\documentclass[12pt]{article} \usepackage{epsfig} \topmargin=-0.5cm \oddsidemargin=-0.5cm \evensidemargin=-0.5cm \textheight=23cm \textwidth=17cm \begin{document} \newcommand{\bold}[1]{\mbox{\boldmath $#1$}} \begin{bf} \noindent Institutt for fysikk, NTNU \noindent TFY4155/FY1003: Elektromagnetisme \noindent V{\aa}r 2009 \end{bf} \begin{center} \begin{large} {\O}ving 2 \end{large} \end{center} \noindent Veiledning: Mandag 26. januar \noindent Innleveringsfrist: Fredag 30. januar kl 12.00 \vspace{1cm} \noindent {\em Oppgave 1 (fra tidligere midtsemesterpr{\o}ver)} \vspace{0.7cm} \noindent $a)$ Figuren viser feltlinjer for et uniformt elektrisk felt. Et elektron som plasseres i dette feltet vil \noindent \parbox{11cm}{ \begin{tabular}{cl} A & bevege seg med konstant hastighet mot venstre. \\ B & bevege seg med konstant hastighet mot h{\o}yre. \\ C & akselereres mot venstre. \\ D & akselereres mot h{\o}yre. \end{tabular} } \parbox{5cm}{ %%FIGURE \centerline{\epsfxsize=2.0in \epsfbox{mid1_fig1.eps}} %%END FIGURE } \vspace{0.7cm} \noindent $b)$ To positive og to negative punktladninger, alle fire like store i absoluttverdi ($q$), skal plasseres i hvert sitt hj{\o}rne av et kvadrat. P{\aa} hvilken m{\aa}te skal punktladningene plasseres for {\aa} oppn{\aa} st{\o}rst mulig elektrisk feltstyrke midt p{\aa} h{\o}yre sidekant, i punktet P? \vspace{0.2cm} \noindent \parbox{8cm}{ \begin{tabular}{cl} A & 1 \\ B & 2 \\ C & 3 \\ D & 4 \end{tabular} } \parbox{8cm}{ %%FIGURE \centerline{\epsfxsize=3.5in \epsfbox{mid3_fig10.eps}} %%END FIGURE } \vspace{1.5cm} \begin{small} \noindent Kommentar: P{\aa} midtsemesterpr{\o}ven i dette faget skal slike oppgaver {\em kun} besvares med en bokstav, dvs {\em uten} utregning eller begrunnelse. Ettersom dette er en regne{\o}ving, foresl{\aa}r jeg at du svarer {\em med} begrunnelse og/eller utregning (dvs: som vanlig p{\aa} en regne{\o}ving!). \end{small} \newpage \noindent {\em Oppgave 2} %%FIGURE \vspace{0.5cm} \centerline{\epsfxsize=4in \epsfbox{ov1_fig1.eps}} \vspace{0.3cm} %%END FIGURE \vspace{0.2cm} \noindent $a)$ To punktladninger $3q$ og $-q$ er plassert p{\aa} $x$-aksen i henholdsvis $x=0$ og $x=a$. Forklar hvorfor mulige likevektsposisjoner for en tredje ladning $q$ m{\aa} v{\ae}re p{\aa} $x$-aksen. \vspace{0.2cm} \noindent $b)$ Det er {\em en} likevektsposisjon $x_0$ p{\aa} $x$-aksen for denne tredje ladningen. (I tillegg til det "singul{\ae}re" punktet $x=a$.) Bestem $x_0$. Begrunn, {\em uten} ytterligere regning, at denne likevekten er ustabil med hensyn p{\aa} en liten forflytning i $x$-retning. (Alternativt, {\em med} ytterligere regning: Vurder stabiliteten av likevekten ved {\aa} se p{\aa} $dF/dx$ i $x=x_0$.) \vspace{0.2cm} \noindent [I {\em likevekt} virker det ingen netto kraft p{\aa} ladningen. N{\aa}r den forskyves en avstand $\Delta x$ fra likevektsposisjonen, vil den p{\aa}virkes av en kraft. Dersom denne kraften virker i samme retning som $\Delta x$, er likevekten ustabil, i motsatt fall stabil.] \vspace{0.7cm} \noindent {\em Oppgave 3} \vspace{0.3cm} \noindent En tynn stav med lengde $L$ har uniform ladning $\lambda$ pr lengdeenhet. \vspace{0.3cm} \noindent $a)$ Hvor mye ladning $dq$ er det p{\aa} en liten lengde $dx$ av staven? Hva er stavens totale ladning $Q$? %%FIGURE \vspace{0.5cm} \centerline{\epsfxsize=3.2in \epsfbox{ov2_fig1.eps}} \vspace{0.5cm} %%END FIGURE \vspace{0.3cm} \noindent $b)$ Vi legger staven p{\aa} $x$-aksen, slik at punktet $P$ har koordinater $(x,y)=(0,R)$. Vis at det elektriske feltet i $P$, dvs i avstand $R$ fra staven, er gitt ved $\bold{E}=E_x\hat{x}+E_y\hat{y}$, med $$ E_x = \frac{\lambda}{4\pi\varepsilon_0 R} (\cos\theta_1 - \cos\theta_2) \;\;\;\;\;\;\;\; E_y = \frac{\lambda}{4\pi\varepsilon_0 R} (\sin\theta_1 - \sin\theta_2) $$ Her er $\theta_1$ og $\theta_2$ vinklene som dannes mellom linjene fra $P$ til stavens endepunkter og normalen til staven gjennom $P$ (dvs $y$-aksen), som vist i figuren. (Fortegnet til vinklene er som indikert i figuren, dvs $\theta$ er negativ n{\aa}r $x < 0$). \newpage \noindent [Tips: