\documentclass[12pt]{article}
\usepackage{epsfig}
\topmargin=-0.5cm
\oddsidemargin=-0.5cm
\evensidemargin=-0.5cm
\textheight=23cm
\textwidth=17cm
\begin{document}
\newcommand{\bold}[1]{\mbox{\boldmath $#1$}}
\begin{bf}
\noindent
Institutt for fysikk, NTNU

\noindent
TFY4155/FY1003: Elektromagnetisme

\noindent
V{\aa}r 2009

\end{bf}

\begin{center}
\begin{large}
{\O}ving 5
\end{large}
\end{center}

\noindent
Veiledning: Mandag 16. og fredag 20. (evt 13.) februar

\noindent
Innleveringsfrist: Fredag 20. februar kl 12.00


\vspace{1.0cm}
\noindent
{\em Oppgave 1}


%%FIGURE
\vspace{0.5cm}
\centerline{\epsfxsize=2.0in \epsfbox{ov5_fig1.eps}}
\vspace{0.5cm}
%%END FIGURE

\vspace{0.3cm}
\noindent
Figuren over viser en gaussflate (dvs lukket flate) $S$ formet som en kube med
sidekanter $a$. Flaten er plassert i et omr{\aa}de hvor det er en elektrisk
feltstyrke $\bold{E}$. I hvert av tilfellene $a)$ -- $d)$, bestem total (netto)
elektrisk fluks $\phi$ som passerer gjennom flaten $S$. Bruk Gauss' lov og
bestem i hvert tilfelle ogs{\aa} den totale ladningen $Q$ innenfor $S$.

\vspace{0.2cm}
\begin{eqnarray}
a)\;\;\bold{E} &=& C \hat{x} \nonumber \\
b)\;\;\bold{E} &=& C x^2 \hat{x} \nonumber \\
c)\;\;\bold{E} &=& C \left(y\hat{x} + x\hat{y}\right) \nonumber
\end{eqnarray}
Her er $C$ en (skalar) konstant (og da med varierende enhet).

\vspace{0.2cm}
\noindent
$d)$ For tilfellet $b)$ skal du bestemme ladningstettheten $\rho$ innenfor $S$.
Ta utgangspunkt i Gauss' lov idet du betrakter et
lite (infinitesimalt) volumelement $a^2\;dx$, dvs en tynn skive med tykkelse $dx$ og
endeflater med areal $a^2$, lokalisert mellom $x$ og $x+dx$. (Mer presist: Bruk Gauss' lov
p{\aa} flaten som omslutter dette volumelementet.)

\vspace{0.4cm}
\begin{footnotesize}
\noindent
Noen svar: $b)$: $Q = C \varepsilon_0 a^4$ \hspace{1cm} $d)$: $\rho = 2C \varepsilon_0 x$
\end{footnotesize}


\newpage
\noindent
{\em Oppgave 2}

\vspace{0.2cm}
\noindent
Bruk Gauss' lov til {\aa} bestemme det elektriske feltet i avstand $r$ fra en
uendelig lang (tynn) stav med ladning $\lambda$ pr lengdeenhet.

\noindent
Tips: Utnytt sylindersymmetrien i problemet til {\aa} velge en fornuftig gaussflate.

\noindent
(Sammenlign svaret med det du fant i oppgave $3d$ i {\o}ving 2.)

\vspace{2.0cm}
\noindent
{\em Oppgave 3 (multiple choice)}

\vspace{0.4cm}
\noindent
$a)$ P{\aa} en lukket flate er det elektriske feltet $\bold{E}$ overalt rettet {\em innover}.
Da kan vi fastsl{\aa} at

\begin{tabular}{cl}
A & flatenormalen $\hat{n}$ over hele flaten er parallell med $\bold{E}$ \\
B & flaten omslutter null netto ladning \\
C & flaten omslutter en netto negativ ladning \\ 
D & flaten omslutter en netto positiv ladning
\end{tabular}

\vspace{0.8cm}
\noindent
$b)$ Figuren illustrerer en lukket flate som omslutter to punktladninger $q$ og $-q$.
Netto elektrisk fluks ut gjennom denne flaten er da

\parbox{5cm}{
\begin{tabular}{cl}
A & null \\
B & $-q/\varepsilon_0$ \\
C & $q/\varepsilon_0$ \\
D & $2q/\varepsilon_0$
\end{tabular}
}
\parbox{5cm}{
%%FIGURE
\centerline{\epsfxsize=1.8in \epsfbox{ov5_fig2.eps}}
%%END FIGURE
}


\vspace{0.8cm}
\noindent
$c)$ En punktladning $q$ er plassert i det ene hj{\o}rnet av en kube. Hva blir den
elektriske fluksen gjennom den skraverte sideflaten i figuren til h{\o}yre?
(Tips: Utnytt symmetrien i problemet.)

