\documentclass[11pt]{article}
\usepackage{epsfig}
\usepackage[norsk]{babel}
\topmargin=-2.5cm
\oddsidemargin=-1.0cm
\evensidemargin=-1.0cm
\textheight=25cm
\textwidth=18cm
\setlength{\parindent}{0cm}

\begin{document}
\newcommand{\bold}[1]{\mbox{\boldmath $#1$}}

\begin{center}
\begin{bf}
TFY4104/TFY4125 Fysikk. Institutt for fysikk, NTNU.

L{\o}sningsforslag til {\o}ving 3.
\end{bf}
\end{center}

\vspace{3mm}
{\bf \underline{Oppgave 1.}} \\

$a)$ $|W_f| = f \cdot s = \mu_k N s = 
0.2 \cdot 50 {\rm kg} \cdot 10 {\rm m/s}^2 \cdot 3 {\rm m} = 300 {\rm Nm}.$
Riktig svar: D. \\

$b)$ Pianoet st{\aa}r i ro, da m{\aa} statisk friksjonskraft ''stille seg inn''
slik at den akkurat balanserer skyvkraften p{\aa} 350 N. Riktig svar: B. \\

$c)$ Null nettokraft b{\aa}de tangentielt med og normalt p{\aa} taket:
\begin{eqnarray*}
N &=& m g \sin\theta, \\
f &=& m g \cos\theta.
\end{eqnarray*}
Her er $\theta$ vinkelen mellom horisontalplanet og posisjonsvektoren din,
relativt halvkulas sentrum, og $f$ og $N$ er friksjonskraft og normalkraft,
som vanlig. Rett f{\o}r du begynner {\aa} gli er $f = \mu_s N$, som med
ligningene ovenfor gir
$$\mu_s = \frac{\cos\theta}{\sin\theta},$$
dvs
$$\theta = \arctan(1/\mu_s) = 1.107\;{\rm rad}.$$
Du kan dermed g{\aa} avstanden (buelengden)
$$s = R(\pi/2 - \theta) = 18.5 {\rm m}.$$
Riktig svar: C. \\

$d)$ S{\aa} lenge du har kontakt med taket er akselerasjonen inn mot halvkulas
sentrum lik $v^2/R$. Krefter i denne retningen er $mg\sin\theta$ inn mot sentrum
og $N$ bort fra sentrum. Dermed, med N2:
$$mg\sin\theta - N = m v^2/R.$$
Bevaring av mekanisk energi gir
$$\frac{1}{2}mv^2 = mgR(1-\sin\theta),$$
slik at
$$v^2 = 2gR(1-\sin\theta),$$
som innsatt over gir
$$N = 3 mg \sin\theta - 2mg.$$
Null normalkraft betyr alts{\aa} at
$$\sin\theta = 2/3 \;\;\Rightarrow\;\;\theta=0.730\;{\rm rad},$$
dvs avstanden fra toppen av taket er
$$s = R(\pi/2-\theta) = 33.6\,{\rm m}.$$
Riktig svar: D. \\


\end{document}
