\documentclass[11pt]{article}
\usepackage{epsfig}
\usepackage[norsk]{babel}
\topmargin=-1.5cm
\oddsidemargin=-1.0cm
\evensidemargin=-1.0cm
\textheight=25cm
\textwidth=18cm
\setlength{\parindent}{0cm}

\begin{document}
\newcommand{\bold}[1]{\mbox{\boldmath $#1$}}

\begin{center}
\begin{bf}
TFY4104/TFY4125 Fysikk. Institutt for fysikk, NTNU.

{\O}ving 8.
\end{bf}
\end{center}

\vspace{0.2cm}
{\bf Oppgave 1} \\

\noindent
$a)$ Figuren viser et uniformt elektrisk felt $\bold{E}$ (heltrukne
linjer). Langs hvilken stiplet linje endrer potensialet seg ikke?

\noindent
\parbox{8cm}{
\begin{tabular}{cl}
A &  1 \\
B &  2 \\
C &  3 \\
D &  4
\end{tabular}
}
\parbox{8cm}{
%%FIGURE
\centerline{\epsfxsize=2.0in \epsfbox{mid1_fig8.eps}}
%%END FIGURE
}

\vspace{1.2cm}
\noindent
$b)$ Den potensielle energien til to elektroner i innbyrdes avstand
1 {\AA} (= $10^{-10}$ m) er [1 eV = $1.6\cdot10^{-19}$ J]

\vspace{0.2cm}
\noindent
\begin{tabular}{cl}
A & 14.4 meV \\
B & 14.4 eV \\
C & 14.4 keV \\
D & 14.4 MeV
\end{tabular}

\vspace{1.2cm}
\noindent
$c)$ Fire punktladninger, to positive og to negative
($q = 9 \; \mu$C), er plassert i hj{\o}rnene p{\aa} et kvadrat med sidekanter
5 cm, som vist i figuren. Hva er systemets potensielle energi?

\vspace{0.3cm}
\noindent
\parbox{8cm}{
\begin{tabular}{cl}
A &  19 J \\
B &  Null \\
C &  -7 J \\
D &  -38 J
\end{tabular}
}
\parbox{8cm}{
%%FIGURE
\centerline{\epsfxsize=1.8in \epsfbox{mid3_fig5.eps}}
%%END FIGURE
}


%\vspace{1.2cm}
\newpage
\noindent
$d)$ To punktladninger $Q_1 = 69$ nC og $Q_2 = -98$ nC er plassert i $xy$-planet,
som vist i figuren. Et elektron flyttes fra punkt A til punkt B. Hvor stor
endring gir denne forflytningen i systemets potensielle energi?
("Systemet" = de to punktladningene og elektronet.)
(1 eV = $1.6 \cdot 10^{-19}$ J)

\vspace{0.2cm}
\noindent
\parbox{8cm}{
\begin{tabular}{cl}
A &  -1 keV \\
B &  -1 eV \\
C &  1 eV  \\
D &  1 keV
\end{tabular}
}
\parbox{8cm}{
%%FIGURE
\centerline{\epsfxsize=2.2in \epsfbox{mid3_fig6.eps}}
%%END FIGURE
}

\vspace{0.8cm}
\noindent
$e)$ Hvor stor er radien til en (kuleformet) ekvipotensialflate p{\aa}
50 V med en punktladning $10$ nC i sentrum? Null potensial velges uendelig langt unna.

\begin{tabular}{cl}
A & 1.3 m \\
B & 1.8 m \\
C & 3.2 m \\
D & 5.0 m
\end{tabular}


\vspace{1.2cm}
\noindent
$f)$ Hvis potensialet $V$ som funksjon av avstanden $r$ fra en ladningsfordeling er
som vist i graf nr 1, hvilken graf viser da det elektriske feltet $E$
som funksjon av avstanden $r$?

\vspace{0.3cm}
\noindent
\parbox{8cm}{
\begin{tabular}{cl}
A &  2 \\
B &  3 \\
C &  4 \\
D &  5
\end{tabular}
}
\parbox{8cm}{
%%FIGURE
\centerline{\epsfxsize=3.3in \epsfbox{mid1_fig7.eps}}
%%END FIGURE
}


%\vspace{1cm}
\newpage
\noindent
{\bf Oppgave 2}

\vspace{0.2cm}
\noindent
En {\em elektrisk dipol} som best{\aa}r av to punktladninger $\pm q$,
er plassert langs $z$-aksen med sentrum i origo,
som vist i figuren. Det elektriske {\em dipolmomentet} er da
$\bold{p} = q\bold{a}$, der $\bold{a} = a\;\hat{z}$ er vektoren fra $-q$ til $q$.

%%FIGURE
\vspace{0.3cm}
\centerline{\epsfxsize=3.3in \epsfbox{ov3_fig5.eps}}
\vspace{0.3cm}
%%END FIGURE

\noindent
Siden vi her opplagt m{\aa} ha {\em symmetri} med hensyn til rotasjon omkring $z$-aksen, er det
tilstrekkelig {\aa} se p{\aa} forholdene i et halvplan som inneholder $z$-aksen, f.eks.
$xz$-planet, med $x>0$.