\vspace{0.4cm}
\noindent
\parbox{8cm}{
\begin{tabular}{cl}
A & $q/\varepsilon_0$ \\
B & $q/4\varepsilon_0$ \\
C & $q/8\varepsilon_0$ \\
D & $q/24\varepsilon_0$
\end{tabular}
}
\parbox{8cm}{
%%FIGURE
\centerline{\epsfxsize=2.5in \epsfbox{mid1_fig19.eps}}
%%END FIGURE
}


\newpage
\noindent
{\em Oppgave 4 ($\simeq$ oppgave 3, kontinuasjonseksamen 15. august 2003)}

\vspace{0.2cm}
\noindent
En elektrisk dipol best{\aa}r av to punktladninger $q$ og $-q$ med en (fast) innbyrdes
avstand $a$. Dipolen er plassert i et homogent ``ytre'' elektrostatisk felt $\bold{E} = E \hat{x}$.
Anta at dipolen ligger i $xy$-planet og slik at vektoren $\bold{a}$ fra $-q$ til $q$, og
dermed ogs{\aa} dipolmomentet $\bold{p} = q\bold{a}$, danner en vinkel $\theta$ med $\bold{E}$.
Vinkelen $\theta$ regnes {\em mot urviseren} i forhold til $x$-aksen, som vist i figuren.

%%FIGURE
\vspace{0.5cm}
\centerline{\epsfxsize=3.5in \epsfbox{ov6_fig4.eps}}
\vspace{0.5cm}
%%END FIGURE

\noindent
$a)$ Hva blir den totale kraften (fra det ytre feltet $\bold{E}$) p{\aa} dipolen?

\vspace{0.2cm}
\noindent
$b)$ Fra mekanikken har vi at {\em dreiemomentet} $\bold{\tau}$ omkring en bestemt akse
er definert som $\bold{\tau} = \sum_i \bold{r}_i \times \bold{F}_i$, der $\bold{r}_i$ er
``armen'' fra aksen og ut til posisjonen der kraften $\bold{F}_i$ angriper.
(Det st{\aa}r litt om kryssprodukt mellom vektorer helt til slutt i denne oppgaven.)

\noindent
Vis at for den elektriske dipolen i det homogene feltet blir dreiemomentet omkring aksen
som g{\aa}r normalt gjennom dipolens midtpunkt
$$\bold{\tau} = \bold{p} \times \bold{E} = - \bold{E} \times \bold{p}
= - p E \sin\theta\;\hat{z}$$

\vspace{0.2cm}
\noindent
$c)$ Til slutt skal du finne et uttrykk for den potensielle energien $U(\theta)$ til den
elektriske dipolen ovenfor. Skisser ogs{\aa} $U(\theta)$. Hvilken orientering av dipolen
i forhold til $\bold{E}$ representerer en stabil likevekt?

\vspace{0.2cm}
\noindent
Til hjelp p{\aa} punkt $c)$:

\noindent
La oss for enkelhets skyld holde oss i $xy$-planet. En kraft $\bold{F} = F_x\;\hat{x}+F_y\;\hat{y} =
F_r\;\hat{r}+F_\alpha\;\hat{\alpha}$ som angriper i en posisjon $\bold{r}=r\cos\alpha\;\hat{x}+
r\sin\alpha\;\hat{y}$ vil da gi et dreiemoment $\bold{\tau}=\bold{r}\times\bold{F}$ omkring $z$-aksen:

%%FIGURE
\vspace{0.5cm}
\centerline{\epsfxsize=2.5in \epsfbox{ov6_fig5.eps}}
\vspace{0.5cm}
%%END FIGURE

\noindent
Vi vet dessuten at kraften $\bold{F}$ kan ``avledes' fra den potensielle energien $U$ ved hjelp av
gradientoperatoren: $\bold{F} = -\nabla U$. I polarkoordinater $(r,\alpha)$ har vi
$$\nabla = \hat{r}\frac{\partial}{\partial r} + \hat{\alpha}\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial\alpha}$$
Da kan det vises at
$$\tau  = - \frac{\partial U}{\partial\alpha},$$ 
og dermed er
$$dU = -\tau \, d\alpha$$
ettersom $U$ ikke avhenger av $r$ i v{\aa}rt tilfelle. (Vi har fast $r=a/2$ for dipolen.)

\vspace{1.0cm}
\centerline{---------------------------}
\vspace{1.0cm}
\noindent
Kommentar: En elektrisk isolator, et s{\aa}kalt {\em dielektrikum}, best{\aa}r typisk av molekyler
med null nettoladning, men med en intern ladningsfordeling (dvs plassering av atomkjerner
og elektroner) som er ``skjev''. Sagt p{\aa} en annen m{\aa}te: "Ladningsmiddelpunktet" for
molekylets positive ladning (dvs atomkjernene) er ikke i samme posisjon som ladningsmiddelpunktet
for molekylets negative ladning (dvs elektronene). Slike {\em polare} molekyler kan betraktes som
elektriske dipoler. (Vel, de {\em er} elektriske dipoler.) Eksempel: Vann, H$_2$O. 

