<html><head><meta name="color-scheme" content="light dark"></head><body><pre style="word-wrap: break-word; white-space: pre-wrap;">\documentclass[12pt]{article}
\usepackage{epsfig}
\topmargin=-0.5cm
\oddsidemargin=-0.5cm
\evensidemargin=-0.5cm
\textheight=23cm
\textwidth=17cm
\begin{document}
\newcommand{\bold}[1]{\mbox{\boldmath $#1$}}
\begin{bf}
\noindent
Institutt for fysikk, NTNU

\noindent
TFY4155/FY1003: Elektrisitet og magnetisme

\noindent
V{\aa}r 2008

\end{bf}

\begin{center}
\begin{large}
{\O}ving 4
\end{large}
\end{center}

\noindent
Veiledning: Fredag 1. og mandag 4. februar

\noindent
Innleveringsfrist: Fredag 8. februar

\vspace{1.0cm}
\noindent
{\em Oppgave 1}

%%FIGURE
\vspace{0.5cm}
\centerline{\epsfxsize=2.0in \epsfbox{ov4_fig1.eps}}
\vspace{0.5cm}
%%END FIGURE

\vspace{0.3cm}
\noindent
I oppgave 4 i {\o}ving 3 betraktet vi en elektrisk dipol, best{\aa}ende av to
punktladninger $\pm q$ lokalisert p{\aa} $z$-aksen i $z = \pm a/2$. Vi viste at
potensialet $V$ i stor avstand ($r \gg a$) fra dipolen er tiln{\ae}rmet lik
$$V(r,\theta) = \frac{p\cos\theta}{4\pi\varepsilon_0 r^2}$$
Her er $r$ avstanden fra origo, dvs dipolens midtpunkt, $\theta$ er vinkelen
mellom $z$-aksen og $\bold{r}$, og $p = |\bold{p}| = qa$ er dipolens elektriske dipolmoment.

\vspace{0.3cm}
\noindent
$a)$ Ta utgangspunkt i uttrykket for $V(r,\theta)$ og bestem det elektriske feltet
$\bold{E}(r,\theta) = E_r \hat{r} + E_\theta \hat{\theta}$ i stor avstand fra dipolen.

\noindent
Det oppgis at gradientoperatoren i kulekoordinater er
$$\nabla = \hat{r}\frac{\partial}{\partial r} + \hat{\theta}\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial\theta} +
\hat{\phi}\frac{1}{r\sin\theta}\frac{\partial}{\partial\phi}$$

\noindent
% [Fasit: $E_r=p\cos\theta/2\pi\varepsilon_0 r^3$, $E_\theta=p\sin\theta/4\pi\varepsilon_0 r^3$.]

\noindent
Du f{\aa}r ikke oppgitt noe fasitsvar her, men du kan til en viss grad sjekke
om du har regnet riktig ved {\aa} se om resultatet virker rimelig 
for $\theta = 0$ og for $\theta = \pi/2$. Hva med $r = 0$?

\vspace{0.3cm}
\noindent
$b)$ P{\aa} grunn av rotasjonssymmetrien omkring $z$-aksen kan vi f.eks. anta at vi
befinner oss i $xz$-planet.
Bestem det elektriske feltet $\bold{E}(x,z) = E_x\hat{x}+E_z\hat{z}$ uttrykt i kartesiske
koordinater for $r \gg a$. Tips: Ta utgangspunkt i uttrykkene for $E_r$ og $E_\theta$ i punkt $a)$.
Tegn opp en figur og finn sammenhengen mellom koordinatene $(x,z)$ og $(r,\theta)$, og
feltkomponentene $E_x, E_z$ og $E_r, E_\theta$.

\noindent
[Fasit: $E_x=3pxz/4\pi\varepsilon_0 (x^2+z^2)^{5/2}$, $E_z=p(2z^2-x^2)/4\pi\varepsilon_0 (x^2+z^2)^{5/2}$.]

\vspace{0.3cm}
\noindent
$c)$ Bestem ogs{\aa} $\bold{E}(x,z)$ ved f{\o}rst {\aa} skrive om
$V(r,\theta)$ til $V(x,z)$, og deretter anvende gradientoperatoren i kartesiske koordinater.

\vspace{0.3cm}
\noindent
$d)$ En {\em ideell elektrisk dipol} tilsvarer (formelt) at vi lar avstanden $d$ mellom $q$ og $-q$
g{\aa} mot null, uten at dipolmomentet $p = qd$ forsvinner. Det inneb{\ae}rer at vi m{\aa} la
$q \rightarrow \infty$ og $d \rightarrow 0$ samtidig, og p{\aa} en slik m{\aa}te at produktet
$p = qd$ blir endelig (dvs verken null eller uendelig). I {\em praksis} tilsvarer dette at vi befinner
oss i stor avstand $r$ fra dipolen, slik vi nettopp har gjort i denne oppgaven.

