\documentclass[11pt]{article}
\usepackage{epsfig}
\usepackage[norsk]{babel}
\topmargin=-1.5cm
\oddsidemargin=-1.0cm
\evensidemargin=-1.0cm
\textheight=25cm
\textwidth=18cm
\setlength{\parindent}{0cm}

\begin{document}
\newcommand{\bold}[1]{\mbox{\boldmath $#1$}}

\begin{center}
\begin{bf}
TFY4104/TFY4125 Fysikk. Institutt for fysikk, NTNU.

L{\o}sningsforslag til Test 7.
\end{bf}
\end{center}

\vspace{5mm}
{\bf Oppgave 1}\\

\vspace{1.0cm}
\noindent
$a)$ {\bf C}

\noindent
$$\bold{F} = q\bold{E} = m\bold{a}$$
Newtons 2. lov. Her er $q=-e$, s{\aa} elektronets akselerasjon blir
$$\bold{a} = -\frac{e}{m} \bold{E}$$
alts{\aa} mot venstre.

\vspace{1.0cm}
\noindent
$b)$ {\bf C}

\noindent 
Totalt elektrisk felt i P er vektorsummen av bidragene fra de fire punktladningene.
Konfigurasjonen i figur 3 gir den st{\o}rste feltstyrken. (Ingen feltbidrag har
her komponent oppover.)


%%FIGURE
\vspace{0.5cm}
\centerline{\epsfxsize=4.2in \epsfbox{los2_fig3.eps}}
\vspace{0.5cm}
%%END FIGURE


%%HER: c) og d)

\vspace{0.4cm}
\noindent
$c)$ Kreftene fra ladningene i $B$ og $C$ er like store og motsatt rettet og gir
derfor null netto bidrag. Kraften fra ladningen i $A$ peker langs $OD$. (Vektor-)Summen
av kreftene fra de to ladningene midt p{\aa} $CD$ og $BD$ m{\aa} peke langs
$OA$. I absoluttverdi m{\aa} hver av disse v{\ae}re n{\o}yaktig dobbelt s{\aa}
store som kraften fra ladningen i $A$, ettersom avstanden $OA$ er $\sqrt{2}$ ganger
s{\aa} stor som avstanden fra $O$ ut til de to midtpunktene. I absoluttverdi er
vektorsummen av kreftene fra de to ladningene midt p{\aa} $CD$ og $BD$ en faktor
$\sqrt{2}$ st{\o}rre enn lengden av hver av dem. F{\o}lgelig er denne vektorsummen
ogs{\aa} st{\o}rre enn kraften fra ladningen i $A$. Dermed m{\aa} totalkraften peke
langs $OA$.


\vspace{0.4cm}
\noindent
$d)$ Newtons 3. lov: Kraft og motkraft er motsatt rettet og like store i absoluttverdi.


\newpage

{\em Oppgave 2}

\vspace{0.1cm}
\noindent
$a)$ N{\aa}r $a\gg R_0$, kunne en i f{\o}rste omgang
tenke seg {\aa} erstatte $\sqrt{a^2+R_0^2}$
med $a$. Da f{\aa}r vi imidlertid bare den ''trivielle'' l{\o}sningen $E_z = 0$, mens vi er
interessert i det dominerende ikke-forsvinnende bidraget til $E_z$. Det betyr at vi m{\aa}
rekkeutvikle $\sqrt{a^2+R_0^2}$ og ta med s{\aa} mange ledd at vi alt i alt ender opp med
noe som er forskjellig fra null:
\begin{eqnarray}
E_z &=& \frac{\sigma}{2\varepsilon_0}\left(1-\frac{a}{a\sqrt{1+\frac{R_0^2}{a^2}}}\right)\nonumber \\
&=&\frac{\sigma}{2\varepsilon_0}\left(1-\left(1-\frac{R_0^2}{2a^2}+\cdots\right)\right)\nonumber \\
&\simeq&\frac{\sigma R_0^2}{4\varepsilon_0 a^2} \nonumber \\
&=& \frac{Q}{4\pi\varepsilon_0 a^2} \nonumber
\end{eqnarray}
Her har vi brukt tiln{\ae}rmelsen som var gitt i oppgaveteksten, $(1+\alpha)^{-1/2} \simeq 1 - \alpha/2$,
med $\alpha = R_0^2/a^2 \ll 1$.

\noindent
Dette er feltet i avstand $a$ fra en punktladning $Q=\sigma A$, 
der $A = \pi R_0^2$ er arealet av sirkelskiva. Som forventet: Er vi tilstrekkelig langt borte, ser
vi ikke forskjell p{\aa} ei ladet skive og en punktladning.

\vspace{0.2cm}
\noindent
$b)$ I den motsatte grensen, $R_0 \gg a$, kan vi neglisjere leddet $a/\sqrt{a^2+R_0^2}$ i forhold til 1.
Vi f{\aa}r da
$$E_z = \frac{\sigma}{2\varepsilon_0}$$
Alts{\aa} et uniformt elektrisk felt som verken avhenger av avstanden $a$ eller skivas utstrekning
$R_0$. Dermed m{\aa} dette v{\ae}re feltet utenfor et {\em uendelig stort plan} med ladningstetthet
$\sigma$. Det er kanskje ikke umiddelbart opplagt at feltet da blir {\em uavhengig av avstanden}
til planet, men slik er det alts{\aa}! Selv om vi i praksis ikke har uendelig store flater til 
r{\aa}dighet, er dette et viktig resultat: Med et stort ladet plan genererer vi et tiln{\ae}rmet uniformt
elektrisk felt i n{\ae}rheten av planet, s{\aa} lenge vi ikke kommer for n{\ae}r planets ytterkanter. Vi skal
bruke dette resultatet flere ganger senere, ikke minst i tilknytning til kondensatorer.


\vspace{0.2cm}
\noindent
$c)$ Feltstyrken avtar med kvadratet av avstanden. N{\aa}r avstanden {\o}ker fra 1 m til 5 m,
avtar feltstyrken med en faktor 25. Dermed 250/25 kN/C = 10 kN/C.

\end{document}