\documentclass[11pt]{article}
\usepackage{epsfig}
\usepackage[norsk]{babel}
\topmargin=-1.5cm
\oddsidemargin=-1.0cm
\evensidemargin=-1.0cm
\textheight=25cm
\textwidth=18cm
\setlength{\parindent}{0cm}

\begin{document}
\newcommand{\bold}[1]{\mbox{\boldmath $#1$}}

\begin{center}
\begin{bf}
TFY4104/TFY4125 Fysikk. Institutt for fysikk, NTNU.

{\O}ving 5.
\end{bf}
\end{center}

\vspace{0.5cm}
\begin{minipage}{0.55\textwidth}
{\bf Oppgave 1: Kulekollisjoner} \\

To kuler med masse $m_1$ og $m_2$ er hengt opp i samme punkt med tynne, vektl{\o}se
snorer med lengde $L$.  Kula med masse $m_1$ trekkes ut til snora er horisontal og slippes.
Den svinger nedover og treffer kula med masse $m_2$ i et sentralt st{\o}t.
Betrakt kulene som punktmasser slik at snorene er vertikale n{\aa}r kollisjonen skjer.
\end{minipage}
\hfill
\begin{minipage}{0.35\textwidth}
%%FIGURE
\vspace{0.2cm}
\centerline{\epsfxsize=2.3in \epsfbox{kulekollisjon.eps}}
\vspace{0.2cm}
%%END FIGURE
\end{minipage}

\vspace{2mm}
$a)$ Hva er hastigheten $v_1$ til massen $m_1$ like f{\o}r st{\o}tet? \\

A) $\sqrt{gL/2}$ \hspace{3mm}
B) $\sqrt{gL}$ \hspace{3mm}
C) $\sqrt{2gL}$ \hspace{3mm}
D) $\sqrt{3gL}$ \hspace{3mm}
E) $\sqrt{4gL}$ \\

$b)$ Hva er strekket $S_1$ i snora som $m_1$ henger i like f{\o}r st{\o}tet? \\

A) $m_1 g$ \hspace{3mm}
B) $2m_1 g$ \hspace{3mm}
C) $3m_1 g$ \hspace{3mm}
D) $4m_1 g$ \hspace{3mm}
E) $5m_1 g$ \\

$c)$ Anta at kulene er klebrige og henger sammen etter kollisjonen, dvs kollisjonen 
er fullstendig uelastisk. Hvor h{\o}yt kommer kulene da etter kollisjonen? \\

A) $L$ \hspace{3mm}
B) $L\cdot(m_1/m_2)$ \hspace{3mm}
C) $L\cdot(m_1/(m_1+m_2))$ \hspace{3mm}
D) $L\cdot(m_2/(m_1+m_2))$ \hspace{3mm}
E) $L\cdot(m_1/(m_1+m_2))^2$ \\

$d)$ Hva er forholdet mellom mekanisk energi etter og f{\o}r denne fullstendig uelastiske kollisjonen? \\

A) $m_1/(m_1+m_2)$ \hspace{3mm}
B) $m_2/(m_1+m_2)$ \hspace{3mm}
C) $(m_2/(m_1+m_2))^2$ \hspace{3mm}
D) $m_1/m_2$ \hspace{3mm}
E) $m_2/m_1$ \\

Anta heretter at kollisjonen er elastisk. \\

$e)$ Hva er hastigheten til kule 2 like etter kollisjonen. \\

A) $v_1$ \hspace{3mm}
B) $v_1 \cdot 2m_1/(m_1+m_2)$ \hspace{3mm}
C) $v_1 \cdot m_1/(m_1+m_2)$ \hspace{3mm}
D) $v_1 \cdot 2m_2/(m_1+m_2)$ \hspace{3mm}
E) $v_1 \cdot m_1/m_2$ \\

$f)$ Hva m{\aa} masseforholdet $m_1/m_2$ minst v{\ae}re for at kule 2 etter st{\o}tet skal svinge helt rundt,
dvs n{\aa} topp-punktet med stram snor? \\

A) $6$ \hspace{3mm}
B) $5/3$ \hspace{3mm}
C) $\sqrt{5}/\sqrt{8}$ \hspace{3mm}
D) $\sqrt{8}/(\sqrt{8}-\sqrt{5})$ \hspace{3mm}
E) $\sqrt{5}/(\sqrt{8}-\sqrt{5})$ \\


%\vspace{5mm}
\newpage
{\bf Oppgave 2: Fullstendig uelastisk kollisjon} \\

\vspace{0.4cm}
\begin{minipage}{0.45\textwidth}
%%FIGURE
\vspace{0.2cm}
\centerline{\epsfxsize=1.5in \epsfbox{uelastisk_kollisjon.eps}}
\vspace{0.2cm}
%%END FIGURE
\end{minipage}
\hfill
\begin{minipage}{0.50\textwidth}
En kloss med masse $2m$ kolliderer fullstendig uelastisk med en kloss med masse
$3m$. F{\o}r kollisjonen har klossen med masse $2m$ hastighet $v_0$ mens klossen
med masse $3m$ ligger i ro. Etter kollisjonen har klossene felles hastighet $v$.
Hvor mye mekanisk energi har g{\aa}tt tapt i kollisjonen?
\end{minipage}

\vspace{0.5cm}

A) \hspace{0.1cm} $mv_0^2/3$ \hspace{5mm}
B) \hspace{0.1cm} $2mv_0^2/5$ \hspace{5mm}
C) \hspace{0.1cm} $3mv_0^2/5$ \hspace{5mm}
D) \hspace{0.1cm} $mv_0^2$ \hspace{5mm}
E) \hspace{0.1cm} $4mv_0^2/5$

\vspace{1.5cm}

{\bf Oppgave 3: Tyngdepunkt} \\

\begin{minipage}{0.25\textwidth}
%%FIGURE
\vspace{0.2cm}
\centerline{\epsfxsize=1.7in \epsfbox{sirkelsektor.eps}}
\vspace{0.2cm}
%%END FIGURE
\end{minipage}
\hfill
\begin{minipage}{0.70\textwidth}
$a)$ En tynn, jevntykk b{\o}yle er en del av en sirkel og har sektorvinkel $2\alpha$, som vist i figuren.
Sirkelradien er $R$. Vis at tyngdepunktet er
$$X = R \, \frac{\sin\alpha}{\alpha}.$$
Hva blir resultatet for $\alpha=\pi$ og $\alpha \rightarrow 0$? Er svarene rimelige?
\end{minipage}

\vspace{6mm}
$b)$ B{\o}ylen erstattes av en sirkelsektor (dvs ei tynn, jevntykk skive) 
med samme {\aa}pningsvinkel $2\alpha$ og radius $R$. Vis at tyngdepunktet er
$$X = \frac{2}{3}R \, \frac{\sin\alpha}{\alpha}.$$
Hva blir resultatet for $\alpha=\pi$ og $\alpha \rightarrow 0$?  Er svarene rimelige? \\

\end{document}
