\documentclass[12pt]{article}
\usepackage{epsfig}
\topmargin=-0.5cm
\oddsidemargin=-0.5cm
\evensidemargin=-0.5cm
\textheight=23cm
\textwidth=17cm
\begin{document}
\newcommand{\bold}[1]{\mbox{\boldmath $#1$}}
\begin{bf}
\noindent
Institutt for fysikk, NTNU

\noindent
TFY4155/FY1003: Elektrisitet og magnetisme

\noindent
V{\aa}r 2005

\end{bf}

\begin{center}
\begin{large}
{\O}ving 2
\end{large}
\end{center}

\noindent
Veiledning: Torsdag 20. og fredag 21. januar

\noindent
Innleveringsfrist: Mandag 24. januar


\vspace{1cm}
\noindent
{\em Oppgave 1 (fra tidligere midtsemesterpr{\o}ver)}

\vspace{0.5cm}
\noindent
$a)$ En ballong har et overskudd p{\aa} $5\cdot 10^{13}$ elektroner. Da er ballongens ladning

\vspace{0.2cm}
\noindent
A  80 $\mu$C \hspace{1cm}
B  -80 $\mu$C  \hspace{1cm}
C  -8 $\mu$C  \hspace{1cm}
D  $-3.2 \cdot 10^{-33}$ C

\vspace{0.7cm}
\noindent
$b)$ To punktladninger $q$ og $-q$ er plassert p{\aa} $x$-aksen, med $q$ i
$(x,y) = (a,0)$ og $-q$ i $(-a,0)$. Da blir kraften fra disse p{\aa} en
tredje punktladning $q$ i $(-a,-2a)$

\vspace{0.3cm}
\noindent
\parbox{8cm}{
\begin{tabular}{cl}
A & $\left[-\hat{x} + \left(2\sqrt{2}-1\right)\hat{y}\right]F_0/8\sqrt{2}$ \\
B & $\left[-\hat{x} - \left(2\sqrt{2}-1\right)\hat{y}\right]F_0/8\sqrt{2}$ \\
C & $\left[\hat{x} - \left(2\sqrt{2}-1\right)\hat{y}\right]F_0/8\sqrt{2}$ \\
D & $\left[\hat{x} + \left(2\sqrt{2}-1\right)\hat{y}\right]F_0/8\sqrt{2}$ \\
\end{tabular}

\vspace{0.2cm}
\noindent
der $F_0 = q^2/4\pi\varepsilon_0 a^2$.
}
\parbox{8cm}{
%%FIGURE
\centerline{\epsfxsize=2.5in \epsfbox{mid1_fig3.eps}}
%%END FIGURE
}

\vspace{0.7cm}
\noindent
$c)$ To positive og to negative punktladninger, alle fire like store i
absoluttverdi ($q$), skal plasseres i hvert sitt hj{\o}rne av et kvadrat.
P{\aa} hvilken m{\aa}te skal punktladningene plasseres for {\aa} oppn{\aa}
st{\o}rst mulig elektrisk feltstyrke midt p{\aa} h{\o}yre sidekant,
i punktet P?
                                                                                                                                                           
\vspace{0.2cm}
\noindent
\parbox{8cm}{
\begin{tabular}{cl}
A & 1 \\
B & 2 \\
C & 3 \\
D & 4
\end{tabular}
}
\parbox{8cm}{
%%FIGURE
\centerline{\epsfxsize=2.5in \epsfbox{mid3_fig10.eps}}
%%END FIGURE
}


\vspace{1.5cm}
\begin{small}
\noindent
P{\aa} en midtsemesterpr{\o}ve skal som regel slike oppgaver {\em kun} besvares
med en bokstav, dvs {\em uten} utregning eller begrunnelse. Ettersom dette er en 
regne{\o}ving, foresl{\aa}r jeg at du svarer {\em med} begrunnelse eller utregning
(dvs: som vanlig p{\aa} en regne{\o}ving!).
\end{small}


\newpage
\noindent
{\em Oppgave 2 }

\vspace{0.3cm}
\noindent
En tynn stav med lengde $L$ har en uniform ladning $\lambda$ pr lengdeenhet.

\vspace{0.3cm}
\noindent
$a)$ Hvor mye ladning $dq$ er det p{\aa} en liten lengde $dx$ av staven? Hva er
stavens totale ladning $Q$?

