $\omega_k = \dots$ \\ A) $\omega_1 + \omega_2$ \hspace{3mm} B) $\omega_1 \omega_2/\sqrt{\omega_1^2 + \omega_2^2}$ \hspace{3mm} C) $\sqrt{\omega_1^2 + \omega_2^2}$ \hspace{3mm} D) $\sqrt{\omega_1\omega_2}$ \\ \newpage {\bf Ekstraoppgaver opprinnelig inkludert i Test 6} \vspace{5mm} {\bf Oppgave 1}\\ Snooker spilles p{\aa} en bordflate med lengde 3569 mm og bredde 1778 mm. Det er hull -- der kulene skal senkes -- i de fire hj{\o}rnene og midt p{\aa} hver langside. Snookerkuler har diameter 52.5 mm. De er kompakte, med uniform massefordeling, og dermed et treghetsmoment $2MR^2/5$ mhp akser gjennom CM. Kulenes masse er ca 130 g. (Offisielle regler foreskriver ikke en bestemt masse.) Etter et forsiktig st{\o}t ruller den svarte kula uten {\aa} gli (slure) mot et av hj{\o}rnehullene med hastighet 50 cm/s. Hva er kulas kinetiske energi? \\ A 7.0 mJ \\ B 16 mJ \\ C 23 mJ \\ D 29 mJ \\ E 46 mJ \\ \vspace{5mm} {\bf Oppgave 2}\\ Hva er spinnet til den svarte kula i forrige sp{\o}rsm{\aa}l (dvs den indre dreieimpulsen $L_s$ knyttet til rotasjonsbevegelsen om CM)? \\ A 0.34 mJs \\ B 0.68 mJs \\ C 1.02 mJs \\ D 1.36 mJs \\ E 1.70 mJs \\ \vspace{5mm} {\bf Oppgave 3}\\ Den svarte kula i de to foreg{\aa}ende oppgavene ruller langs snookerbordets diagonal. Hva er kulas banedreieimpuls $L_b$ relativt et av hullene midt p{\aa} bordets langside? (Banedreieimpulsen er den delen av den totale dreieimpulsen som er knyttet til massesenterets translasjonsbevegelse.) \\ A 13 mJs \\ B 26 mJs \\ C 39 mJs \\ D 52 mJs \\ E 65 mJs \\ \vspace{5mm} {\bf Oppgave 4}\\ Hvilket intervall dekker omtrent fordelingen av st{\aa}ende voksne menneskers treghetsmoment om den vertikale symmetriaksen? \\ A 0.05 - 0.4 kg m$^2$ \\ B 0.5 - 4.0 kg m$^2$ \\ C 5 - 40 kg m$^2$ \\ D 50 - 400 kg m$^2$ \\ E 500 - 4000 kg m$^2$ \\ \vspace{5mm} {\bf Oppgave 5}\\ Omtrent hvor stor er en personbils kinetiske energi $K_{\rm rot}$ knyttet til de fire hjulenes rotasjonsbevegelse, sammenlignet med hele bilens kinetiske translasjonsenergi $K_{\rm trans}$? Anta at bilens totale masse er 1 tonn, og at hvert hjul har masse 15 kg. Anta som en forenkling at hjulene kan betraktes som kompakte skiver, slik at det relevante treghetsmomentet er $mr^2/2$. \\ A $K_{\rm rot}/K_{\rm trans}$ er ca 1/1000 \\ B $K_{\rm rot}/K_{\rm trans}$ er ca 1/100 \\ C $K_{\rm rot}/K_{\rm trans}$ er ca 3/100 \\ D $K_{\rm rot}/K_{\rm trans}$ er ca 6/100 \\ E $K_{\rm rot}/K_{\rm trans}$ er ca 9/100 \\ \vspace{5mm} {\bf Oppgave 6}\\ %%FIGURE \centerline{\epsfxsize=4.0in \epsfbox{test6nr8.eps}} %%END FIGURE Ei snookerkule med masse $M=128$ g og radius $R=26.25$ mm f{\aa}r et kraftig og kortvarig st{\o}t av en horisontal k{\o} (stav) med treffpunkt i samme h{\o}yde som kulas massesenter. Anta at kraften er konstant lik 500 N i st{\o}tet som varer i 1.0 ms. Vi kan da neglisjere friksjonskraften $f$ fra underlaget p{\aa} kula under selve st{\o}tet. (N{\aa}r st{\o}tet er avsluttet, kan vi generelt ikke neglisjere $f$.) Denne og de to neste oppgavene er knyttet til figuren over. Hva er kulas hastighet umiddelbart etter at st{\o}tet er fullf{\o}rt? \\ A 0.15 m/s \\ B 0.45 m/s \\ C 1.0 m/s \\ D 2.8 m/s \\ E 3.9 m/s \\ \newpage {\bf Oppgave 7}\\ %%FIGURE \centerline{\epsfxsize=5.0in \epsfbox{test6nr9.eps}} %%END FIGURE Hvilken av disse figurene angir korrekt kreftene som virker p{\aa} snookerkula like etter at st{\o}tet er fullf{\o}rt? \\ A Ingen av figurene er korrekte \\ B Figur A er korrekt \\ C Figur B er korrekt \\ D Figur C er korrekt \\ E Figur D er korrekt \\ \vspace{4mm} {\bf Oppgave 