Feltet $d\bold{E}$ fra en liten bit $dx$ av staven (i posisjon $x$) er $d\bold{E} = (\lambda\,dx/4\pi\varepsilon_0 r^2) \hat{r}$, der $\bold{r}$ er avstandsvektoren fra biten $dx$ til punktet $P$. Pr{\o}v deretter {\aa} ende opp med $\theta$ som integrasjonsvariabel ved {\aa} finne en sammenheng mellom $x$ og $\theta$.] \vspace{0.3cm} \noindent $c)$ Bestem feltet n{\aa}r $P$ er like langt fra stavens to ender. Hva blir \bold{E} n{\aa}r $P$ er langt unna staven (dvs $R \gg L$). NB: Her er vi ikke ute etter (det i og for seg korrekte) svaret $\bold{E}\simeq 0$ for $R \rightarrow \infty$, men derimot hvordan \bold{E} avhenger av $R$ ''til ledende orden'' for $R \gg L$. Er svaret som forventet? \vspace{0.3cm} \noindent $d)$ Hva blir det elektriske feltet i avstand $R$ fra en uendelig lang uniformt ladet stav? (Dvs: $L \rightarrow \infty$) \vspace{0.7cm} \noindent {\em Oppgave 4} \vspace{0.3cm} \noindent Ei tynn, sirkelforma skive med radius $R_0$ har uniform ladning $\sigma$ pr flateenhet. %%FIGURE \vspace{0.5cm} \centerline{\epsfxsize=2.3in \epsfbox{ov2_fig2.eps}} \vspace{0.5cm} %%END FIGURE \vspace{0.5cm} \noindent $a)$ Hvor mye ladning $dq$ er det p{\aa} en tynn ring av skiva, med radius $R$ og bredde $dR$? Hva er skivas totale ladning $Q$? \vspace{0.5cm} \noindent $b)$ Bestem det elektriske feltet \bold{E} i et punkt $P$ p{\aa} symmetriaksen i en avstand $a$ fra skiva. (Tips: Finn f{\o}rst feltet $d\bold{E}$ i $P$ fra en tynn ring med radius $R$ og bredde $dR$, og integrer deretter fra $R=0$ til $R=R_0$.) \vspace{0.5cm} \noindent $c)$ Hva blir \bold{E} (igjen: til ledende orden, jfr forrige oppgave) i de to tilfellene $a \gg R_0$ og $a \ll R_0$, dvs henholdsvis langt unna og n{\ae}rt inntil skiva? (Du drar kanskje kjensel p{\aa} svaret i tilfellet $a \gg R_0$? Tenk dessuten litt p{\aa} hva det andre tilfellet, $R_0 \gg a$, inneb{\ae}rer.) \vspace{0.7cm} \noindent Oppgitt: $(1+\alpha)^{\pm 1/2} \simeq 1 \pm \alpha/2$ dersom $\alpha \ll 1$. \noindent (Dette er ikke noe mystisk, men rett og slett de to f{\o}rste leddene i en polynomutvikling (''rekkeutvikling'') av funksjonene $f(\alpha) = (1+\alpha)^{\pm 1/2}$ om punktet $\alpha=0$. Se notatet rekkeutvikling.pdf under samme katalog som fagets hjemmeside.) \vspace{1cm} %\newpage \noindent {\em Oppgave 5} \vspace{0.3cm} \noindent $a)$ For staven og skiva i oppgave 3 og 4, pr{\o}v {\aa} skissere elektriske feltlinjer, b{\aa}de i et plan som inneholder staven (skiva) og i et plan normalt p{\aa} staven gjennom dens midtpunkt (normalt p{\aa} skiva gjennom dens sentrum). Vis skissene i stor og liten m{\aa}lestokk i hvert av de fire tilfellene, slik at de gir et kvalitativt bilde av feltet, b{\aa}de n{\ae}rt og langt unna staven (skiva). (I alt 8 figurer.) \vspace{0.3cm} \noindent $b)$ Skisser elektriske feltlinjer for disse to systemene av punktladninger: %%FIGURE \vspace{0.5cm} \centerline{\epsfxsize=2.5in \epsfbox{ov3_pointcharges.eps}} \vspace{0.5cm} %%END FIGURE \vspace{1.0cm} \noindent Tips: I denne oppgaven kan det v{\ae}re til hjelp {\aa} g{\aa} inn p{\aa} f.eks. http://www.falstad.com/vector3de, som er en Java applet for {\aa} visualisere (blant annet) elektriske feltlinjer ("Display: Field Lines") fra diverse ladningsfordelinger (punktladninger og kontinuerlige fordelinger). "finite line" representerer nettopp den ladete staven. Det n{\ae}rmeste vi kommer den sirkul{\ae}re skiva er "charged plate", som har endelig utstrekning i $x$-retning. Stavlengden og platest{\o}rrelsen kan varieres med det nederste rullefeltet. \vspace{1cm} \noindent {\em Oppgave 6} \vspace{0.3cm} \noindent Ammoniakk, NH$_3$, er en elektrisk dipol, bortrifluorid, BF$_3$, er det ikke. Bruk denne opplysningen til {\aa} finne ut (kvalitativt) hvordan disse to molekylene ser ut. Kontroller svaret ditt via internett eller andre kilder. \vspace{1.0cm} \noindent Fasitsvar: \vspace{0.2cm} \noindent {\em Oppgave 2b}: $x_0 = (3+\sqrt{3})a/2$. \vspace{0.3cm} \noindent {\em Oppgave 4b}: $E = \frac{\sigma}{2\varepsilon_0}\left(1 - \frac{a}{\sqrt{a^2+R_0^2}}\right)$ \end{document}