\documentclass[11pt]{article}
\usepackage{epsfig}
\usepackage[norsk]{babel}
\topmargin=-1.5cm
\oddsidemargin=-1.0cm
\evensidemargin=-1.0cm
\textheight=25cm
\textwidth=18cm
\setlength{\parindent}{0cm}

\begin{document}
\newcommand{\bold}[1]{\mbox{\boldmath $#1$}}

\begin{center}
\begin{bf}
TFY4104/TFY4125 Fysikk. Institutt for fysikk, NTNU.

{\O}ving 6.
\end{bf}
\end{center}

\vspace{0.5cm}

{\bf Oppgave 1: Stupebrett} \\

\begin{minipage}{0.40\textwidth}
%%FIGURE
\vspace{0.2cm}
\centerline{\epsfxsize=3.0in \epsfbox{stupebrett.eps}}
\vspace{0.2cm}
%%END FIGURE
\end{minipage}
\hfill
\begin{minipage}{0.55\textwidth}
En stuper med masse $M$ st{\aa}r p{\aa} kanten av et stupebrett med lengde $L$ og masse $m$.
Stupebrettet er festet til to st{\o}tter som vist i figuren. St{\o}ttene st{\aa}r en
avstand $d$ fra hverandre. Bruk A som referansepunkt. \\

$a)$ Hvor stor kraft $F_B$ virker p{\aa} stupebrettet i festet til st{\o}tten i B? \\

A) $gd(M-m/2)/L$ \hspace{3mm}
B) $gd(M+m/2)/L$ \\

C) $gL(M+m/2)/d$ \hspace{3mm}
D) $gd(M+m/2)/d$ 
\end{minipage}

\vspace{3mm}
$b)$ Hvor stor kraft $F_A$ virker p{\aa} stupebrettet i festet til st{\o}tten i A? \\

A) $F_B + (M-m)g$ \hspace{3mm}
B) $F_B + (M+m)g$ \hspace{3mm}
C) $F_B - (M-m)g$ \hspace{3mm}
D) $F_B - (M+m)g$ \\


\vspace{5mm}

{\bf Oppgave 2: Ball p{\aa} vegg} \\

\begin{minipage}{0.60\textwidth}
$a)$ En ball med masse $M$ og radius $R$ henger mot en vertikal vegg. Ei snor med lengde $L$
er festet til veggen og ballen som vist i figuren til venstre. Anta i f{\o}rste omgang at det ikke
er friksjon mellom veggen og ballen.  Hva er da snordraget $S$ og normalkraften $N$ fra veggen? \\
\begin{eqnarray*}
{\rm A)} \;\; S = Mg \, \frac{L+R}{\sqrt{L(L+2R)}} \;\;\; & & N = Mg \, \frac{R}{\sqrt{L(L+2R)}} \\
{\rm B)} \;\; S = Mg \, \frac{L+R}{\sqrt{R(L+2R)}} \;\;\; & & N = Mg \, \frac{R}{\sqrt{R(L+2R)}} \\
{\rm C)} \;\; S = Mg \, \frac{2L+R}{\sqrt{L(L+2R)}} \;\;\;& & N = Mg \, \frac{2R}{\sqrt{L(L+2R)}} \\
{\rm D)} \;\; S = Mg \, \frac{2L+R}{\sqrt{R(L+2R)}} \;\;\;& & N = Mg \, \frac{2R}{\sqrt{R(L+2R)}} 
\end{eqnarray*}
(Tips 1: Forlengelsen av snora m{\aa} passere gjennom ballens tyngdepunkt B. Hvorfor? \\
Tips 2: Vurder om uttrykkene for $S$ og $N$ er rimelige hvis snora er veldig lang, $L \gg R$.)
\end{minipage}
\hfill
\begin{minipage}{0.35\textwidth}
%%FIGURE
\vspace{0.2cm}
\centerline{\epsfxsize=2.5in \epsfbox{ballmotvegg.eps}}
\vspace{0.2cm}
%%END FIGURE
\end{minipage}

\vspace{5mm}
$b)$ Hvor stor m{\aa} den statiske friksjonskoeffisienten $\mu$ (minst) v{\ae}re for at ballen 
skal kunne henge med snorfestet p{\aa} toppen, som vist i figuren til h{\o}yre? \\

