\documentclass[11pt]{article}
\usepackage{epsfig}
\usepackage[norsk]{babel}
\topmargin=-1.5cm
\oddsidemargin=-1.0cm
\evensidemargin=-1.0cm
\textheight=25cm
\textwidth=18cm
\setlength{\parindent}{0cm}

\begin{document}
\newcommand{\bold}[1]{\mbox{\boldmath $#1$}}

\begin{center}
\begin{bf}
TFY4125 Fysikk. Institutt for fysikk, NTNU.

{\O}ving 7.

\end{bf}
\end{center}

\vspace{1.2cm}
{\bf Oppgave 1: Kollisjon mellom tynn stav og lita kule} \\

\begin{minipage}{0.30\textwidth}
%%FIGURE
\vspace{0.2cm}
\centerline{\epsfxsize=1.8in \epsfbox{stavogkule.eps}}
\vspace{0.2cm}
%%END FIGURE
\end{minipage}
\hfill
\begin{minipage}{0.65\textwidth}
En tynn stav med lengde $D$ og masse $M$ kan rotere friksjonsfritt om sin ene ende (A).
Ei kule med masse $m$ og hastighet $\bold{v}$ kolliderer fullstendig uelastisk med staven
i avstand $d$ fra A. Kula kan her regnes som en punktmasse. \\

\vspace{0.2cm}
$a)$ Hva er treghetsmomentet $I$ til systemet stav + kule etter sammenst{\o}tet,
mhp aksen gjennom A (normalt planet)? \\

A) $md^2 + MD^2/3$ \hspace{3mm}
B) $(m + M)D^2/3$ \\
C) $md^2 + MD^2/12$ \hspace{3mm}
D) $(m + M)D^2/12$ \\
\end{minipage}

\vspace{0.4cm}
$b)$ Hva er systemets impuls $\bold{p}_i$ f{\o}r sammenst{\o}tet? \\

A) $0$ \hspace{3mm}
B) $mv \hat{x}$ \hspace{3mm}
C) $(m+M)v \hat{x}$ \hspace{3mm}
D) $(m+M)v(d/D) \hat{x}$ \\

\vspace{0.4cm}
$c)$ Hva er systemets dreieimpuls $\bold{L}_i$ mhp A f{\o}r sammenst{\o}tet? \\

A) $0$ \hspace{3mm}
B) $mvd \hat{z}$ \hspace{3mm}
C) $(m+M)vd \hat{z}$ \hspace{3mm}
D) $(m+M)v(d+D) \hat{z}$ \\

\vspace{0.4cm}
$d)$ Hva er systemets dreieimpuls $\bold{L}_f$ mhp A umiddelbart etter
sammenst{\o}tet? \\

A) $0$ \hspace{3mm}
B) $mvd \hat{z}$ \hspace{3mm}
C) $(m+M)vd \hat{z}$ \hspace{3mm}
D) $(m+M)v(d+D) \hat{z}$ \\

\vspace{0.4cm}
$e)$ Hva er systemets vinkelhastighet $\bold{\omega}$ umiddelbart etter
sammenst{\o}tet? \\

A) $\hat{x}\,mvd/(md^2+MD^2/12)$ \hspace{3mm}
B) $\hat{x}\,mvd/(md^2+MD^2/3)$ \\
C) $\hat{z}\,mvd/(md^2+MD^2/12)$ \hspace{3mm}
D) $\hat{z}\,mvd/(md^2+MD^2/3)$ \\

\newpage
\vspace{0.4cm}
$f)$ Hva er systemets impuls $\bold{p}_f$ umiddelbart etter sammenst{\o}tet? \\

A) $\bold{p}_i \cdot(1+MD/2md)/(1+MD^2/3md^2)$ \hspace{3mm}
B) $\bold{p}_i \cdot(1-MD/2md)/(1-MD^2/3md^2)$ \\
C) $\bold{p}_i \cdot(1+MD/md)/(1+MD^2/7md^2)$ \hspace{3mm}
D) $\bold{p}_i$ \\

\vspace{0.4cm}
$g)$ For hvilken verdi av $d$ er $p_f = p_i$? \\

A) Alltid \hspace{3mm}
B) $D/3$ \hspace{3mm}
C) $2D/3$ \hspace{3mm}
D) $D$ \\

\vspace{0.4cm}
$h)$ Hva er $|\Delta K/K_i| = |(K_f - K_i)/K_i|$, dvs relativ endring 
i systemets kinetiske energi i sammenst{\o}tet? \\

A) $1/(1+3md^2/MD^2)$ \hspace{3mm}
B) $1/(1-3md^2/MD^2)$ \hspace{3mm}
C) $1+3md^2/MD^2$ \hspace{3mm}
D) $1-3md^2/MD^2$ \\

