\documentclass[11pt,a4paper]{article} \usepackage{epsfig} \usepackage[norsk]{babel} \topmargin=-1.5cm \oddsidemargin=-1.0cm \evensidemargin=-1.0cm \textheight=25cm \textwidth=18cm \setlength{\parindent}{0cm} \begin{document} \newcommand{\bold}[1]{\mbox{\boldmath $#1$}} \begin{center} \begin{bf} TFY4104/TFY4125 Fysikk. Institutt for fysikk, NTNU. Test 6. \end{bf} \end{center} \vspace{5mm} {\bf Oppgave 1}\\ CO$_2$-molekylet er line{\ae}rt, O = C = O, med CO bindingslengde (ca) 1.16 {\AA}. (1 {\AA} = $10^{-10}$ m.) Praktisk talt hele massen til hvert atom er samlet i den bittelille kjernen, s{\aa} fordelingen av masse i molekylet kan beskrives med tre punktmasser, der $m = 12.01 u$ for karbon og $M = 16.00 u$ for oksygen. ($1u = 1.66 \cdot 10^{-27}$ kg.) Vi legger molekylet p{\aa} $z$-aksen, med karbonatomet i origo. Hva er da molekylets treghetsmoment $I_z$ (dvs med hensyn p{\aa} $z$-aksen)? \\ A Null \\ B $16.2 u${\AA}$^2$ \\ C $21.5 u${\AA}$^2$ \\ D $43.1 u${\AA}$^2$ \\ E $59.2 u${\AA}$^2$ \\ \vspace{5mm} {\bf Oppgave 2}\\ Med plassering som i forrige oppgave, hva er $I_x$, dvs CO$_2$-molekylets treghetsmoment mhp $x$-aksen? (Og av symmetrigrunner er selvsagt $I_y = I_x$.) \\ A Null \\ B $16.2 u${\AA}$^2$ \\ C $21.5 u${\AA}$^2$ \\ D $43.1 u${\AA}$^2$ \\ E $59.2 u${\AA}$^2$ \\ \vspace{5mm} {\bf Oppgave 3}\\ Ozonmolekylet, O$_3$, er ikke line{\ae}rt. (Og heller ikke med form som en likesidet trekant.) Bindingsvinkelen O-O-O er ca 116.8 grader, og bindingslengden O-O er ca 1.28 {\AA}. Med det sentrale oksygenatomet og molekylets massesenter (CM) plassert p{\aa} $x$-aksen, hva er molekylets treghetsmoment $I_x$, dvs med hensyn p{\aa} $x$-aksen? \\ A Null \\ B $26.2 u${\AA}$^2$ \\ C $38.0 u${\AA}$^2$ \\ D $52.4 u${\AA}$^2$ \\ E $78.6 u${\AA}$^2$ \\ \newpage %\vspace{5mm} {\bf Oppgave 4}\\ Hva er treghetsmomentet til ei kvadratisk plate med masse $M$ (uniformt fordelt - underforst{\aa}tt med mindre noe annet er opplyst) og sidekanter $L$, med hensyn p{\aa} en akse gjennom CM, normalt p{\aa} plata? (Tips: $\rho^2=x^2+y^2$, $dm=Mdxdy/L^2$.) \\ A $ML^2/12$ \\ B $ML^2/8$ \\ C $ML^2/6$ \\ D $ML^2/4$ \\ E $ML^2/3$ \\ \vspace{5mm} {\bf Oppgave 5}\\ Hva er treghetsmomentet til ei kvadratisk plate med masse $M$ og sidekanter $L$, mhp en akse gjennom CM, i platas plan, normalt p{\aa} to av platas sidekanter? (Tips: $\rho^2=y^2$, $dm=Mdy/L$.) \\ A $ML^2/12$ \\ B $ML^2/8$ \\ C $ML^2/6$ \\ D $ML^2/4$ \\ E $ML^2/3$ \\ \vspace{5mm} {\bf Oppgave 6}\\ Hva er treghetsmomentet til ei kvadratisk plate med masse $M$ og sidekanter $L$, mhp en akse gjennom CM, i platas plan, langs platas diagonal? (Tips: