\documentclass[11pt]{article}
\usepackage{epsfig}
\usepackage[norsk]{babel}
\topmargin=-2.5cm
\oddsidemargin=-1.0cm
\evensidemargin=-1.0cm
\textheight=25cm
\textwidth=18cm
\setlength{\parindent}{0cm}

\begin{document}
\newcommand{\bold}[1]{\mbox{\boldmath $#1$}}

\begin{center}
\begin{bf}
TFY4104/TFY4125 Fysikk. Institutt for fysikk, NTNU.

L{\o}sningsforslag til Test 4.
\end{bf}
\end{center}

\vspace{5mm}
{\bf Oppgave 1}\\
Normalkraften har utf{\o}rt null arbeid p{\aa} hopperen, fordi $N$ hele tiden st{\aa}r
normalt p{\aa} forflytningen $dr$.
Riktig svar: A.

\vspace{5mm}
{\bf Oppgave 2}\\
Ved vinkelen $\phi$ har hopperen mistet den potensielle energien $mgR\sin\phi$. Bevaring
av mekanisk energi gir dermed
$$mv^2/2 = mgR\sin\phi \;\;\; \Rightarrow \;\;\; v = \sqrt{2gR\sin\phi}.$$
Riktig svar: E.

\vspace{5mm}
{\bf Oppgave 3}\\
Normalkraften $N$, rettet inn mot sirkelens sentrum, og tyngdekraftens normalkomponent 
$mg\sin\phi$, rettet bort fra sirkelens sentrum gir til sammen $m$ ganget med
sentripetalakselerasjonen $v^2/R$. Med $v$ fra oppgave 11 har vi da
$$mv^2/R = N - mg\sin\phi \;\;\; \Rightarrow \;\;\; 
N = 2mg\sin\phi + mg\sin\phi = 3mg\sin\phi.$$
Riktig svar: C.

\vspace{5mm}
{\bf Oppgave 4}\\
Tyngdekraften $GmM/R^2$ m{\aa} s{\o}rge for planetens uniforme sirkelbevegelse, og dermed
sentripetalakselerasjonen $v^2/R$:
$$GmM/R^2 = mv^2/R \;\;\; \Rightarrow \;\;\; v = \sqrt{GM/R}.$$
Riktig svar: C.

\vspace{5mm}
{\bf Oppgave 5}\\
Her har vi valgt $U(\infty) = 0$. Dermed, i avstand $R$:
$$U(R) = \int_\infty^R \, \frac{GmM}{r^2}\,dr = -\frac{GmM}{R}.$$
Fortegnet: Vi vet at (den konservative) kraften $\bold{F}$ peker
i retning fra h{\o}y mot lav potensiell energi. Dermed m{\aa} $U(R)$
v{\ae}re mindre enn $U(\infty)=0$.
Riktig svar: A.

\vspace{5mm}
{\bf Oppgave 6}\\
All tilf{\o}rt energi g{\aa}r med til {\aa} {\o}ke bilens kinetiske energi, fra null til
sluttverdien $K = mv^2/2 = 1000 \cdot (100/3.6)^2/2 \simeq 386\,{\rm kJ}$. Hvis dette skjer
i l{\o}pet av 6 sekunder, blir midlere tilf{\o}rt effekt
$\langle P \rangle = K/t = 386/6 \simeq 64\,{\rm kJ/s} = 64\,{\rm kW}$.
Riktig svar: D.

\vspace{5mm}
{\bf Oppgave 7}\\
Konstant akselerasjon (av bilens konstante masse) betyr at den ytre kraften $F$ ogs{\aa}
er konstant. Siden vi kan skrive $P = F v$, m{\aa} det bety at instantan effekt $P$
er st{\o}rst n{\aa}r hastigheten $v$ er st{\o}rst. Her er det helt til slutt.
Riktig svar: E.

\vspace{5mm}
{\bf Oppgave 8}\\
Vi har $P = F v = m a v = m (dv/dt) v$, dvs $v\,dv = (P/m)\,dt$. Denne ligningen kan vi
integrere p{\aa} begge sider, fra $0$ til $v$ og fra $0$ til $t$ p{\aa} hhv
venstre og h{\o}yre side. Dette gir $v^2/2 = Pt/m$, dvs $v(t) = \sqrt{2Pt/m}$.
Riktig svar: D.

\vspace{5mm}
{\bf Oppgave 9}\\
Denne konstante effekten m{\aa} vel nesten v{\ae}re like stor som den midlere effekten
regnet ut i oppgave 6? Dvs, 64 kW. 
Riktig svar: E.


\end{document}