\vspace{1.4cm}

{\bf Oppgave 2: Mer om $I$ og $L$} \\

\begin{minipage}{0.25\textwidth}
%%FIGURE
\vspace{0.2cm}
\centerline{\epsfxsize=1.5in \epsfbox{steiners.eps}}
\vspace{0.2cm}
%%END FIGURE
\end{minipage}
\hfill
\begin{minipage}{0.70\textwidth}
$a)$ For legemet i figuren er $R_1=R_2$, og CM angir tyngdepunktet.
Treghetsmomentene om parallelle akser gjennom CM, $P_1$ og $P_2$ er
hhv $I_0$, $I_1$ og $I_2$. (Punktene CM, $P_1$ og $P_2$ ligger alle
i papirplanet, og de tre aksene st{\aa}r normalt p{\aa} papirplanet.) Da er \\

A) $I_0 = I_1 = I_2$.

B) $I_0 > I_1 = I_2$.

C) $I_0 < I_1 = I_2$.

D) $I_0 < I_1 < I_2$.
\end{minipage}

\vspace{0.4cm}

\begin{minipage}{0.30\textwidth}
%%FIGURE
\vspace{0.2cm}
\centerline{\epsfxsize=1.3in \epsfbox{southern_norway.eps}}
\vspace{0.2cm}
%%END FIGURE
{\tiny http://www.kaosdesign.no/photogallery.htm}
\end{minipage}
\hfill
\begin{minipage}{0.67\textwidth}
$b)$ Du kj{\o}rer en liten personbil rett {\o}stover fra Trondheim og
holder omtrent fartsgrensen p{\aa} 90 km/h. Hva er da bilens dreieimpuls relativt
Oslo sentrum, s{\aa}nn omtrent, angitt i SI-enheter? \\

A) Eksakt null.

B) $10^5$.

C) $10^{10}$.

D) $10^{20}$.
\end{minipage}

\vspace{0.7cm}

\begin{minipage}{0.25\textwidth}
%%FIGURE
\vspace{0.2cm}
\centerline{\epsfxsize=1.7in \epsfbox{slipestein.eps}}
\vspace{0.2cm}
%%END FIGURE
\end{minipage}
\hfill
\begin{minipage}{0.70\textwidth}
$c)$ Ei tynn, massel{\o}s snor er trukket rundt en slipestein med radius 0.25 m.
Steinen kan rotere friksjonsfritt om symmetriaksen. En konstant kraft p{\aa} 20 N i snora
f{\aa}r steinen til {\aa} {\o}ke vinkelhastigheten fra null til 60 rad/s p{\aa} 12 sekunder.
Da er slipesteinens treghetsmomentet, i enheten kg m$^2$, \\

A) 1.00.

B) 3.00.

C) 5.00.

D) 7.00.
\end{minipage}

\newpage

\vspace{3mm}
{\bf Oppgave 3: Svingninger} \\

En kloss med masse $m$ er festet til ei (massel{\o}s) fj{\ae}r med fj{\ae}rkonstant $k$. 
Fj{\ae}ra er festet til en vegg i sin venstre ende. Klossen kan gli uten friksjon p{\aa} et horisontalt 
underlag. Bevegelsen blir startet (ved $t=0$) ved {\aa} dra klossen fra likevektsposisjonen $x=0$ 
mot h{\o}yre til posisjon $x_0$ og gi den en hastighet $v_0$ mot h{\o}yre. Klossen utf{\o}rer deretter
harmoniske svingninger beskrevet ved $x(t) = A \cos (\omega_0 t + \phi)$ der $\omega_0 = 2\pi/T$ er
vinkelfrekvensen, $T$ er perioden og $\phi$ er en fasekonstant. \\

\vspace{3mm}
$a)$ Hva er perioden $T$ for denne harmoniske svingningen? \\

A) $2\pi\sqrt{k/m}$ \hspace{3mm}
B) $\sqrt{k/m}$ \hspace{3mm}
C) $2\pi\sqrt{m/k}$ \hspace{3mm}
D) $\sqrt{m/k}$ \\

\vspace{3mm}
$b)$ Hva er amplituden $A$ for denne harmoniske svingningen? \\

A) $\sqrt{x_0^2 + (v_0/\omega_0)^2}$ \hspace{3mm}
B) $x_0/\cos(\arctan(v_0/x_0\omega_0))$ \\
C) B{\aa}de A og B er riktige svar \hspace{3mm}
D) Verken A eller B er riktige svar \\

\vspace{3mm}
$c)$ Hva er fasekonstanten $\phi$ for denne harmoniske svingningen? \\

A) $-\arctan(v_0/x_0\omega_0)$ \hspace{3mm}
B) $\arccos(1/\sqrt{1+mv_0^2/kx_0^2})$ \\
C) B{\aa}de A og B er riktige svar \hspace{3mm}
D) Verken A eller B er riktige svar \\

