\documentclass[11pt]{article}
\usepackage{epsfig}
\usepackage[norsk]{babel}
\topmargin=-1.5cm
\oddsidemargin=-1.0cm
\evensidemargin=-1.0cm
\textheight=25cm
\textwidth=18cm
\setlength{\parindent}{0cm}

\begin{document}
\newcommand{\bold}[1]{\mbox{\boldmath $#1$}}

\begin{center}
\begin{bf}
TFY4104/TFY4125 Fysikk. Institutt for fysikk, NTNU.

L{\o}sningsforslag til Test 5.
\end{bf}
\end{center}

\vspace{5mm}
{\bf Oppgave 1}\\
Fullstendig uelastisk kollisjon betyr at bilene henger sammen som ett legeme
etter kollisjonen, med felles hastighet. Denne hastigheten er null, pga at
impulsen er bevart, og total impuls til de to bilene er null. Alts{\aa}
g{\aa}r all mekanisk energi tapt.
Riktig svar: E.

\vspace{5mm}
{\bf Oppgave 2}\\
Hvis den ene bilen har impuls $mv$ f{\o}r kollisjonen, har de to sammenhengende
bilene hastighet $v/2$ etter kollisjonen, igjen pga impulsbevarelse. Kinetisk
energi f{\o}r kollisjonen er $mv^2/2$. Etter kollisjonen er den $2m(v/2)^2/2 = mv^2/4$.
Alts{\aa} har halvparten g{\aa}tt tapt.
Riktig svar: C.

\vspace{5mm}
{\bf Oppgave 3}\\
Med bilmasse $m$ og hastigheter hhv $v$ og $v/2$ er total impuls til de to bilene
$mv + mv/2 = 3mv/2$. Felleshastigheten etter kollisjonen er dermed gitt ved
$2mv' = 3mv/2$, dvs $v' = 3mv/4$. Kinetisk energi f{\o}r kollisjonen: $K = mv^2/2 +
m(v/2)^2/2 = 5mv^2/8$. Etter kollisjonen: $K' = 2m(v')^2/2 = 2m(3mv/4)^2/2 = 9mv^2/16$.
Av den opprinnelige $K = 10mv^2/16$ er derfor $1mv^2/16$ g{\aa}tt tapt, dvs 10\%.
Riktig svar: A.

\vspace{5mm}
{\bf Oppgave 4}\\
Kraften $F(t)$ er symmetrisk omkring tidspunktet $t=0$, der $F$ er maksimal og lik $F_0$. Da er det klart
at bordtennisballen snur ved $t=0$, og at den etter kollisjonen har hastighet 20 m/s motsatt vei. Med andre
ord, ballens impulsendring er $\Delta p = m \Delta v = 0.0027 \cdot 40 = 0.108$ kg m/s. Vi har
\begin{eqnarray*}
\Delta p &=& \int_{-\infty}^{\infty}\,F_0\,\exp(-t^2/\tau^2)\,dt \\
&=& F_0 \tau \int_{-\infty}^{\infty}\,\exp(-x^2)\,dx \\
&=& F_0 \tau \sqrt{\pi},
\end{eqnarray*}
der vi har substituert $x = t/\tau$ for {\aa} f{\aa} integralet p{\aa} eksakt samme form som
oppgitt i oppgaven. (Da er $dt = \tau\,dx$.) Dermed er
$$F_0 = \frac{\Delta p}{\tau\sqrt{\pi}} = \frac{0.108}{0.001\cdot\sqrt{\pi}} \simeq 61\,{\rm N}.$$
Tok du denne p{\aa} strak arm og under 5 minutter, kan du v{\ae}re forn{\o}yd med deg selv.
(I motsatt fall -- ingen grunn til {\aa} fortvile.)
Riktig svar: A.

\vspace{5mm}
{\bf Oppgave 5}\\
Friksjonskraften fra underlaget p{\aa} klossen er $f = \mu N = \mu mg$. Klossen stopper n{\aa}r
absoluttverdien av friksjonsarbeidet utf{\o}rt p{\aa} klossen er lik klossens opprinnelige
kinetiske energi. Dermed: $W_f = \mu mg x = mv^2/2$, som betyr at klossen glir en lengde
$x = v^2/2\mu g$. (Kun alternativ A har en rimelig avhengighet av hastigheten $v$.)
Riktig svar: A.