Legg diagonalen langs $x$-aksen, i $xy$-planet. Tegn figur! Regn f{\o}rst ut $I_x$ for den fjerdedelen som ligger i kvadranten der $x>0$ og $y>0$. Del denne inn i tynne striper med h{\o}yde $L/\sqrt{2}-y$, bredde $dy$, avstand $\rho=y$ til $x$-aksen, og dermed masse $dm=Mdy(L/\sqrt{2}-y)/L^2$.) \\ A $ML^2/12$ \\ B $ML^2/8$ \\ C $ML^2/6$ \\ D $ML^2/4$ \\ E $ML^2/3$ \\ \vspace{5mm} {\bf Oppgave 7}\\ Et sykkelhjul med masse 5.0 kg jevnt fordelt rundt felgen i avstand 30 cm fra sentrum settes i rotasjon ved at en konstant kraft p{\aa} 45 N f{\aa}r virke p{\aa} hjulet i et halvt sekund. Kraften angriper i og har retning tangentielt til felgen. Eikenes masse er mye mindre enn felgmassen og kan derfor neglisjeres. Hva blir sykkelhjulets vinkelhastighet n{\aa}r kraften har virket det halve sekundet? \\ A 5 radianer pr sekund \\ B 10 radianer pr sekund \\ C 15 radianer pr sekund \\ D 20 radianer pr sekund \\ E 25 radianer pr sekund \\ \vspace{5mm} {\bf Oppgave 8}\\ En hul sylinder med masse 0.1 kg ruller uten {\aa} gli nedover et skr{\aa}plan med akselerasjon 0.6 m/s$^2$. Hvor stor er friksjonskraften fra skr{\aa}planet p{\aa} sylinderen? \\ A 0.06 N \\ B 0.30 N \\ C 0.60 N \\ D 0.90 N \\ E 1.15 N \\ \vspace{5mm} {\bf Oppgave 9}\\ Hva er helningsvinkelen p{\aa} skr{\aa}planet i forrige oppgave? \\ A 7 grader \\ B 13 grader \\ C 19 grader \\ D 25 grader \\ E 31 grader \\ \vspace{5mm} {\bf Oppgave 10}\\ Ei kasse med kubisk form (alle sidekanter like lange) st{\aa}r p{\aa} et lastebilplan. Statisk friksjonskoeffisient mellom underlaget og kassa er 1.3. Lastebilplanet heves langsomt slik at helningsvinkelen blir st{\o}rre og st{\o}rre. Hva vil skje? \\ A Kassa begynner {\aa} gli n{\aa}r helningsvinkelen overstiger 28 grader. \\ B Kassa velter n{\aa}r helningsvinkelen overstiger 28 grader. \\ C Kassa begynner {\aa} gli n{\aa}r helningsvinkelen overstiger 45 grader. \\ D Kassa velter n{\aa}r helningsvinkelen overstiger 45 grader. \\ E Kassa begynner {\aa} gli n{\aa}r helningsvinkelen overstiger 52 grader. \\ \newpage %\vspace{5mm} {\bf Oppgave 11}\\ P{\aa} en jojo med masse $M$ er ei snor med neglisjerbar masse viklet opp rundt en aksling med radius $R$. Jojoen har treghetsmoment $I_0$ mhp (den {\aa}penbare) rotasjonsaksen. Snora festes i taket, og jojoen slippes, slik at den vikles av snora uten at snora glir relativt akslingen. Hvor stor blir jojoens akselerasjon $a$? \\ A $a = g(1 + I_0/MR^2)$ \\ B $a = g(1 - I_0/MR^2)$ \\ C $a = g/(1 + I_0/MR^2)$ \\ D $a = g/(1 - I_0/MR^2)$ \\ E $a = g$ \\ \vspace{5mm} {\bf Oppgave 12}\\ Ei tynn stang med masse $M$ (uniform masse pr lengdeenhet) og