\vspace{3mm}
$d)$ Hva er systemets totale mekaniske energi $E$? \\

A) $kx_0^2/2$ \hspace{3mm}
B) $mv_0^2/2$ \hspace{3mm}
C) $kx_0^2/2 + mv_0^2/2$ \hspace{3mm}
D) $0$ \\

\vspace{3mm}
$e)$ Vi kunne alternativt ha skrevet l{\o}sningen p{\aa} formen 
$x(t) = B \cos \omega_0 t + C \sin \omega_0 t$.
Hva blir da de to koeffisientene $B$ og $C$?\\

A) $B=v_0/\omega_0$ og $C=x_0$ \hspace{3mm}
B) $B=x_0$ og $C=v_0/\omega_0$ \hspace{3mm}
C) $B=C=x_0$ \hspace{3mm}
D) $B=C=v_0/\omega_0$ \\

\vspace{3mm}
$f)$ Hva blir svingebevegelsens maksimale utsving og maksimale hastighet dersom
$m = 100$ g, $k = 10$ N/m, $x_0 = 1.0$ cm og $v_0 = 10$ cm/s. \\

A) 1.4 cm og 14 cm/s \hspace{3mm}
B) 1.4 m og 14 m/s \\
C) 14 m og 1.4 m/s \hspace{3mm}
D) 14 cm og 1.4 cm/s \\

\vspace{3mm}
$g)$ Svingesystemet dreies 90 grader slik at massen $m$ henger vertikalt i tyngdefeltet.
Med hvilken vinkelfrekvens $\omega$ vil massen n{\aa} svinge opp og ned? \\

A) $\omega = \omega_0$ \hspace{3mm}
B) $\omega = 2\omega_0$ \hspace{3mm}
C) $\omega = 3\omega_0$ \hspace{3mm}
D) $\omega = 4\omega_0$ \\

\newpage

\vspace{3mm}
$h)$ Figuren viser utsvinget
$$x(t) = x_0 e^{-t/\tau} \, \cos \omega t,$$
eller rettere sagt $x(t)/x_0$, for en dempet harmonisk svingning. Omtrent hvor stort
er produktet $\omega \tau$ mellom vinkelfrekvensen og den ''karakteristiske tiden''
for dempingsforl{\o}pet?

\vspace{0.2cm}
\noindent
\parbox{8cm}{
\begin{tabular}{cl}
A) & 0.022 \\
B) & 1.7 \\
C) & 14 \\
D) & 45
\end{tabular}
}
\parbox{8cm}{
%%FIGURE
\centerline{\epsfxsize=2.5in \epsfbox{mid1_fig5.eps}}
%%END FIGURE
}

\vspace{5mm}
Et enkelt masse-fj{\ae}r-svingesystem med masse $m$ og fj{\ae}rstivhet $k$ har som kjent 
vinkelfrekvens $\omega = \sqrt{k/m}$.  Sett opp ''N2'' for de tre svingesystemene vist 
i figuren nedenfor og finn vinkelfrekvensen for hvert av systemene uttrykt ved 
$\omega_1 = \sqrt{k_1/m}$ og $\omega_2=\sqrt{k_2/m}$. 
I alle tilfellene er fj{\ae}rene massel{\o}se, og det er ingen friksjon.

%%FIGURE
\vspace{1.0cm}
\centerline{\epsfxsize=7.0in \epsfbox{fjaerkobling.eps}}
\vspace{1.0cm}
%%END FIGURE

\vspace{3mm}
$i)$ $\omega_i = \dots$ \\
A) $\omega_1 + \omega_2$ \hspace{3mm}
B) $\omega_1 \omega_2/\sqrt{\omega_1^2 + \omega_2^2}$ \hspace{3mm}
C) $\sqrt{\omega_1^2 + \omega_2^2}$ \hspace{3mm}
D) $\sqrt{\omega_1\omega_2}$ \\

\vspace{3mm}
$j)$ $\omega_j = \dots$ \\
A) $\omega_1 + \omega_2$ \hspace{3mm}
B) $\omega_1 \omega_2/\sqrt{\omega_1^2 + \omega_2^2}$ \hspace{3mm}
C) $\sqrt{\omega_1^2 + \omega_2^2}$ \hspace{3mm}
D) $\sqrt{\omega_1\omega_2}$ \\

\vspace{3mm}
$k)$ $\omega_k = \dots$ \\
A) $\omega_1 + \omega_2$ \hspace{3mm}
B) $\omega_1 \omega_2/\sqrt{\omega_1^2 + \omega_2^2}$ \hspace{3mm}
C) $\sqrt{\omega_1^2 + \omega_2^2}$ \hspace{3mm}
D) $\sqrt{\omega_1\omega_2}$ \\


\end{document}