%%FIGURE
\vspace{0.5cm}
\centerline{\epsfxsize=3.5in \epsfbox{ov2_fig1.eps}}
\vspace{0.5cm}
%%END FIGURE

\vspace{0.5cm}
\noindent
$b)$ Vis at det elektriske feltet i et punkt $P$ i en avstand $R$ fra staven er gitt ved
$\bold{E}=E_x\hat{x}+E_y\hat{y}$, med
\begin{eqnarray}
E_x &=& \frac{\lambda}{4\pi\varepsilon_0 R} (\cos\theta_1 - \cos\theta_2) \nonumber \\
E_y &=& \frac{\lambda}{4\pi\varepsilon_0 R} (\sin\theta_1 - \sin\theta_2) \nonumber 
\end{eqnarray}
Her er $\theta_1$ og $\theta_2$ vinklene som dannes mellom linjene fra $P$ til
stavens endepunkter og normalen til staven gjennom $P$, som vist i figuren. (Fortegnet
til vinklene er som indikert i figuren, dvs $\theta_2$ er negativ).

\vspace{0.5cm}
\noindent
[Tips: Feltet $d\bold{E}$ fra en liten bit $dx$ av staven er
$d\bold{E} = (\lambda\,dx/4\pi\varepsilon_0 r^2) \hat{r}$, der $\bold{r}$ er
avstandsvektoren fra $dx$ til punktet $P$. Pr{\o}v deretter {\aa} ende opp med
$\theta$ som integrasjonsvariabel ved {\aa} finne sammenhengen mellom $x$ og $\theta$.]

\vspace{0.5cm}
\noindent
$c)$ Bestem feltet n{\aa}r $P$ er like langt fra stavens to ender.
Hva blir \bold{E} n{\aa}r $P$ er langt unna staven (dvs $R \gg L$).
NB: Her er vi ikke ute etter (det i og for seg korrekte) svaret $\bold{E}\simeq 0$ for 
$R \rightarrow \infty$, men derimot hvordan \bold{E} avhenger av $R$ ``til ledende orden'' 
for $R \gg L$. Er svaret som forventet?

\vspace{0.5cm}
\noindent
$d)$ Hva blir det elektriske feltet i avstand $R$ fra en uendelig lang uniformt ladet stav?
(Dvs: $L \rightarrow \infty$)


\newpage
\noindent
{\em Oppgave 3}

\vspace{0.3cm}
\noindent
Ei tynn, sirkelformet skive med radius $R_0$ har uniform flateladning (dvs: ladning
pr flateenhet) $\sigma$.

%%FIGURE
\vspace{0.5cm}
\centerline{\epsfxsize=2.3in \epsfbox{ov2_fig2.eps}}
\vspace{0.5cm}
%%END FIGURE

\vspace{0.5cm}
\noindent
$a)$ Hvor mye ladning $dq$ er det p{\aa} en tynn ring av skiva, med radius $R$
og bredde $dR$? Hva er skivas totale ladning $Q$?

\vspace{0.5cm}
\noindent
$b)$ Finn den elektriske feltstyrken \bold{E} i et punkt $P$ p{\aa} symmetriaksen i
en avstand $a$ fra skiva. (Tips: Finn f{\o}rst feltet $d\bold{E}$ i $P$ fra en tynn
ring med radius $R$ og bredde $dR$, og integrer deretter fra $R=0$ til $R=R_0$.)

\vspace{0.5cm}
\noindent
$c)$ Hva blir \bold{E} (igjen: til ledende orden, jfr Oppg 2c) i de to tilfellene
$a \gg R_0$ og $a \ll R_0$, dvs henholdsvis langt unna
og n{\ae}rt inntil skiva? (Du drar kanskje kjensel p{\aa} svaret i tilfellet $a \gg R_0$?
Tenk dessuten litt p{\aa} hva det andre tilfellet, $a \ll R_0$, inneb{\ae}rer.)

\vspace{0.7cm}
\noindent
Oppgitt: $(1+\alpha)^{\pm 1/2} \simeq 1 \pm \alpha/2$ dersom $\alpha \ll 1$.

\noindent
(Dette er ikke noe mystisk, men rett og slett de to f{\o}rste leddene i Taylorutviklingen
av funksjonene $f(\alpha) = (1+\alpha)^{\pm 1/2}$ om punktet $\alpha=0$, se Matematikk 1.)

\vspace{1.5cm}
\noindent
Fasitsvar: 

\noindent
{\em Oppgave 3b}: $E = \frac{\sigma}{2\varepsilon_0}\left(1 - \frac{a}{\sqrt{a^2+R_0^2}}\right)$



\end{document}