\documentclass[12pt]{article} \usepackage{epsfig} \topmargin=-0.5cm \oddsidemargin=-0.5cm \evensidemargin=-0.5cm \textheight=23cm \textwidth=17cm \begin{document} \newcommand{\bold}[1]{\mbox{\boldmath $#1$}} \begin{bf} \noindent Institutt for fysikk, NTNU \noindent TFY4155/FY1003: Elektromagnetisme \noindent V{\aa}r 2009 \end{bf} \begin{center} \begin{large} {\O}ving 4 \end{large} \end{center} \noindent Veiledning: Mandag 9. februar og fredag 13. (evt 6.) februar \noindent Innleveringsfrist: Fredag 13. februar kl 12.00 \vspace{1.5cm} \noindent {\em Oppgave 1} %%FIGURE \vspace{0.5cm} \centerline{\epsfxsize=3.4in \epsfbox{ov4_fig1.eps}} \vspace{0.5cm} %%END FIGURE \vspace{1.3cm} \noindent I forrige {\o}ving betraktet vi en elektrisk dipol, best{\aa}ende av to punktladninger $\pm q$ lokalisert p{\aa} $z$-aksen i $z = \pm a/2$. Vi regnet ut det eksakte potensialet $V_e(x,z)$ og fant $$V_e(x,z) = \frac{q}{4\pi\varepsilon_0} \left( \frac{1}{\sqrt{x^2 + \left(z-a/2\right)^2}} - \frac{1}{\sqrt{x^2 + \left(z+a/2\right)^2}} \right)$$ Deretter viste vi at potensialet i stor avstand fra dipolen ($r \gg a$) blir tiln{\ae}rmet lik (indeks $a$ for ''approximately'') $$V_a(r,\theta) = \frac{qa\cos\theta}{4\pi\varepsilon_0 r^2}$$ Her er $r$ avstanden fra origo, dvs dipolens midtpunkt, og $\theta$ er vinkelen mellom $z$-aksen og $\bold{r}$. (Dipolmomentet er $p=qa$.) \newpage \vspace{0.3cm} \noindent $a)$ I denne f{\o}rste deloppgaven skal vi visualisere dipolpotensialet og sammenligne det tiln{\ae}rmede uttrykket $V_a$ med det eksakte uttrykket $V_e$. Dette kan vi gj{\o}re ved {\aa} skrive et program i Octave (eller MatLab) som regner ut differansen, eller kanskje like gjerne det prosentvise avviket $\Delta = 100 \cdot |(V_e - V_a)/V_e|$ mellom det eksakte og det tiln{\ae}rmede uttrykket gitt ovenfor, og som plotter $V_e(x,z)$, $V_a(x,z)$ og ''feilen'' $\Delta(x,z)$ i tre forskjellige figurer. \vspace{0.3cm} \noindent Noen tips og kommentarer: \begin{itemize} \item Konverter f{\o}rst $V_a(r,\theta)$ til $V_a(x,z)$. \item Vurder om du skal plotte potensialene i SI-enhet (V) som funksjon av $x$ og $z$ i en passende enhet, {\em eller} om du skal skrive om uttrykkene for $V_e$ og $V_a$ og plotte dimensjonsl{\o}se potensialer som funksjon av dimensjonsl{\o}se koordinater. \item Finn et fornuftig omr{\aa}de i $(x,z)$-planet for plottene dine. \item Det kan v{\ae}re lurt {\aa} begrense ogs{\aa} ''funksjonsaksen'' i plottene dine, da potensialet bl{\aa}ser opp i n{\ae}rheten av ladningene. \item Noen kommandoer og funksjoner som du kan f{\aa} bruk for: linspace, meshgrid, mesh, axis, caxis, figure, xlabel, ylabel, zlabel. Let opp dokumentasjon for hjelp til {\aa} bruke disse. (Google for eksempel gnu octave manual (for Octave) eller mathworks matlab manual (for MatLab).) \item Det viktigste poenget med denne oppgaven er {\aa} f{\aa} litt trening i {\aa} bruke programmering i tilknytning til det {\aa} jobbe med fysikk. Du vil f{\aa} flere anledninger senere. \end{itemize} %\newpage \vspace{1.0cm} \noindent $b)$ Tilbake til papir og blyant! Ta utgangspunkt i det tiln{\ae}rmede uttrykket $V_a(r,\theta)$ og bestem det elektriske feltet $\bold{E}(r,\theta) = E_r \hat{r} + E_\theta \hat{\theta}$ i stor avstand fra dipolen. \noindent Det oppgis at gradientoperatoren i kulekoordinater er $$\nabla = \hat{r}\frac{\partial}{\partial r} + \hat{\theta}\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial\theta} + \hat{\phi}\frac{1}{r\sin\theta}\frac{\partial}{\partial\phi}$$ \noindent [Fasit: $E_r=p\cos\theta/2\pi\varepsilon_0 r^3$, $E_\theta=p\sin\theta/4\pi\varepsilon_0 r^3$.] \noindent Kontroller om disse uttrykkene er fornuftige