\documentclass[12pt]{article} \usepackage{epsfig} \topmargin=-0.5cm \oddsidemargin=-0.5cm \evensidemargin=-0.5cm \textheight=23cm \textwidth=17cm \begin{document} \newcommand{\bold}[1]{\mbox{\boldmath $#1$}} \begin{bf} \noindent Institutt for fysikk, NTNU \noindent TFY4155/FY1003: Elektromagnetisme \noindent V{\aa}r 2009 \end{bf} \begin{center} \begin{large} {\O}ving 1 \end{large} \end{center} \noindent Veiledning: Mandag 19. januar \noindent Innleveringsfrist: Fredag 23. januar kl 12.00 \vspace{1.0cm} \noindent {\em Oppgave 1} \vspace{0.3cm} \noindent $a)$ Komponentene av en vektor $\bold{A}$ er $A_x = -7.1$ og $A_y = -1.3$. Lengden $A = |\bold{A}|$ av denne vektoren er da \noindent A) 6.0 \hspace{0.8cm} B) 7.2 \hspace{0.8cm} C) 8.4 \hspace{0.8cm} D) 9.6 \vspace{0.3cm} \noindent $b)$ Vinkelen mellom $x$-aksen og vektoren $\bold{A} = - 3.7 \, \hat{x} - 2.3 \, \hat{y}$ er (m{\aa}lt i grader mot urviseren; en hatt over $x$ og $y$ symboliserer enhetsvektor i den aktuelle retningen) \noindent A) 38 \hspace{0.8cm} B) 148 \hspace{0.8cm} C) 212 \hspace{0.8cm} D) 238 \vspace{0.3cm} \noindent $c)$ Komponentene av to vektorer $\bold{A}$ og $\bold{B}$ er henholdsvis $A_x = 4.1$, $A_y = -7$ og $B_x = -6.6$, $B_y = -3.1$. Lengden av vektoren $\bold{B} - \bold{A}$ er da \noindent A) 11.4 \hspace{0.8cm} B) 14.6 \hspace{0.8cm} C) 19.5 \hspace{0.8cm} D) 23.3 \vspace{0.3cm} \noindent $d)$ Komponentene av to vektorer $\bold{A}$ og $\bold{B}$ er henholdsvis $A_x = 6.1$, $A_y = -5.8$ og $B_x = -9.8$, $B_y = 4.6$. Skalarproduktet ("Prikkproduktet") $\bold{A}\cdot\bold{B}$ er da \noindent A) 9.7 \hspace{0.8cm} B) 0 \hspace{0.8cm} C) -33.1 \hspace{0.8cm} D) -86.5 \vspace{0.3cm} \noindent $e)$ Integralet av funksjonen $x + x^2$ fra $x=0$ til $x=1$ er \noindent A) 2/3 \hspace{0.8cm} B) 3/4 \hspace{0.8cm} C) 4/5 \hspace{0.8cm} D) 5/6 \vspace{0.3cm} \noindent $f)$ Hvis $r = \sqrt{x^2+1}$ s{\aa} er $dr/dx$ lik \noindent A) $x$ \hspace{0.8cm} B) $r/x$ \hspace{0.8cm} C) $x/r$ \hspace{0.8cm} D) $r$ \vspace{0.3cm} \noindent $g)$ Hvis $\bold{A} = (1,0,0)$ og $\bold{B} = (0,1,0)$, er "kryssproduktet" $\bold{A}\times\bold{B}$ lik \noindent A) $(1,1,0)$ \hspace{0.8cm} B) $(0,0,1)$ \hspace{0.8cm} C) $(0,0,0)$ \hspace{0.8cm} D) $(1,1,1)$ \vspace{1cm} \noindent {\em Oppgave 2} \vspace{0.3cm} \noindent $a)$ En tynn kobbertr{\aa}d med sirkul{\ae}rt tverrsnitt har lengde 1.0 m. Tr{\aa}den har konstant masse pr lengdeenhet, $\mu = 0.20$ g/cm. Hva er tr{\aa}dens masse? Hva er tr{\aa}dens diameter? \noindent Oppgitt: Massetetthet for kobber: $\rho = 8.92$ g/cm$^3$. \vspace{0.3cm} \noindent $b)$ En annen kobbertr{\aa}d, ogs{\aa} denne 1.0 m lang, har variabelt tverrsnitt $$t(x) = t_0 \left( 1 - \left( \frac{x - L/2}{L}\right)^2 \right)$$ der $x=0$ og $x=L=1.0$ m representerer tr{\aa}dens to ender og $t_0 = 3.0$ mm$^2$. Hvor er tr{\aa}den tynnest, og hvor er den tykkest? Hva er tr{\aa}dens minimale og maksimale tykkelse? Regn ut tr{\aa}dens masse. \noindent Tips: En liten (infinitesimal) bit av tr{\aa}den med lengde $dx$, lokalisert mellom $x$ og $x+dx$, har masse $dm = \rho \cdot t(x) \cdot dx$. For {\aa} finne massen til hele tr{\aa}den m{\aa} vi {\em summere} slike sm{\aa} biter. Hvis hver bit er "uendelig liten", best{\aa}r tr{\aa}den av uendelig mange biter, og summen utf{\o}rer vi da ved {\aa} {\em integrere}. \vspace{0.3cm} \noindent $c)$ I naturlig forekommende kobber har vi atomer som best{\aa}r av 29 elektroner og en kjerne med 29 protoner og enten 34 eller 36 n{\o}ytroner. Vi har med andre ord to ulike {\em isotoper} av kobber, og naturlig kobber inneholder 69.17 $\%$ av den lette