A) $\mu \ge \tan\alpha$ \hspace{3mm} 
B) $\mu \ge 1$ \hspace{3mm} 
C) $\mu \ge R/L$ \hspace{3mm} 
D) $\mu \ge 0.5$ 

%\newpage
\vspace{15mm}


{\bf Oppgave 3: Sluresnelle} \\

\vspace{8mm}
\begin{minipage}{0.52\textwidth}
%%FIGURE
\vspace{0.2cm}
\centerline{\epsfxsize=2.5in \epsfbox{sluresnelle.eps}}
\vspace{0.2cm}
%%END FIGURE
\end{minipage}
\hfill
\begin{minipage}{0.46\textwidth}
Ei snelle -- to hjul med radius $R$ forbundet med en aksling med radius $r$ -- ligger p{\aa} et 
skr{\aa}plan med helningsvinkel $\theta$. Ei snor er vikla om akslingen, og strukket parallellt med 
skr{\aa}planet til et festepunkt $P$ p{\aa} oversiden av det lille hjulet. 
Snellas treghetsmoment om akslingen er $I$, massen er $M$, statisk friksjonskoeffisient mot
skr{\aa}planet er $\mu_s$, og kinetisk friksjonskoeffisient er $\mu_k$, der $\mu_k < \mu_s$.
\end{minipage}

\vspace{6mm}
$a)$ Hva er maksimal helningsvinkel $\theta_0$ uten at snella glir (slurer) nedover skr{\aa}planet? \\

A) $\theta_0 = \arctan\, \left[\mu_s \left(1+R/r\right)\right]$ \hspace{5mm}
B) $\theta_0 = \arccos\, \left[\mu_s \left(1+R/r\right)\right]$ \\

C) $\theta_0 = \arctan\, \left[\mu_s \left(1+r/R\right)\right]$ \hspace{5mm}
D) $\theta_0 = \arccos\, \left[\mu_s \left(1+r/R\right)\right]$ \\


\vspace{6mm}
$b)$  Hva er snordraget $S$ n{\aa}r  $\theta = \theta_0$? \\

A) $S = Mg \mu_s (r/R) \cos \theta_0$ \hspace{5mm}
B) $S = Mg \mu_s (r/R) \sin \theta_0$ \\

C) $S = Mg \mu_s (R/r) \cos \theta_0$ \hspace{5mm}
D) $S = Mg \mu_s (R/r) \sin\theta_0$ \\


%\newpage
\vspace{14mm}

{\bf Oppgave 4: Element{\ae}r snooker} \\

Snooker er en krevende sport, og fordrer at spilleren har et godt praktisk grep p{\aa} kulers 
tyngdepunktsbevegelse og rotasjon, friksjonskreftenes rolle, samt resultatet av elastiske 
st{\o}t mellom kuler. Her skal vi ta for oss en ''enkel'' problemstilling som likevel er en god 
illustrasjon av den relativt subtile mekanikk som kommer til anvendelse p{\aa} snookerbordet. \\

\begin{minipage}{0.45\textwidth}
%%FIGURE
\vspace{0.2cm}
\centerline{\epsfxsize=2.7in \epsfbox{snooker.eps}}
\vspace{0.2cm}
%%END FIGURE
\end{minipage}
\hfill
\begin{minipage}{0.50\textwidth}
Situasjonen vi skal se p{\aa} er som f{\o}lger: Snookerkula med masse $M$ og radius $R$ f{\aa}r et 
kraftig, men kortvarig st{\o}t av en horisontal k{\o}. Vi legger et koordinatsystem $xyz$ 
med origo p{\aa} bordflata og $xy$-planet lik vertikalplanet gjennom kulas massesenter.

K{\o}en er rettet i $x$-retning og treffer kula (som ligger i ro) i $xy$-planet med en kraft $F$ 
i $x$-retning. Treffpunktet er i h{\o}yden $h$ over massesenteret (eller under, hvis $h<0$), se figuren.
Kinetisk friksjonskoeffisient mellom snookerkula og bordflata er $\mu_k$.

