\documentclass[11pt]{article}
\usepackage{epsfig}
\usepackage[norsk]{babel}
\topmargin=-1.5cm
\oddsidemargin=-1.0cm
\evensidemargin=-1.0cm
\textheight=25cm
\textwidth=18cm
\setlength{\parindent}{0cm}

\begin{document}
\newcommand{\bold}[1]{\mbox{\boldmath $#1$}}

\begin{center}
\begin{bf}
TFY4125 Fysikk. Institutt for fysikk, NTNU.

{\O}ving 8.
\end{bf}
\end{center}

\vspace{0.2cm}
{\bf Oppgave 1} \\

\noindent
$a)$ Figuren viser feltlinjer for et uniformt elektrisk felt. Et
elektron som plasseres i dette feltet vil

\vspace{0.3cm}
\noindent
\parbox{11cm}{
\begin{tabular}{cl}
A & bevege seg med konstant hastighet mot venstre. \\
B & bevege seg med konstant hastighet mot h{\o}yre. \\
C & akselereres mot venstre. \\
D & akselereres mot h{\o}yre.
\end{tabular}
}
\parbox{5cm}{
%%FIGURE
\centerline{\epsfxsize=1.7in \epsfbox{mid1_fig1.eps}}
%%END FIGURE
}


\vspace{0.5cm}
\noindent
$b)$ To positive og to negative punktladninger, alle fire like store i
absoluttverdi ($q$), skal plasseres i hvert sitt hj{\o}rne av et kvadrat.
P{\aa} hvilken m{\aa}te skal punktladningene plasseres for {\aa} oppn{\aa}
st{\o}rst mulig elektrisk feltstyrke (dvs $E = |\bold{E}|$) midt 
p{\aa} h{\o}yre sidekant, i punktet P?

\vspace{0.2cm}
\noindent
\parbox{8cm}{
\begin{tabular}{cl}
A & 1 \\
B & 2 \\
C & 3 \\
D & 4
\end{tabular}
}
\parbox{8cm}{
%%FIGURE
\centerline{\epsfxsize=3.5in \epsfbox{mid3_fig10.eps}}
%%END FIGURE
}

\vspace{0.5cm}
\noindent
{\bf Oppgave 2} \\

%%FIGURE
\vspace{0.3cm}
\centerline{\epsfxsize=4in \epsfbox{ov1_fig1.eps}}
\vspace{0.3cm}
%%END FIGURE

\vspace{0.2cm}
\noindent
$a)$ To punktladninger $3q$ og $-q$ er plassert p{\aa} $x$-aksen i
henholdsvis $x=0$ og $x=a$. Forklar hvorfor mulige likevektsposisjoner for
en tredje ladning $q$ m{\aa} v{\ae}re p{\aa} $x$-aksen. \\

\noindent
$b)$ Det er {\em en} likevektsposisjon $x_0$ p{\aa} $x$-aksen for denne
tredje ladningen. Bestem $x_0$. Begrunn, {\em uten} ytterligere regning, at
denne likevekten er ustabil med hensyn p{\aa} en liten
forflytning i $x$-retning. (Alternativt, {\em med} ytterligere regning:
Vurder stabiliteten av likevekten ved {\aa} se p{\aa} $dF/dx$ i $x=x_0$.) \\

\noindent
[I {\em likevekt} virker det ingen netto kraft p{\aa} ladningen.
N{\aa}r den forskyves en avstand $\Delta x$ fra likevektsposisjonen, vil den
p{\aa}virkes av en kraft. Dersom denne kraften virker i samme retning 
som $\Delta x$, er likevekten ustabil, i motsatt fall stabil.]

\vspace{0.7cm}
\noindent
{\bf Oppgave 3} \\

\noindent
En tynn stav med lengde $L$ har uniform ladning $\lambda$ pr lengdeenhet. \\

\noindent
$a)$ Hvor mye ladning $dq$ er det p{\aa} en liten lengde $dx$ av staven? Hva er
stavens totale ladning $Q$?