isotopen og 30.83 $\%$ av den tunge isotopen. Hva blir da midlere masse pr kobberatom? Er det her n{\o}dvendig {\aa} ta hensyn til elektronene? \noindent Oppgitt: $m_p \simeq m_n \simeq 1.67 \cdot 10^{-27}$ kg, $m_e \simeq 9.11 \cdot 10^{-31}$ kg. \vspace{0.3cm} \noindent $d)$ Hvor mange kobberatomer er det i tr{\aa}den i punkt $a$? En mer passende antallsenhet i slike sammenhenger er {\em mol}, der 1 mol $\simeq 6.02 \cdot 10^{23}$ (Avogadros tall, etter Amedeo Avogadro, italiensk kjemiker, 1776 - 1856). Hvor mange mol kobberatomer er det i tr{\aa}den i punkt $a$? \vspace{0.3cm} \noindent $e)$ Et proton har elektrisk ladning $e$, et elektron har ladning $-e$, og et n{\o}ytron har null elektrisk ladning. Her er $e$ den s{\aa}kalte element{\ae}rladningen, $e \simeq 1.6 \cdot 10^{-19}$ C, hvor vi har innf{\o}rt SI-enheten for elektrisk ladning, nemlig C (coulomb), etter den franske fysiker Charles Augustin de Coulomb (1736 - 1806). Hvor stor ladning har alle protonene i tr{\aa}den i punkt $a$ tilsammen? Hva med alle elektronene? Hva er tr{\aa}dens {\em totale} ladning? \vspace{1cm} \noindent {\em Oppgave 3} \vspace{0.3cm} \noindent $a)$ Ei tynn sirkul{\ae}r skive har radius $R$ og uniform nettoladning $\sigma_0$ pr flateenhet. Hva blir skivas totale ladning? \vspace{0.3cm} \noindent $b)$ Ei anna sirkul{\ae}r skive har radius $R$ og netto ladning $$\sigma(r) = \sigma_0 \left( 1 - r/R \right)$$ pr flateenhet, dvs den avtar line{\ae}rt med avstanden $r$ fra skivas sentrum. Hva blir skivas totale ladning? \noindent Tips: En tynn ring med indre radius $r$ og ytre radius $r+dr$ har areal $dA = 2 \pi r \cdot dr$, og f{\o}lgelig ladning $dq = \sigma(r) \cdot dA = \sigma(r) \cdot 2 \pi r \cdot dr$. \vspace{1cm} \noindent {\em Oppgave 4} \vspace{0.3cm} \noindent Bestem gravitasjonskraften $F_g$ som virker mellom to oksygenmolekyler (O$_2$) i innbyrdes avstand 300 {\AA}. Er $F_g$ tiltrekkende eller frast{\o}tende? De to oksygenmolekylene tilf{\o}res ett ekstra elektron hver. Hvor stor blir den elektriske kraften $F_e$ mellom de to ionene (O$_2^-$)? Er $F_e$ tiltrekkende eller frast{\o}tende? Bestem forholdet mellom $F_e$ og $F_g$. Avhenger dette forholdet av avstanden mellom de to ionene? \vspace{0.2cm} \noindent Oppgitt: Molekyl{\ae}rt oksygen har masse 32 g/mol, 1 mol = $6.02\cdot10^{23}$, gravitasjonskonstanten er $G = 6.67 \cdot 10^{-11}$ m$^3$/kg$\cdot$s$^2$, $e$ = element{\ae}rladningen = $1.6\cdot10^{-19}$ C, $1/4 \pi \varepsilon_0 \simeq 9 \cdot 10^9$ Nm$^2$/C$^2$ og 1 {\AA} = 1 {\aa}ngstr{\o}m = $10^{-10}$ m. \vspace{0.6cm} \noindent {\em Oppgave 5} \vspace{0.2cm} \noindent $a)$ Seks like store ladninger $q$ er plassert i hj{\o}rnene av en regul{\ae}r sekskant. Hvor stor blir kraften p{\aa} en "testladning" $Q$ i sentrum av sekskanten? \vspace{0.2cm} \noindent $b)$ En av de seks ladningene fjernes. Hva blir n{\aa} kraften p{\aa} $Q$? Tegn en figur og forklar hvordan du har tenkt. \vspace{0.2cm} \noindent $c)$ Erstatt "seks" med "sju" og gjenta oppgave $a$! \vfill %\vspace{1.5cm} \noindent Fasitsvar: \vspace{0.3cm} \noindent {\em Oppgave 1}: \noindent $a)$ B \hspace{1cm} $b)$ C \hspace{1cm} $c)$ A \hspace{1cm} $d)$ D \hspace{1cm} $e)$ D \hspace{1cm} $f)$ C \hspace{1cm} $g)$ B \hspace{1cm} \vspace{0.3cm} \noindent {\em Oppgave 2}: \noindent $a)$ 20 g, 1.7 mm \hspace{1cm} $b)$ 25 g \hspace{1cm} $c)$ $1.06 \cdot 10^{-25}$ kg \hspace{1cm} $d)$ $1.89 \cdot 10^{23}$ atomer, 0.31 mol \hspace{1cm} $e)$ $\pm 877$ kC \noindent {\em Oppgave 3}: \noindent $b)$ $\pi \sigma_0 R^2/3$ \vspace{0.2cm} \noindent {\em Oppgave 4}: $F_e/F_g \simeq 10^{33}$ \end{document}