\noindent
Vi kan videre velge mellom kartesiske koordinater $(x,z)$ eller polarkoordinater $(r,\theta)$
for {\aa} angi en vilk{\aa}rlig posisjon i dette planet. Vi skal se p{\aa} begge deler i denne
oppgaven. Vinkelen $\theta$ kan vi selvsagt velge i forhold til hvilken kartesiske akse
vi vil; her lar vi $\theta$ v{\ae}re vinkelen som $\bold{r}$ danner i forhold til $z$-aksen
(se figuren).

\vspace{0.5cm}
\noindent
$a)$ Bestem f{\o}rst sammenhengen mellom de kartesiske koordinatene og polarkoordinatene,
dvs $x(r,\theta)$, $z(r,\theta)$ og $r(x,z)$.

\vspace{0.5cm}
\noindent
$b)$ Vis at potensialet fra en slik dipol i kartesiske koordinater blir
$$V(x,z) = \frac{q}{4\pi\varepsilon_0} \left( \frac{1}{\sqrt{x^2 + \left(z-a/2\right)^2}} -
\frac{1}{\sqrt{x^2 + \left(z+a/2\right)^2}} \right)$$
Hva blir potensialet p{\aa} $x$-aksen, $V(x,0)$? Enn p{\aa} $z$-aksen, $V(0,z)$?
(P{\aa} {\em hele} $z$-aksen; pass p{\aa} fortegnene...!) Skisser funksjonen $V(0,z)$.

\vspace{0.5cm}
\noindent
$c)$ Vis at i stor avstand fra dipolen (dvs $r\gg a$) er potensialet med god
tiln{\ae}rmelse gitt i polarkoordinater ved
$$V(r,\theta) = \frac{p\cos\theta}{4\pi\varepsilon_0 r^2} = \frac{\bold{p}\cdot\bold{r}}
{4\pi\varepsilon_0 r^3}$$
Tips: Ta utgangspunkt i at
$$\frac{1}{r_1} - \frac{1}{r_2} = \frac{r_2 - r_1}{r_1 r_2}$$
og bruk figuren til {\aa} finne et tiln{\ae}rmet uttrykk for dette n{\aa}r $r \gg a$.

\noindent
Mens potensialet fra en enkelt punktladning avtar som $1/r$, avtar alts{\aa}
potensialet fra en dipol {\em raskere}, nemlig som $1/r^2$. Er dette rimelig?


%\vspace{1.5cm}
\newpage
\noindent
{\bf Oppgave 3}

\vspace{0.2cm}
\noindent
En elektrisk dipol best{\aa}r av to punktladninger $q$ og $-q$ med en (fast) innbyrdes
avstand $a$. Dipolen er plassert i et homogent ``ytre'' elektrostatisk felt $\bold{E} = E \hat{x}$.
Anta at dipolen ligger i $xy$-planet og slik at vektoren $\bold{a}$ fra $-q$ til $q$, og
dermed ogs{\aa} dipolmomentet $\bold{p} = q\bold{a}$, danner en vinkel $\theta$ med $\bold{E}$.
Vinkelen $\theta$ regnes {\em mot urviseren} i forhold til $x$-aksen, som vist i figuren.

%%FIGURE
\vspace{0.5cm}
\centerline{\epsfxsize=3.5in \epsfbox{ov6_fig4.eps}}
\vspace{0.5cm}
%%END FIGURE

\noindent
$a)$ Hva blir den totale kraften (fra det ytre feltet $\bold{E}$) p{\aa} dipolen?

\vspace{0.2cm}
\noindent
$b)$ Fra mekanikken har vi at {\em dreiemomentet} $\bold{\tau}$ omkring en bestemt akse
(eller strengt tatt: om et punkt)
er definert som $\bold{\tau} = \sum_i \bold{r}_i \times \bold{F}_i$, der $\bold{r}_i$ er
``armen'' fra aksen og ut til posisjonen der kraften $\bold{F}_i$ angriper.

\noindent
Vis at for den elektriske dipolen i det homogene feltet blir dreiemomentet omkring aksen
som g{\aa}r normalt gjennom dipolens midtpunkt
$$\bold{\tau} = \bold{p} \times \bold{E} = - \bold{E} \times \bold{p}
= - p E \sin\theta\;\hat{z}$$

\vspace{0.2cm}
\noindent
$c)$ Til slutt skal du finne et uttrykk for den potensielle energien $U(\theta)$ til den
elektriske dipolen ovenfor. Skisser ogs{\aa} $U(\theta)$. Hvilken orientering av dipolen
i forhold til $\bold{E}$ representerer en stabil likevekt?