St{\o}tet er s{\aa} kraftig og er over p{\aa} s{\aa} kort tid at vi under selve st{\o}tet kan 
neglisjere innvirkningen av friksjonskraften fra snookerbordet. {\it Etter} st{\o}tet derimot, 
vil friksjonskraften $f$ spille en viktig rolle for kulas fortsatte bevegelse. Vi antar for
enkelhets skyld at kraften $F$ er konstant i st{\o}tets korte varighet $\Delta t$.
\end{minipage}

\vspace{3mm}

$a)$ Det kortvarige st{\o}tet gir kula en impuls $\Delta p = F\,\Delta t$, som resulterer i at massesenteret 
f{\aa}r starthastigheten $V_0$. Det kortvarige st{\o}tet gir ogs{\aa} kula en dreieimpuls
$\Delta L = \tau\,\Delta t$, som resulterer i at kula starter opp med vinkelhastigheten $\omega_0$. 
Hva blir sammenhengen mellom $V_0$ og $\omega_0$? \\

$${\rm A)} \;\; V_0 = \frac{2h^2}{5R}\cdot \omega_0$$
$${\rm B)} \;\; V_0 = \frac{5h^2}{2R}\cdot \omega_0$$
$${\rm C)} \;\; V_0 = \frac{5R^2}{2h}\cdot \omega_0$$
$${\rm D)} \;\; V_0 = \frac{2R^2}{5h}\cdot \omega_0$$

\vspace{4mm}
$b)$ Hva er betingelsen for at vi allerede fra f{\o}rste {\o}yeblikk f{\aa}r ren rulling?
Dvs, i hvilken h{\o}yde $h_0$ m{\aa} k{\o}en treffe snookerkula? \\

A) $h_0 = R/5$ \hspace{4mm}
B) $h_0 = 2R/5$ \hspace{4mm}
C) $h_0 = 3R/5$ \hspace{4mm}
D) $h_0 = 4R/5$ \\

\vspace{4mm}
$c)$ For andre verdier enn $h_0$ av treffh{\o}yden $h$ (ogs{\aa} kalt
''st{\o}tparameteren'') vil snookerkula i begynnelsen gli p{\aa} bordet 
samtidig som den roterer. Hvilken absoluttverdi og retning vil friksjonskraften $f$, 
fra bordet p{\aa} kula, ha i denne fasen, dersom $h > h_0$? \\

A) $f = \mu_k Mg$ mot venstre. \hspace{5mm}
B) $f = \mu_k Mg$ mot h{\o}yre. \\
 
C) $f = 2\mu_k Mg/5$ mot venstre. \hspace{5mm}
D) $f = 2\mu_k Mg/5$ mot h{\o}yre. \\


\vspace{1.2cm}
{\bf Oppgave 5: Kollisjon mellom tynn stav og lita kule} \\

\begin{minipage}{0.30\textwidth}
%%FIGURE
\vspace{0.2cm}
\centerline{\epsfxsize=1.8in \epsfbox{stavogkule.eps}}
\vspace{0.2cm}
%%END FIGURE
\end{minipage}
\hfill
\begin{minipage}{0.65\textwidth}
En tynn stav med lengde $D$ og masse $M$ kan rotere friksjonsfritt om sin ene ende (A).
Ei kule med masse $m$ og hastighet $\bold{v}$ kolliderer fullstendig uelastisk med staven
i avstand $d$ fra A. Kula kan her regnes som en punktmasse. \\

\vspace{0.2cm}
$a)$ Hva er treghetsmomentet $I$ til systemet stav + kule etter sammenst{\o}tet,
mhp aksen gjennom A (normalt planet)? \\

A) $md^2 + MD^2/3$ \hspace{3mm}
B) $(m + M)D^2/3$ \\
C) $md^2 + MD^2/12$ \hspace{3mm}
D) $(m + M)D^2/12$ \\
\end{minipage}

\vspace{0.4cm}
$b)$ Hva er systemets impuls $\bold{p}_i$ f{\o}r sammenst{\o}tet? \\

A) $0$ \hspace{3mm}
B) $mv \hat{x}$ \hspace{3mm}
C) $(m+M)v \hat{x}$ \hspace{3mm}
D) $(m+M)v(d/D) \hat{x}$ \\

\vspace{0.4cm}
$c)$ Hva er systemets dreieimpuls $\bold{L}_i$ mhp A f{\o}r sammenst{\o}tet? \\

A) $0$ \hspace{3mm}
B) $mvd \hat{z}$ \hspace{3mm}
C) $(m+M)vd \hat{z}$ \hspace{3mm}
D) $(m+M)v(d+D) \hat{z}$ \\