for $\theta = 0$ og for $\theta = \pi/2$. Hva med $r = 0$? \vspace{0.8cm} \noindent $c)$ P{\aa} grunn av rotasjonssymmetrien omkring $z$-aksen kan vi f.eks. anta at vi befinner oss i $xz$-planet. Bestem det elektriske feltet $\bold{E}(x,z) = E_x\hat{x}+E_z\hat{z}$ uttrykt i kartesiske koordinater for $r \gg a$. Tips: Ta utgangspunkt i uttrykkene for $E_r$ og $E_\theta$ i punkt $b)$. Tegn gjerne opp en figur og finn p{\aa} den m{\aa}ten sammenhengen mellom koordinatene $(x,z)$ og $(r,\theta)$, og feltkomponentene $E_x, E_z$ og $E_r, E_\theta$. \noindent [Fasit: $E_x=3pxz/4\pi\varepsilon_0 (x^2+z^2)^{5/2}$, $E_z=p(2z^2-x^2)/4\pi\varepsilon_0 (x^2+z^2)^{5/2}$.] \newpage \vspace{0.3cm} \noindent $d)$ En {\em ideell elektrisk dipol} tilsvarer (formelt) at vi lar avstanden $a$ mellom $q$ og $-q$ g{\aa} mot null, uten at dipolmomentet $p = qa$ forsvinner. Det inneb{\ae}rer at vi m{\aa} la $q \rightarrow \infty$ og $a \rightarrow 0$ samtidig, og p{\aa} en slik m{\aa}te at produktet $p = qa$ blir endelig (dvs verken null eller uendelig). I {\em praksis} tilsvarer dette at vi befinner oss i stor avstand $r$ fra dipolen, slik vi nettopp har gjort i denne oppgaven. \noindent Det elektriske feltet fra en slik ideell elektrisk dipol kan skrives p{\aa} s{\aa}kalt {\em koordinatfri form}: $$\bold{E}_{\rm dipol}(\bold{r}) = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0 r^3} \left[ 3 \left( \bold{p} \cdot \hat{r} \right) \hat{r} - \bold{p} \right]$$ Vis at dette uttrykket er i samsvar med $\bold{E}(r,\theta)$ og $\bold{E}(x,z)$ som du regnet ut i hhv $b)$ og $c)$. \vspace{2cm} \noindent {\em Oppgave 2 (fra tidligere midtsemesterpr{\o}ver)} \vspace{0.6cm} \noindent $a)$ Fire punktladninger, to positive og to negative ($q = 9 \; \mu$C), er plassert i hj{\o}rnene p{\aa} et kvadrat med sidekanter 5 cm, som vist i figuren. Hva er systemets potensielle energi? \vspace{0.3cm} \noindent \parbox{8cm}{ \begin{tabular}{cl} A & 19 J \\ B & Null \\ C & -7 J \\ D & -38 J \end{tabular} } \parbox{8cm}{ %%FIGURE \centerline{\epsfxsize=1.8in \epsfbox{mid3_fig5.eps}} %%END FIGURE } \vspace{1.2cm} \noindent $b)$ To punktladninger $Q_1 = 69$ nC og $Q_2 = -98$ nC er plassert i $xy$-planet, som vist i figuren. Et elektron flyttes fra punkt A til punkt B. Hvor stor endring gir denne forflytningen i systemets potensielle energi? ("Systemet" = de to punktladningene og elektronet.) (1 eV = $1.6 \cdot 10^{-19}$ J) \vspace{0.2cm} \noindent \parbox{8cm}{ \begin{tabular}{cl} A & -1 keV \\ B & -1 eV \\ C & 1 eV \\ D & 1 keV \end{tabular} } \parbox{8cm}{ %%FIGURE \centerline{\epsfxsize=2.2in \epsfbox{mid3_fig6.eps}} %%END FIGURE } \newpage \vspace{0.4cm} \noindent $c)$ Hvor stor er radien til en (kuleformet) ekvipotensialflate p{\aa} 50 V med en punktladning $10$ nC i sentrum? Null potensial velges uendelig langt unna. \begin{tabular}{cl} A & 1.3 m \\ B & 1.8 m \\ C & 3.2 m \\ D & 5.0 m \end{tabular} %%\newpage \vspace{1.2cm} \noindent $d)$ Hvis potensialet $V$ som funksjon av avstanden $r$ fra en ladningsfordeling er som vist i graf nr 1, hvilken graf viser da det elektriske feltet $E$ som funksjon av avstanden $r$? \vspace{0.3cm} \noindent \parbox{8cm}{ \begin{tabular}{cl} A & 2 \\ B & 3 \\ C & 4 \\ D & 5 \end{tabular} } \parbox{8cm}{ %%FIGURE \centerline{\epsfxsize=3.3in \epsfbox{mid1_fig7.eps}} %%END FIGURE } \vspace{1.2cm} \noindent $e)$ Potensialet i et omr{\aa}de er $$V(x,y,z) = (2 \;{\rm V/m}) x + (3 \;{\rm V/m}) y + (4 \;{\rm V/m}) z$$ Da er $x$-komponenten av det elektriske feltet i dette omr{\aa}det \vspace{0.2cm} \noindent \begin{tabular}{cl} A & --2 V/m \\ B & --3 V/m \\ C & --4 V/m \\ D & --9 V/m \end{tabular} \end{document}