\vspace{0.2cm}
\noindent
Til hjelp p{\aa} punkt $c)$ (repetisjon fra mekanikken):

\noindent
La oss for enkelhets skyld holde oss i $xy$-planet. En kraft $\bold{F} = F_x\;\hat{x}+F_y\;\hat{y} =
F_r\;\hat{r}+F_\alpha\;\hat{\alpha}$ som angriper i en posisjon $\bold{r}=r\cos\alpha\;\hat{x}+
r\sin\alpha\;\hat{y}$ vil da gi et dreiemoment $\bold{\tau}=\bold{r}\times\bold{F}$ omkring $z$-aksen:

%%FIGURE
\vspace{0.5cm}
\centerline{\epsfxsize=2.5in \epsfbox{ov6_fig5.eps}}
\vspace{0.5cm}
%%END FIGURE

\noindent
Vi vet dessuten at kraften $\bold{F}$ kan ``avledes' fra den potensielle energien $U$ ved hjelp av
gradientoperatoren: $\bold{F} = -\nabla U$. I polarkoordinater $(r,\alpha)$ har vi
$$\nabla = \hat{r}\frac{\partial}{\partial r} + \hat{\alpha}\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial\alpha}$$
Da kan det vises at
$$\tau  = - \frac{\partial U}{\partial\alpha},$$ 
og dermed er
$$dU = -\tau \, d\alpha$$
ettersom $U$ ikke avhenger av $r$ i v{\aa}rt tilfelle. (Vi har fast $r=a/2$ for dipolen.)

\vspace{1.0cm}
\centerline{---------------------------}
\vspace{1.0cm}
\noindent
Kommentar: En elektrisk isolator, et s{\aa}kalt {\em dielektrikum}, best{\aa}r typisk av molekyler
med null nettoladning, men med en intern ladningsfordeling (dvs plassering av atomkjerner
og elektroner) som er ``skjev''. Sagt p{\aa} en annen m{\aa}te: "Ladningsmiddelpunktet" for
molekylets positive ladning (dvs atomkjernene) er ikke i samme posisjon som ladningsmiddelpunktet
for molekylets negative ladning (dvs elektronene). Slike {\em polare} molekyler er dermed
elektriske dipoler. Eksempel: Vann, H$_2$O. 


\vspace{1.2cm}
\noindent
{\em Kryssprodukt mellom vektorer (kun litt repetisjon)}

\noindent
Kryssproduktet mellom to vektorer er en tredje vektor med retning normalt p{\aa}
begge de to f{\o}rste, og med absoluttverdi lik produktet av absoluttverdien av de
to f{\o}rste multiplisert med sinus til vinkelen mellom disse. 

\noindent
Fortegnet p{\aa} vinkelen mellom de to vektorene regnes som positivt n{\aa}r vi g{\aa}r
{\em fra} den f{\o}rste vektoren {\em til} den andre. Denne fortegnskonvensjonen er
det samme som det dere kanskje kjenner som h{\o}yreh{\aa}ndsregelen:

%%FIGURE
\vspace{0.5cm}
\centerline{\epsfxsize=3.5in \epsfbox{kryssprodukt.eps}}
\vspace{0.5cm}
%%END FIGURE

\noindent
La h{\o}yre h{\aa}nds fire fingre (unntatt tommelen) peke langs den f{\o}rste vektoren.
B{\o}y dem deretter slik at de peker langs den andre vektoren. (Vi b{\o}yer fingrene
den retningen som gir en vinkel mindre enn 180 grader.) Tommelen peker n{\aa} i kryssproduktets retning.
Alts{\aa}:
$$\bold{c} = \bold{a} \times \bold{b}$$
har absoluttverdi
$$c = |\bold{c}| = |\bold{a}| \cdot |\bold{b}| \cdot \sin\theta = a \cdot b \cdot \sin\theta$$
Eksempel 1: $\bold{a} = 10 \,\hat{x}$ og $\bold{b} = 5 \,\hat{y}$ gir
$$\bold{c} = \bold{a} \times \bold{b} = 50 \, \hat{z}$$
Eksempel 2: $\bold{a} = 5 \,\hat{y}$ og $\bold{b} = 10 \,\hat{x}$ gir
$$\bold{c} = \bold{a} \times \bold{b} = -50 \, \hat{z}$$
Av dette ser vi at
$$\bold{b} \times \bold{a} = - \bold{a} \times \bold{b}$$
Eksempel 3: $\bold{a} = 2 \,\hat{x} - 3 \, \hat{y}$ og $\bold{b} = 5 \,\hat{x} + 2 \, \hat{y}$ gir
$$\bold{c} = \bold{a} \times \bold{b} = 2\cdot2 \,\hat{z} + 3\cdot5 \,\hat{z} = 19\,\hat{z}$$
I disse eksemplene har vi brukt at
\begin{eqnarray}
\hat{x}\times\hat{x} &=& 0 \nonumber \\
\hat{y}\times\hat{y} &=& 0 \nonumber \\
\hat{x}\times\hat{y} &=& \hat{z} \nonumber \\
\hat{y}\times\hat{x} &=& -\hat{z} \nonumber 
\end{eqnarray}

\end{document}