\vspace{0.4cm}
$d)$ Hva er systemets dreieimpuls $\bold{L}_f$ mhp A umiddelbart etter
sammenst{\o}tet? \\

A) $0$ \hspace{3mm}
B) $mvd \hat{z}$ \hspace{3mm}
C) $(m+M)vd \hat{z}$ \hspace{3mm}
D) $(m+M)v(d+D) \hat{z}$ \\

\vspace{0.4cm}
$e)$ Hva er systemets vinkelhastighet $\bold{\omega}$ umiddelbart etter
sammenst{\o}tet? \\

A) $\hat{x}\,mvd/(md^2+MD^2/12)$ \hspace{3mm}
B) $\hat{x}\,mvd/(md^2+MD^2/3)$ \\
C) $\hat{z}\,mvd/(md^2+MD^2/12)$ \hspace{3mm}
D) $\hat{z}\,mvd/(md^2+MD^2/3)$ \\


\vspace{1.4cm}

{\bf Oppgave 6: Mer om $I$ og $L$} \\

\begin{minipage}{0.25\textwidth}
%%FIGURE
\vspace{0.2cm}
\centerline{\epsfxsize=1.5in \epsfbox{steiners.eps}}
\vspace{0.2cm}
%%END FIGURE
\end{minipage}
\hfill
\begin{minipage}{0.70\textwidth}
$a)$ For legemet i figuren er $R_1=R_2$, og CM angir tyngdepunktet.
Treghetsmomentene om parallelle akser gjennom CM, $P_1$ og $P_2$ er
hhv $I_0$, $I_1$ og $I_2$. (Punktene CM, $P_1$ og $P_2$ ligger alle
i papirplanet, og de tre aksene st{\aa}r normalt p{\aa} papirplanet.) Da er \\

A) $I_0 = I_1 = I_2$.

B) $I_0 > I_1 = I_2$.

C) $I_0 < I_1 = I_2$.

D) $I_0 < I_1 < I_2$.
\end{minipage}

\vspace{0.4cm}

\begin{minipage}{0.30\textwidth}
%%FIGURE
\vspace{0.2cm}
\centerline{\epsfxsize=1.3in \epsfbox{southern_norway.eps}}
\vspace{0.2cm}
%%END FIGURE
{\tiny http://www.kaosdesign.no/photogallery.htm}
\end{minipage}
\hfill
\begin{minipage}{0.67\textwidth}
$b)$ Du kj{\o}rer en liten personbil rett {\o}stover fra Trondheim og
holder omtrent fartsgrensen p{\aa} 90 km/h. Hva er da bilens dreieimpuls relativt
Oslo sentrum, s{\aa}nn omtrent, angitt i SI-enheter? \\

A) Eksakt null.

B) $10^5$.

C) $10^{10}$.

D) $10^{20}$.
\end{minipage}

\vspace{0.7cm}

\begin{minipage}{0.25\textwidth}
%%FIGURE
\vspace{0.2cm}
\centerline{\epsfxsize=1.7in \epsfbox{slipestein.eps}}
\vspace{0.2cm}
%%END FIGURE
\end{minipage}
\hfill
\begin{minipage}{0.70\textwidth}
$c)$ Ei tynn, massel{\o}s snor er trukket rundt en slipestein med radius 0.25 m.
Steinen kan rotere friksjonsfritt om symmetriaksen. En konstant kraft p{\aa} 20 N i snora
f{\aa}r steinen til {\aa} {\o}ke vinkelhastigheten fra null til 60 rad/s p{\aa} 12 sekunder.
Da er slipesteinens treghetsmomentet, i enheten kg m$^2$, \\

A) 1.00.

B) 3.00.

C) 5.00.