lengde $L$ st{\aa}r i utgangspunktet rett opp og ned i tyngdefeltet. Stanga er festet til og kan rotere friksjonsfritt omkring en aksling i den nederste enden. Stangas treghetsmoment mhp en akse som faller sammen med denne akslingen er derfor $ML^2/3$. Stanga gis en {\o}rliten dytt slik at den begynner {\aa} rotere om akslingen. Hva blir stangas vinkelakselerasjon $\alpha$ som funksjon av vinkelen $\phi$ mellom stanga og vertikalen (loddlinjen)? \\ A $\alpha = (g/L)\sin\phi$ \\ B $\alpha = (g/3L)\tan\phi$ \\ C $\alpha = (2g/3L)\cos\phi$ \\ D $\alpha = (3g/7L)\tan\phi$ \\ E $\alpha = (3g/2L)\sin\phi$ \\ \vspace{5mm} {\bf Oppgave 13}\\ Et hjul med radius $R$ ruller uten {\aa} gli med konstant hastighet $V$ bortover et flatt gulv, i positiv $x$-retning. Loddrett opp velges som positiv $y$-retning. Banen til et punkt P p{\aa} periferien til hjulet har da koordinatene $x(t)=Vt-R\sin\omega t$ og $y(t)=R-R\cos\omega t$, dvs punktet P har kontakt med gulvet ved tidspunktet $t=0$. Hva er akselerasjonen $a(t)$ til punktet P (i absoluttverdi)? \\ A $a(t) = V^2/R$ \\ B $a(t) = \omega^2 R \cos \omega t$ \\ C $a(t) = \omega V \sin \omega t$ \\ D $a(t) = (V/t) \sin^2 \omega t$ \\ E $a(t) = V/t$ \\ \vspace{5mm} {\bf Oppgave 14}\\ Ei kompakt kule ruller uten {\aa} gli med konstant hastighet bortover et flatt gulv. Luftmotstand kan neglisjeres. I hvilken retning virker n{\aa} friksjonskraften fra gulvet p{\aa} kula? \\ A Loddrett oppover \\ B Loddrett nedover \\ C I motsatt retning av kulas hastighet \\ D I samme retning som kulas hastighet \\ E Friksjonskraften er null \\ \vspace{5mm} {\bf Oppgave 15}\\ Ei kompakt kule sendes avg{\aa}rde oppover et skr{\aa}plan slik at den ruller uten {\aa} gli. I hvilken retning virker friksjonskraften fra skr{\aa}planet p{\aa} kula? \\ A Oppover langs skr{\aa}planet \\ B Nedover langs skr{\aa}planet \\ C Loddrett p{\aa} skr{\aa}planet, oppover \\ D Loddrett p{\aa} skr{\aa}planet, nedover \\ E Friksjonskraften er null \\ \vspace{5mm} {\bf Oppgave 16}\\ %%FIGURE \centerline{\epsfxsize=4.0in \epsfbox{test6nr1.eps}} %%END FIGURE Figuren viser fire like staver som utsettes for samme ytre kraft $\bold{F}$, men med ulike angrepspunkt. Hva kan du da si om absoluttverdien $A_i$ til akselerasjonen til massesenteret til stav nr $i$ ($i=1,2,3,4$)? \\ A $A_1 > A_2 > A_3 = A_4$ \\ B $A_1 = A_2 = A_3 = A_4$ \\ C $A_1 < A_2 < A_3 = A_4$ \\ D $A_1 = A_2 < A_3 = A_4$ \\ E $A_1 > A_2 = A_3 > A_4$ \\ \vspace{5mm} {\bf Oppgave 17}\\ %%FIGURE \centerline{\epsfxsize=4.0in \epsfbox{test6nr2.eps}} %%END FIGURE Figuren viser en kloss og en spole med like stor masse. De trekkes med samme