\vspace{5mm}
{\bf Oppgave 6}\\
Avstanden fra deg til massesenteret er i utgangspunktet lik 1/6 av b{\aa}tens lengde, dvs
1 m fra deg. Uten ytre krefter blir dette massesenteret liggende i ro, sett utenfra, for eksmpel
av en som st{\aa}r p{\aa} land. Hvis du, med dine 80 kg, flytter deg en lengde $x$ i en retning,
m{\aa} b{\aa}ten, med sine 40 kg, flytte seg en lengde $2x$ i motsatt retning. Din forflytning
relativt b{\aa}ten er da $3x$, og n{\aa}r du er i motsatt ende av b{\aa}ten, blir $3x = 6$ m,
dvs $x = 2$ m. F{\o}lgelig har b{\aa}ten n{\aa} flyttet seg $2x = 4$ m. B{\aa}ten stopper
straks du stopper.
Riktig svar: C.

\vspace{5mm}
{\bf Oppgave 7}\\
Her kan vi for eksempel legge oksygenatomet i origo og massesenteret (CM) p{\aa} $y$-aksen. Da er
$$Y_{\rm CM} = \frac{2md\cos\alpha}{2m+M} = \frac{2 \cdot 0.96 \cos 52.5^\circ}{18} \, {\rm \AA}
\simeq 0.065\,{\rm \AA} = 6.5 \,{\rm pm}.$$
Riktig svar: B.

\vspace{5mm}
{\bf Oppgave 8}\\
Massetettheten {\o}ker line{\ae}rt fra null til $\lambda_0$ over lengde $L$, s{\aa} stangas
totale masse m{\aa} v{\ae}re $M = \lambda_0 L/2$. En liten bit av stanga, i posisjon $x$ og
med lengde $dx$ har masse $dm = \lambda(x) dx = \lambda_0 x\,dx/L$. Massesenteret er da i posisjon
$$X_{\rm CM} = \frac{2}{\lambda_0 L^2} \int_0^L \lambda_0 x^2\,dx = \frac{2}{3}L.$$
Riktig svar: B.

\vspace{5mm}
{\bf Oppgave 9}\\
Massesenteret til hver ''delstang'' ligger p{\aa} midten, s{\aa} med venstre ende i origo kan vi
regne som om det ligger 1 kg i $x=0.5$, 2 kg i $x=1.5$, 3 kg i $x=2.5$ og 4 kg i $x=3.5$. Dermed:
$$X_{\rm CM} = \frac{0.5 + 3 + 7.5 + 14}{1+2+3+4} = \frac{25}{10} = 2.5,$$
dvs meter.
Riktig svar: C.

\vspace{5mm}
{\bf Oppgave 10}\\
$$U(r) = - \int_R^r \frac{-mMG}{r^2}\,dr = |_R^r \frac{-mMG}{r} = mMG\left(\frac{1}{R}-
\frac{1}{r}\right).$$
Riktig svar: B.

\vspace{5mm}
{\bf Oppgave 11}\\
CM er i origo ved $t=0$. 1/3 av den totale massen beveger seg deretter med hastighet $V$ i positiv
$x$-retning. Ved tidspunktet $T$ er derfor $X_{\rm CM} = VT/3$.
Riktig svar: B.

\vspace{5mm}
{\bf Oppgave 12}\\
Hvis kraften $F$ virker p{\aa} et system med masse $3M$, blir akselerasjonen til CM konstant og lik
$F/3M$. Dermed blir hastigheten til CM ved tidspunktet $T$ lik $FT/3M$.
Riktig svar: B.

\vspace{5mm}
{\bf Oppgave 13}\\
Hvis kraften $F$ virker p{\aa} et system med masse $3M$, blir akselerasjonen til CM konstant og lik
$F/3M$. Dermed blir hastigheten til CM ved tidspunktet $T$ lik $FT/3M$.
Riktig svar: B.

\vspace{5mm}
{\bf Oppgave 14}\\
Alle fire punktmasser er i ''kvadrert avstand'' $\rho^2 = L^2/2$ fra aksen. Dermed:
$$I_0 = 4M\rho^2 = 2ML^2.$$
Riktig svar: B.

\vspace{5mm}
{\bf Oppgave 15}\\
Med $I_0$ fra forrige oppgave og Steiners sats: $I = I_0 + 4M (L/2)^2 = 3ML^2$.
Riktig svar: C.

\vspace{5mm}
{\bf Oppgave 16}\\
Med $I_0$ fra forrige oppgave og Steiners sats: $I = I_0 + 4M (L/\sqrt{2})^2 = 4ML^2$.
Dermed: $K = I\omega^2/2 = 2ML^2 \omega^2$.
Riktig svar: B.


\end{document}