%%FIGURE
\vspace{0.5cm}
\centerline{\epsfxsize=2.5in \epsfbox{ov6_fig6.eps}}
\vspace{0.5cm}
%%END FIGURE

\noindent
Siden oksygen er mer elektronegativt (dvs, det har st{\o}rre lyst p{\aa}
ekstra elektroner) enn hydrogen, vil elektronfordelingen v{\ae}re
noe forskj{\o}vet i retning oksygenatomet i et vannmolekyl. Det betyr at i n{\ae}rheten av
O-atomet har vi et lite overskudd av negativ ladning, f.eks. $-2\delta$. P{\aa} grunn av
elektrisk n{\o}ytralitet totalt sett (og pga symmetrien i vannmolekylet), m{\aa} vi da
ha et lite overskudd, $+\delta$, av positiv ladning i n{\ae}rheten av hvert H-atom.

\noindent
Et dielektrikum kan ogs{\aa} best{\aa} av atomer eller molekyler {\em uten} en slik
polar ladningsfordeling, dvs med elektrisk dipolmoment $p=0$. Men dersom et slik
materiale plasseres i et ytre elektrisk felt, vil atomenes elektroner og kjerner
trekkes i hver sin retning, slik at det {\em induseres} et elektrisk dipolmoment
$\bold{p}_{\rm ind}$ med retning langs $\bold{E}$. {\em St{\o}rrelsen} p{\aa}
slike induserte dipolmoment er typisk liten i forhold til {\em permanente}
dipolmoment (som i vann), men {\em kvalitativt} blir oppf{\o}rselen den samme.

\noindent
Dermed: Har du forst{\aa}tt denne oppgaven, har du essensielt forst{\aa}tt hvordan
et dielektrikum p{\aa}virkes av et ytre elektrisk felt. 

\newpage
%\vspace{0.7cm}
\noindent
{\em Kryssprodukt mellom vektorer}

\noindent
Kryssproduktet mellom to vektorer er en tredje vektor med retning normalt p{\aa}
begge de to f{\o}rste, og med absoluttverdi lik produktet av absoluttverdien av de
to f{\o}rste multiplisert med sinus til vinkelen mellom disse. 

\noindent
Fortegnet p{\aa} vinkelen mellom de to vektorene regnes som positivt n{\aa}r vi g{\aa}r
{\em fra} den f{\o}rste vektoren {\em til} den andre. Denne fortegnskonvensjonen er
det samme som det dere kanskje kjenner som h{\o}yreh{\aa}ndsregelen:

%%FIGURE
\vspace{0.5cm}
\centerline{\epsfxsize=3.5in \epsfbox{kryssprodukt.eps}}
\vspace{0.5cm}
%%END FIGURE

\noindent
La h{\o}yre h{\aa}nds fire fingre (unntatt tommelen) peke langs den f{\o}rste vektoren.
B{\o}y dem deretter slik at de peker langs den andre vektoren. (Vi b{\o}yer fingrene
den retningen som gir en vinkel mindre enn 180 grader.) Tommelen peker n{\aa} i kryssproduktets retning.
Alts{\aa}:
$$\bold{c} = \bold{a} \times \bold{b}$$
har absoluttverdi
$$c = |\bold{c}| = |\bold{a}| \cdot |\bold{b}| \cdot \sin\theta = a \cdot b \cdot \sin\theta$$
Eksempel 1: $\bold{a} = 10 \,\hat{x}$ og $\bold{b} = 5 \,\hat{y}$ gir
$$\bold{c} = \bold{a} \times \bold{b} = 50 \, \hat{z}$$
Eksempel 2: $\bold{a} = 5 \,\hat{y}$ og $\bold{b} = 10 \,\hat{x}$ gir
$$\bold{c} = \bold{a} \times \bold{b} = -50 \, \hat{z}$$
Av dette ser vi at
$$\bold{b} \times \bold{a} = - \bold{a} \times \bold{b}$$
Eksempel 3: $\bold{a} = 2 \,\hat{x} - 3 \, \hat{y}$ og $\bold{b} = 5 \,\hat{x} + 2 \, \hat{y}$ gir
$$\bold{c} = \bold{a} \times \bold{b} = 2\cdot2 \,\hat{z} + 3\cdot5 \,\hat{z} = 19\,\hat{z}$$
I disse eksemplene har vi brukt at
\begin{eqnarray}
\hat{x}\times\hat{x} &=& 0 \nonumber \\
\hat{y}\times\hat{y} &=& 0 \nonumber \\
\hat{x}\times\hat{y} &=& \hat{z} \nonumber \\
\hat{y}\times\hat{x} &=& -\hat{z} \nonumber 
\end{eqnarray}


\end{document}