snordrag $S$ mot h{\o}yre. Snora er viklet flere ganger rundt spolen (som p{\aa} ei tr{\aa}dsnelle). P{\aa} klossen er snora festet litt under midten p{\aa} den ene sideflaten. Det er ingen friksjon mot underlaget. Hvilket legeme bryter m{\aa}llinjen f{\o}rst? Roterer spolen n{\aa}r den bryter m{\aa}llinjen? \\ A Klossen bryter m{\aa}llinjen f{\o}rst. Spolen roterer. \\ B Klossen bryter m{\aa}llinjen f{\o}rst. Spolen roterer ikke. \\ C Klossen og spolen bryter m{\aa}llinjen samtidig. Spolen roterer. \\ D Klossen og spolen bryter m{\aa}llinjen samtidig. Spolen roterer ikke. \\ E Spolen bryter m{\aa}llinjen f{\o}rst. Spolen roterer. \\ \vspace{5mm} {\bf Oppgave 18}\\ %%FIGURE \centerline{\epsfxsize=3.0in \epsfbox{test6nr3.eps}} %%END FIGURE En kloss (legeme 1) og to legemer som kan rulle (nr 2 og 3) har alle like stor masse. Klossen glir, de to andre ruller rent. De tre slippes samtidig fra samme h{\o}yde p{\aa} skr{\aa}planet. Legeme 3 n{\aa}r bunnen av skr{\aa}planet f{\o}rst, nr 1 og 2 har kommet like langt men er enn{\aa} ikke helt nede. Ranger friksjonskreftene fra skr{\aa}planet p{\aa} de tre legemene. \\ A $f_1 = f_2 > f_3$ \\ B $f_1 > f_2 > f_3$ \\ C $f_2 < f_1 < f_3$ \\ D $f_1 = f_2 < f_3$ \\ E $f_1 = f_2 = f_3$ \\ \vspace{5mm} {\bf Oppgave 19}\\ %%FIGURE \centerline{\epsfxsize=1.5in \epsfbox{test6nr4.eps}} %%END FIGURE Figuren viser en {\em Atwoods maskin} som best{\aa}r av to lodd med masser $m_1$ og $m_2 S_2$. \\ D Nr 1 g{\aa}r ned, nr 2 g{\aa}r opp. $S_1 < S_2$. \\ E Nr 1 g{\aa}r opp, nr 2 g{\aa}r ned. $S_1 < S_2$. \\ \vspace{4mm} %\newpage {\bf Oppgave 20}\\ Hvis du m{\aa}ler loddenes hastighet $v$ i forrige oppgave, kan du umiddelbart konkludere med at skiva roterer med vinkelhastighet \\ A $v^2/R$ \\ B $v/R$ \\ C $vR$ \\ D $R/v$ \\ E $v/R^2$ \\ \vspace{5mm} {\bf Oppgave 21}\\ Hva er n{\aa} systemets (dvs skive + to lodd) totale dreieimpuls relativt skivas massesenter? \\ A $L = (m_1 + m_2 + M/2)vR$ \\ B $L = MvR/2$ \\ C $L = (m_1 - m_2 + M/2)vR$ \\ D $L = (m_1 + m_2)vR$ \\ E $L = MR^2/2$ \\ \vspace{5mm} {\bf Oppgave 22}\\ Anta n{\aa} at det ikke er friksjon mellom snora og skiva i Atwood-maskinen ovenfor. La $b = m_2/m_1 < 1$ betegne forholdet mellom de to loddmassene. Hva blir loddenes akselerasjon $a$? \\ A $a=g$ \\ B $a = g(1-b)$ \\ C $a = g(1+b)/(1-b)$ \\ D $a = g(1+b)(1-b)$ \\ E $a = g(1-b)/(1+b)$ \\ \newpage %\vspace{5mm} {\bf Oppgave 23}\\ %%FIGURE \centerline{\epsfxsize=4.0in \epsfbox{test6nr12.eps}} %%END FIGURE Den {\o}verste grafen viser posisjon som funksjon av tid for en partikkel i harmonisk svingning. Hvilken av de nederste kurvene viser da