8}\\ Etter fullf{\o}rt st{\o}t er kulas dreieimpuls relativt origo, $L=MRV+I_0\omega$, bevart. Her er $V$ og $\omega$ hhv kulas hastighet og vinkelhastighet, og $I_0=2MR^2/5$. Umiddelbart etter fullf{\o}rt st{\o}t glir kula med hastighet $V_0$ uten {\aa} rotere. Hva er da kulas hastighet n{\aa}r ren rulling er oppn{\aa}dd? \\ A $3V_0/5$ \\ B $4V_0/5$ \\ C $3V_0/7$ \\ D $4V_0/7$ \\ E $5V_0/7$ \\ \vspace{5mm} {\bf Oppgave 9}\\ En partikkel med total mekanisk energi $E$ beveger seg i en dimensjon i et omr{\aa}de der potensiell energi er $U(x)$. Partikkelens hastighet m{\aa} da v{\ae}re lik null der \\ A $dU/dx = 0$ \\ B $d^2 U/dx^2 = 0$ \\ C $U = E$ \\ D $U = 0$ \\ E $E = 0$ \\ \newpage {\bf Oppgave 10}\\ I molekylet HI, hydrogenjodid, svinger atomene fram og tilbake langs molekylets akse med en egenfrekvens $f$. Hvor stor er $f$? Tips: Iodatomet har mye st{\o}rre masse (ca 127u) enn hydrogenatomet (ca 1u), slik at vi med bra tiln{\ae}rmelse kan anta at iodatomet st{\aa}r i ro mens hydrogenatomet svinger fram og tilbake som en enkel harmonisk oscillator. Fj{\ae}rkonstanten for denne oscillatoren er ca 800 N/m. \\ A $f = 1.1$ MHz \\ B $f = 1.1$ GHz \\ C $f = 1.1 \cdot 10^{12}$ Hz \\ D $f = 1.1 \cdot 10^{14}$ Hz \\ E $f = 1.1 \cdot 10^{16}$ Hz \\ \vspace{3mm} {\bf Oppgave 11}\\ Karbondioksydmolekylet, CO$_2$, er line{\ae}rt, med C i midten (O = C = O). Molekylet har tre egenfrekvenser som svarer til tre ulike svingebevegelser (vibrasjonsbevegelser). Den enkleste av disse kalles symmetrisk strekk. Her svinger de to oksygenatomene hver sin vei mens karbonatomet st{\aa}r i ro, dvs at de to CO-bindingene strekkes samtidig (og trykkes sammen samtidig). Det betyr at vi kan analysere denne vibrasjonsbevegelsen p{\aa} samme m{\aa}te som vi gjorde for hydrogenjodid i forrige oppgave. Det oppgis at oksygenatomet har masse 16u, og at fj{\ae}rkonstanten for den (tiln{\ae}rmet) harmoniske svingningen er ca 4.6 kN/m. Hva er da frekvensen $f$ til denne vibrasjonsbevegelsen i CO$_2$? \\ A $f = 6.6$ GHz \\ B $f = 6.6 \cdot 10^{11}$ Hz \\ C $f = 6.6 \cdot 10^{13}$ Hz \\ D $f = 6.6 \cdot 10^{15}$ Hz \\ E $f = 6.6 \cdot 10^{17}$ Hz \\ \vspace{3mm} {\bf Oppgave 12}\\ En masse er festet til ei fj{\ae}r og utf{\o}rer udempede harmoniske svingninger med vinkelfrekvens $\omega$. Ved et bestemt tidspunkt er fj{\ae}ra strukket en lengde $x_0$, og massens hastighet er da null. Hva er massens maksimale hastighet? \\ A $\omega x_0$ \\ B $2\omega x_0$ \\ C $\sqrt{2}\omega x_0$ \\ D $\omega x_0/\sqrt{2}$ \\ E $\omega x_0/2$ \\ \vspace{3mm} {\bf Oppgave 13}\\ En masse er festet til ei fj{\ae}r og utf{\o}rer udempede harmoniske svingninger med vinkelfrekvens $\omega$. Ved et bestemt tidspunkt har massen akselerasjon $a$ og hastighet $v$. Hva er massens maksimale utsving? \\ A $v/\omega$ \\ B $a/\omega^2$ \\ C $\sqrt{2}(v/\omega + a/\omega^2)$ \\ D $\sqrt{v^2/\omega^2 + a^2/\omega^4}$ \\ E $\sqrt{a^2/\omega^4 - v^2/\omega^2}$ \\ \newpage {\bf Oppgave 14}\\ %%FIGURE \centerline{\epsfxsize=4.0in \epsfbox{test6nr20.eps}} %%END FIGURE Figuren viser en dempet svingning der utsvinget er gitt som $$x(t)=Ae^{-t/\tau}\cos(\omega t+\phi).$$ Hva er startverdiene for posisjon og hastighet, $x(0)$ og $\dot{x}(0)$, for dette svingeforl{\o}pet? \\ A $x(0) \simeq 60$ cm, $\dot{x}(0) \simeq -120$ cm/s \\ B $x(0) \simeq -60$ cm, $\dot{x}(0) \simeq 120$ cm/s \\ C $x(0) \simeq 60$ cm, $\dot{x}(0) \simeq 120$ cm/s \\ D $x(0) \simeq -60$ cm, $\dot{x}(0) \simeq -120$ cm/s \\ E $x(0) \simeq 60$ cm, $\dot{x}(0) \simeq -60$ cm/s \\ \end{document}