%%FIGURE
\vspace{0.5cm}
\centerline{\epsfxsize=5.0in \epsfbox{ov2_fig1.eps}}
\vspace{0.5cm}
%%END FIGURE

\vspace{0.3cm}
\noindent
$b)$ Vi legger staven p{\aa} $x$-aksen, slik at punktet $P$ har koordinater $(x,y)=(0,R)$.
Vis at det elektriske feltet i $P$, dvs i avstand $R$ fra staven, er gitt ved
$\bold{E}=E_x\hat{x}+E_y\hat{y}$, med
$$E_x = \frac{\lambda}{4\pi\varepsilon_0 R} (\cos\theta_1 - \cos\theta_2) \;\;\;\;\;\;\;\;
E_y = \frac{\lambda}{4\pi\varepsilon_0 R} (\sin\theta_1 - \sin\theta_2).$$
Her er $\theta_1$ og $\theta_2$ vinklene som dannes mellom linjene fra $P$ til
stavens endepunkter og normalen til staven gjennom $P$ (dvs $y$-aksen), som vist i figuren. (Fortegnet
til vinklene er som indikert i figuren, dvs $\theta$ er negativ n{\aa}r $x < 0$). \\

\noindent
[Tips: Feltet $d\bold{E}$ fra en liten bit $dx$ av staven (i posisjon $x$) er
$d\bold{E} = (\lambda\,dx/4\pi\varepsilon_0 r^2) \hat{r}$, der $\bold{r}$ er
avstandsvektoren fra biten $dx$ til punktet $P$. Pr{\o}v deretter {\aa} ende opp med
$\theta$ som integrasjonsvariabel ved {\aa} finne en sammenheng mellom $x$ og $\theta$.] \\

\vspace{0.3cm}
\noindent
$c)$ Bestem feltet n{\aa}r $P$ er like langt fra stavens to ender.
Hva blir \bold{E} n{\aa}r $P$ er langt unna staven (dvs $R \gg L$).
NB: Her er vi ikke ute etter (det i og for seg korrekte) svaret $\bold{E}\simeq 0$ for 
$R \rightarrow \infty$, men derimot hvordan \bold{E} avhenger av $R$ ''til ledende orden'' 
for $R \gg L$. Er svaret som forventet? \\

\noindent
$d)$ Hva blir det elektriske feltet i avstand $R$ fra en uendelig lang uniformt ladet stav?
(Dvs: $L \rightarrow \infty$) \\

\newpage
\noindent
{\bf Oppgave 4} \\

\vspace{0.3cm}
\noindent
Ei tynn, sirkelforma skive med radius $R_0$ har uniform ladning $\sigma$
pr flateenhet.

%%FIGURE
\vspace{0.5cm}
\centerline{\epsfxsize=4.3in \epsfbox{ov2_fig2.eps}}
\vspace{0.5cm}
%%END FIGURE

\vspace{0.5cm}
\noindent
$a)$ Hvor mye ladning $dq$ er det p{\aa} en tynn ring av skiva, med radius $R$
og bredde $dR$? Hva er skivas totale ladning $Q$? \\

\noindent
$b)$ Bestem det elektriske feltet $\bold{E}$ i et punkt $P$ p{\aa} symmetriaksen i
en avstand $a$ fra skiva. (Tips: Bruk eksemplet fra forelesningene til
f{\o}rst {\aa} finne feltet $d\bold{E}$ i $P$ fra en tynn
ring med radius $R$ og bredde $dR$. Integrer deretter fra $R=0$ til $R=R_0$.) \\

\noindent
$c)$ Hva blir \bold{E} (igjen: til ledende orden, jfr forrige oppgave) i de to tilfellene
$a \gg R_0$ og $a \ll R_0$, dvs henholdsvis langt unna
og n{\ae}rt inntil skiva? \\

\vspace{0.4cm}
\noindent
Oppgitt: $(1+\alpha)^{\pm 1/2} \simeq 1 \pm \alpha/2$ dersom $\alpha \ll 1$.

\noindent
(Dette er rett og slett de to f{\o}rste leddene i en polynomutvikling
(''rekkeutvikling'') av funksjonene $f(\alpha) = (1+\alpha)^{\pm 1/2}$ om punktet $\alpha=0$.)


\vspace{1.0cm}
\noindent
Fasitsvar:

\vspace{0.2cm}
\noindent
{\bf Oppgave 2b}: $x_0 = (3+\sqrt{3})a/2$.

\vspace{0.3cm}
\noindent
{\bf Oppgave 4b}: $E = \frac{\sigma}{2\varepsilon_0}
\left(1 - \frac{a}{\sqrt{a^2+R_0^2}}\right)$


\end{document}