partikkelens akselerasjon som funksjon av tid? \\ A Graf nr 1 \\ B Graf nr 2 \\ C Graf nr 3 \\ D Graf nr 4 \\ E Ingen av dem \\ \vspace{5mm} {\bf Oppgave 24}\\ Akselerasjonen $a(t)$ til en masse som svinger harmonisk langs $x$-aksen er gitt ved $a(t)=-40 x(t)$, der $x(t)$ er massens posisjon, og alle st{\o}rrelser og tallverdier inng{\aa}r i SI-enheter. Hva er da svingningens periode (svingetid) $T$? \\ A $T = 1.0$ s \\ B $T = 2.0$ s \\ C $T = 3.0$ s \\ D $T = 4.0$ s \\ E $T = 5.0$ s \\ \vspace{3mm} {\bf Oppgave 25}\\ En masse er festet til ei massel{\o}s fj{\ae}r og svinger harmonisk med amplitude 4.0 cm. N{\aa}r massen er 2.0 cm fra sin likevektsstilling, hvor stor br{\o}kdel utgj{\o}r den potensielle energien av den totale energien? \\ A 1/2 \\ B 1/3 \\ C 1/4 \\ D 1/5 \\ E 1/6 \\ \newpage {\bf Oppgave 26}\\ %%FIGURE \centerline{\epsfxsize=4.0in \epsfbox{test6nr17.eps}} %%END FIGURE En kloss med masse 2.5 kg har starthastighet $v$ og glir p{\aa} et bord, uten friksjon, med retning mot ei fj{\ae}r med fj{\ae}rkonstant 500 N/m. Fj{\ae}ras maksimale sammenpressing blir 5.0 cm. Hvor stor starthastighet $v$ hadde da klossen? \\ A 0.71 m/s \\ B 1.00 m/s \\ C 1.40 m/s \\ D 1.55 m/s \\ E 1.70 m/s \\ \vspace{5mm} {\bf Oppgave 27}\\ %%FIGURE \centerline{\epsfxsize=3.0in \epsfbox{test7nr1.eps}} %%END FIGURE Prinsippet for en mekanisk klokke er et hjul med treghetsmoment $I$ festet til ei spiralfj{\ae}r som virker p{\aa} hjulet med et dreiemoment $\tau$ som er proporsjonalt med hjulets dreining $\theta$ (m{\aa}lt i radianer, selvsagt) relativt spiralfj{\ae}ras likevektsstilling, $\tau=-D\theta$. Her er $D$ spiralfj{\ae}ras torsjonsstivhet. Hva blir hjulets svingetid $T$ for periodiske (harmoniske) svingninger omkring likevektsstillingen? \\ A $T = 2\pi\sqrt{I/D}$ \\ B $T = \sqrt{I/D}/2\pi$ \\ C $T = 2\pi\sqrt{D/I}$ \\ D $T = \sqrt{D/I}/2\pi$ \\ E $T = 2\pi\sqrt{DI}$ \\ \vspace{5mm} {\bf Oppgave 28}\\ Ei kompakt kule med masse 1.0 kg og radius 5.0 cm henger i ei tiln{\ae}rmet massel{\o}s snor med lengde 2.5 cm. Hva blir kulas svingetid (periode) for harmoniske svingninger med sm{\aa} utsving? (For kompakt kule er $I_0=2MR^2/5$.) \\ A 0.2 s \\ B 0.4 s \\ C 0.6 s \\ D 0.8 s \\ E 1.0 s \\ \vspace{5mm} %\newpage {\bf Oppgave 29}\\ %%FIGURE \centerline{\epsfxsize=2.5in \epsfbox{test7nr3.eps}} %%END FIGURE Denne juletrekula har radius $R$ og henger i en tynn tr{\aa}d med lengde $R$. Hva blir juletrekulas svingetid n{\aa}r katten Petter s{\aa}vidt n{\aa}r opp og gir den en dask med poten sin? ($I_0=2MR^2/3$) \\ A $2\pi\sqrt{R/3g}$ \\ B $2\pi\sqrt{R/g}$ \\ C $2\pi\sqrt{5R/3g}$ \\ D $2\pi\sqrt{7R/3g}$ \\ E $2\pi\sqrt{3R/g}$ \\ \vspace{5mm} {\bf Oppgave 30}\\ I en dempet, fri svingning med fj{\ae}rkraft $-kx$ og friksjonskraft (dempingskraft) $-b\dot{x}$ (der $x(t)$ er utsvinget) vil oscillatorens mekaniske energi $E=m\dot{x}^2/2+kx^2/2$ avta med tiden $t$. Tapt mekanisk energi pr tidsenhet, $|dE/dt|$, er da proporsjonal med... \\ A ... utsvinget $x$ \\ B ... hastigheten $\dot{x}$ \\ C ... produktet av $x$ og $\dot{x}$ \\ D ... kvadratet av utsvinget, $x^2$ \\ E ... kvadratet av hastigheten, $\dot{x}^2$ \\ \newpage %\vspace{5mm} {\bf Oppgave 31}\\ %%FIGURE \centerline{\epsfxsize=3.0in \epsfbox{test7nr5.eps}} %%END FIGURE Stolen i ISS har masse 42 kg og svinger opp og ned som en enkel harmonisk oscillator med periode 0.79 s uten astronauten p{\aa}. Med astronauten p{\aa} er perioden 1.36 s. Hva er astronautens masse? \\ A 72 kg \\ B 77 kg \\ C 82 kg \\ D 87 kg \\ E 92 kg \\ \vspace{5mm} {\bf Oppgave 32}\\ En kloss med masse $m$ ligger p{\aa} et bord og er festet til ei ideell fj{\ae}r med fj{\ae}rkonstant $k$. Friksjonskoeffisientene mellom kloss og bord er $\mu_s$ (statisk) og $\mu_k$ (kinetisk). Klossen trekkes en avstand $A$ ut fra likevekt (slik at fj{\ae}ra strekkes) og slippes med null starthastighet. Hvilke(t) krav m{\aa} vi stille til $A$ for at klossen skal begynne {\aa} gli? \\ A $A > \mu_s mg/k$ \\ B $A < \mu_s mg/k$ \\ C $A > gk/\mu_s m$ \\ D $A < gk/\mu_s m$ \\ E $A > mg/\mu_s k$ \\ %\vspace{5mm} \newpage {\bf Oppgave 33}\\ %%FIGURE \centerline{\epsfxsize=2.7in \epsfbox{test7nr18.eps}} %%END FIGURE Figuren ovenfor viser en dempet svingning der utsvinget er gitt som $$x(t)=Ae^{-t/\tau}\,\cos(\omega t+\phi).$$ Hva er omtrent $\ddot{x}(0)$ for denne oscillatoren? \\ A $+1.5$ m/s$^2$ \\ B $-1.5$ m/s$^2$ \\ C $+15$ m/s$^2$ \\ D $-15$ m/s$^2$ \\ E $-22$ m/s$^2$ \\ \vspace{5mm} {\bf Oppgave 34}\\ Ansl{\aa} dempingstiden $\tau$ i uttrykket for $x(t)$ i forrige oppgave. \\ A ca 5 s \\ B ca 10 s \\ C ca 15 s \\ D ca 20 s \\ E ca 25 s \\ \vspace{5mm} {\bf Oppgave 35}\\ Vi betrakter frie svingninger i en enkel udempet endimensjonal harmonisk oscillator, mer presist en masse $m$ festet til ei ideell fj{\ae}r med fj{\ae}rkonstant $k$. Hvilken av p{\aa}standene nedenfor er da feil? \\ A Den totale mekaniske energien endrer seg ikke med tiden. \\ B Den kinetiske energien oscillerer med periode $2\pi\sqrt{m/k}$. \\ C En dobling av massen reduserer svingefrekvensen med i underkant av tredve prosent. \\ D Massens utsving fra likevekt og dens akselerasjon er i motfase. \\ E Massens utsving fra likevekt og dens hastighet har en faseforskjell p{\aa} nitti grader. \\ \end{document}