D) 7.00.
\end{minipage}

\newpage
%\vspace{8mm}
{\bf Oppgave 7: Svingninger} \\

En kloss med masse $m$ er festet til ei (massel{\o}s) fj{\ae}r med fj{\ae}rkonstant $k$. 
Fj{\ae}ra er festet til en vegg i sin venstre ende. Klossen kan gli uten friksjon p{\aa} et horisontalt 
underlag. Bevegelsen blir startet (ved $t=0$) ved {\aa} dra klossen fra likevektsposisjonen $x=0$ 
mot h{\o}yre til posisjon $x_0$ og gi den en hastighet $v_0$ mot h{\o}yre. Klossen utf{\o}rer deretter
harmoniske svingninger beskrevet ved $x(t) = A \cos (\omega_0 t + \phi)$ der $\omega_0 = 2\pi/T$ er
vinkelfrekvensen, $T$ er perioden og $\phi$ er en fasekonstant. \\

\vspace{3mm}
$a)$ Hva er perioden $T$ for denne harmoniske svingningen? \\

A) $2\pi\sqrt{k/m}$ \hspace{3mm}
B) $\sqrt{k/m}$ \hspace{3mm}
C) $2\pi\sqrt{m/k}$ \hspace{3mm}
D) $\sqrt{m/k}$ \\

\vspace{3mm}
$b)$ Hva er amplituden $A$ for denne harmoniske svingningen? \\

A) $\sqrt{x_0^2 + (v_0/\omega_0)^2}$ \hspace{3mm}
B) $x_0/\cos(\arctan(v_0/x_0\omega_0))$ \\
C) B{\aa}de A og B er riktige svar \hspace{3mm}
D) Verken A eller B er riktige svar \\

\vspace{3mm}
$c)$ Hva er fasekonstanten $\phi$ for denne harmoniske svingningen? \\

A) $-\arctan(v_0/x_0\omega_0)$ \hspace{3mm}
B) $\arccos(1/\sqrt{1+mv_0^2/kx_0^2})$ \\
C) B{\aa}de A og B er riktige svar \hspace{3mm}
D) Verken A eller B er riktige svar \\

\vspace{3mm}
$d)$ Hva er systemets totale mekaniske energi $E$? \\

A) $kx_0^2/2$ \hspace{3mm}
B) $mv_0^2/2$ \hspace{3mm}
C) $kx_0^2/2 + mv_0^2/2$ \hspace{3mm}
D) $0$ \\

\vspace{3mm}
$e)$ Vi kunne alternativt ha skrevet l{\o}sningen p{\aa} formen 
$x(t) = B \cos \omega_0 t + C \sin \omega_0 t$.
Hva blir da de to koeffisientene $B$ og $C$?\\

A) $B=v_0/\omega_0$ og $C=x_0$ \hspace{3mm}
B) $B=x_0$ og $C=v_0/\omega_0$ \hspace{3mm}
C) $B=C=x_0$ \hspace{3mm}
D) $B=C=v_0/\omega_0$ \\

\vspace{3mm}
$f)$ Hva blir svingebevegelsens maksimale utsving og maksimale hastighet dersom
$m = 100$ g, $k = 10$ N/m, $x_0 = 1.0$ cm og $v_0 = 10$ cm/s. \\

A) 1.4 cm og 14 cm/s \hspace{3mm}
B) 1.4 m og 14 m/s \\
C) 14 m og 1.4 m/s \hspace{3mm}
D) 14 cm og 1.4 cm/s \\

\vspace{3mm}
$g)$ Svingesystemet dreies 90 grader slik at massen $m$ henger vertikalt i tyngdefeltet.
Med hvilken vinkelfrekvens $\omega$ vil massen n{\aa} svinge opp og ned? \\

A) $\omega = \omega_0$ \hspace{3mm}
B) $\omega = 2\omega_0$ \hspace{3mm}
C) $\omega = 3\omega_0$ \hspace{3mm}
D) $\omega = 4\omega_0$ \\

%\newpage
\vspace{3mm}
$h)$ Figuren viser utsvinget
$$x(t) = x_0 e^{-t/\tau} \, \cos \omega t,$$
eller rettere sagt $x(t)/x_0$, for en dempet harmonisk svingning. Omtrent hvor stort
er produktet $\omega \tau$ mellom vinkelfrekvensen og den ''karakteristiske tiden''
for dempingsforl{\o}pet?

\vspace{0.2cm}
\noindent
\parbox{8cm}{
\begin{tabular}{cl}
A) & 0.022 \\
B) & 1.7 \\
C) & 14 \\
D) & 45
\end{tabular}
}
\parbox{8cm}{
%%FIGURE
\centerline{\epsfxsize=2.5in \epsfbox{mid1_fig5.eps}}
%%END FIGURE
}


\end{document}