\noindent
Det elektriske feltet fra en slik ideell elektrisk dipol kan skrives p{\aa} s{\aa}kalt
{\em koordinatfri form}:
$$\bold{E}_{\rm dipol}(\bold{r}) = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0 r^3}
\left[ 3 \left( \bold{p} \cdot \hat{r} \right) \hat{r} - \bold{p} \right]$$
Vis at dette uttrykket er i samsvar med $\bold{E}(r,\theta)$ og $\bold{E}(x,z)$ som du
regnet ut i hhv $a)$ og $b)$.



\vspace{2cm}
\noindent
{\em Oppgave 2 (fra tidligere midtsemesterpr{\o}ver)}

\vspace{0.6cm}
\noindent
$a)$ Fire punktladninger, to positive og to negative
($q = 9 \; \mu$C), er plassert i hj{\o}rnene p{\aa} et kvadrat med sidekanter
5 cm, som vist i figuren. Hva er systemets potensielle energi?

\vspace{0.3cm}
\noindent
\parbox{8cm}{
\begin{tabular}{cl}
A &amp;  19 J \\
B &amp;  Null \\
C &amp;  -7 J \\
D &amp;  -38 J
\end{tabular}
}
\parbox{8cm}{
%%FIGURE
\centerline{\epsfxsize=1.8in \epsfbox{mid3_fig5.eps}}
%%END FIGURE
}


%\newpage
\vspace{0.4cm}
\noindent
$b)$ To punktladninger $Q_1 = 69$ nC og $Q_2 = -98$ nC er plassert i $xy$-planet,
som vist i figuren. Et elektron flyttes fra punkt A til punkt B. Hvor stor
endring gir denne forflytningen i systemets potensielle energi?
("Systemet" = de to punktladningene og elektronet.)
(1 eV = $1.6 \cdot 10^{-19}$ J)

\vspace{0.2cm}
\noindent
\parbox{8cm}{
\begin{tabular}{cl}
A &amp;  -1 keV \\
B &amp;  -1 eV \\
C &amp;  1 eV  \\
D &amp;  1 keV
\end{tabular}
}
\parbox{8cm}{
%%FIGURE
\centerline{\epsfxsize=2.0in \epsfbox{mid3_fig6.eps}}
%%END FIGURE
}


\newpage
\noindent
$c)$ Hvor stor er radien til en (kuleformet) ekvipotensialflate p{\aa}
50 V med en punktladning $10$ nC i sentrum? Null potensial velges uendelig langt unna.

\begin{tabular}{cl}
A &amp; 1.3 m \\
B &amp; 1.8 m \\
C &amp; 3.2 m \\
D &amp; 5.0 m
\end{tabular}

\vspace{0.7cm}
\noindent
$d)$ Potensialet i et omr{\aa}de er $V(x,y,z)=100$ V. Det elektriske
feltet $\bold{E}$ i dette omr{\aa}det er da

\begin{tabular}{cl}
A &amp; (100 V/m) $\hat{x}$ \\
B &amp; (100 V/m) $\hat{y}$ \\
C &amp; (100 V/m) $\hat{z}$ \\
D &amp; null
\end{tabular}


%\newpage
\vspace{0.5cm}
\noindent
$e)$ Hvis potensialet $V$ som funksjon av avstanden $r$ fra en ladningsfordeling er
som vist i graf nr 1, hvilken graf viser da det elektriske feltet $E$
som funksjon av avstanden $r$?

\noindent
\parbox{8cm}{
\begin{tabular}{cl}
A &amp;  2 \\
B &amp;  3 \\
C &amp;  4 \\
D &amp;  5
\end{tabular}
}
\parbox{8cm}{
%%FIGURE
\centerline{\epsfxsize=2.5in \epsfbox{mid1_fig7.eps}}
%%END FIGURE
}

\vspace{1.0cm}
\noindent
$f)$ Potensialet i et omr{\aa}de er
$$V(x) = 50 \;{\rm V} + (15 \;{\rm V/m}) x$$
Det elektriske feltet i dette omr{\aa}det er da

\vspace{0.2cm}
\noindent
\begin{tabular}{cl}
A &amp;  50 V $\hat{x}$ \\
B &amp;  (15 V/m) $x \; \hat{x}$ \\
C &amp;  (15 V/m) $\hat{x}$ \\
D &amp;  --(15 V/m) $\hat{x}$
\end{tabular}

\vspace{1.0cm}
\noindent
$g)$ Potensialet i et omr{\aa}de er
$$V(x,y,z) = (2 \;{\rm V/m}) x + (3 \;{\rm V/m}) y + (4 \;{\rm V/m}) z$$
Da er $x$-komponenten av det elektriske feltet i dette omr{\aa}det

\vspace{0.2cm}
\noindent
\begin{tabular}{cl}
A &amp; --2 V/m \\
B &amp; --3 V/m \\
C &amp; --4 V/m \\
D &amp; --9 V/m
\end{tabular}



\end{document}
</pre></body></html>