<html><head><meta name="color-scheme" content="light dark"></head><body><pre style="word-wrap: break-word; white-space: pre-wrap;">\documentclass[11pt]{article}
\usepackage{epsfig}
\usepackage[norsk]{babel}
\topmargin=-1.0cm
\oddsidemargin=-1.0cm
\evensidemargin=-1.0cm
\textheight=24cm
\textwidth=18cm
\setlength{\parindent}{0cm}

\begin{document}
\newcommand{\bold}[1]{\mbox{\boldmath $#1$}}
\def\dbar{{\mathchar'26\mkern-12mu d}}

\begin{center}
\begin{bf}
FY1005/TFY4165 Termisk fysikk. Institutt for fysikk, NTNU. V{\aa}ren 2013.
\end{bf}

Veiledning: 5.\ og 8.\ april. Innleveringsfrist: Onsdag 10.\ april kl 14.

\vspace{0.3cm}

\begin{large}
{\O}ving 10
\end{large}
\end{center}

\vspace{0.2cm}
{\bf Oppgave 1} \\

\noindent
$a)$ Vis at differansen $C_p-C_V$ for ett mol av en van der Waals gass med tilstandsligning
$$p=\frac{RT}{V-b}-\frac{a}{V^2}$$
er gitt ved
$$C_p-C_V=\frac{R}{1-\frac{2a(V-b)^2}{RTV^3}}.$$
Hva blir $C_p-C_V$ p{\aa} kritisk punkt? \\

Tips: Benytt resultatet for $C_p-C_V$ utledet i forelesningene (kap 4.5),
inklusive relasjonen mellom deriverte ved syklisk ombytte av variable. \\

$b)$ For temperaturer $T$ under kritisk temperatur $T_c$ gir van der Waals tilstandsligning,
$$p(V) = \frac{RT}{V-b} - \frac{a}{V^2},$$
koeksistens mellom v{\ae}ske og gass for en bestemt verdi av trykket, $p_{co}$, det s{\aa}kalte
koeksistenstrykket. Vi g{\aa}r ikke inn p{\aa} begrunnelsen her, men det kan vises at
$p_{co}$ fastlegges ved hjelp av Maxwells regel om like arealer, dvs like stort gult (lyst)
som bl{\aa}tt (m{\o}rkt) areal i figuren under, alternativt den ekvivalente betingelsen
$$p_{co} \cdot \left( V_g - V_v \right) = \int_{V_v}^{V_g} p(V)\,dV,$$
der $V_v$ og $V_g$ er hhv molart v{\ae}ske- og gassvolum.

%%FIGURE
\vspace{0.3cm}
\centerline{\epsfxsize=3.6in \epsfbox{like_arealer.eps}}
\vspace{0.3cm}
%%END FIGURE

\noindent
Bruk verdiene $a = 1.368$ bar $($m$^3$/kmol$)^2$ og $b = 0.0367$ (m$^3$/kmol) for luft 
(jf {\o}ving 1), samt gasskonstanten $R = 8.314$ J/mol\,K. Kritisk temperatur for luft
er med disse parametrene og van der Waals tilstandsligning omtrent 133 K. (Sjekk dette,
$T_c = 8a/27kb$.) \\

\noindent
Oppgave: Bruk Maxwells regel om like arealer til {\aa} fastlegge
koeksistenstrykket $p_{co}$, med en n{\o}yaktighet p{\aa} 1 mbar, ved en gitt temperatur $T = 123$ K.
Du kan ta utgangspunkt i Matlab-programmet i {\o}ving 1, der van der Waals isotermen for (blant annet)
denne temperaturen ble plottet i andre del av oppgave 4. \\

\noindent
En enkel algoritme for {\aa} l{\o}se dette problemet numerisk kan se omtrent slik ut:
\begin{itemize}
\item 
Basert p{\aa} isotermen $p(V)$, gjett en verdi for v{\ae}skevolumet $V_v$.
\item 
Bestem tilh{\o}rende trykkverdi $p(V_v)$.
\item 
Bestem tilsvarende gassvolum $V_g$, dvs slik at $p(V_g) = p(V_v)$
\item 
Bestem
$$\int_{V_v}^{V_g} p(V)\,dV$$
numerisk og sammenlign med arealet $p(V_v) \cdot (V_g-V_v)$.
\item 
Gjett en ny verdi for $V_v$ og gjenta prosedyren inntil $p_{co}$ er bestemt med
den {\o}nskede n{\o}yaktighet.
\end{itemize} 

\noindent
En innledende del til programmet er tatt med nedenfor, inkludert noen tips for den videre
programmeringen: 

\begin{verbatim}
%%FY1005/TFY4165, Oving 10, innledende del (hentet fra oving 1).
%%
%%Velg utskrift av tallverdier med flere gjeldende siffer enn det som er standard
format long;
%%Temperatur i Kelvin
T=123;
%%V = molart volum (L/mol)
Vmin=0.05;
Vmax=0.50;
NV=500;
%%V = vektor med verdier mellom Vmin og Vmax, i alt NV verdier
V=linspace(Vmin,Vmax,NV);
%%Verdier for a og b for luft: 1.368  0.0367
%%Enheter: [a] = bar*(L/mol)^2 og [b] = L/mol
R=8.134;
a=1.368;
b=0.0367;
%%van der Waals tilstandsligning
p = (R*T./(V-b))/100 - a./(V.*V);
%%Plott av isotermen
fig = plot(V,p);
axis([0 Vmax 0 70]);
%%Tekst paa figuren
title('Isoterm: van der Waals gass','fontsize',18);
xlabel('Molart volum (L/mol)','fontsize',18);
ylabel('Trykk (bar)','fontsize',18);
%%Tegn alle kurver i en og samme figur, saa vi kan sammenligne.
hold on;

%%HERFRA maa du selv skrive matlab-koden, men du faar noen tips:
%%Elementer som maa eller boer inngaa, inklusive eksempler:
%%
%%A Innlesing av gjetning paa vaeskevolumet V1:
%%
%%Eksempel som ber om innlesing av tallverdi for stoerrelsen x1:
%%x1 = input('Les inn tallverdi for x1:  ')
%%
%%B Bestem trykkverdi P1 som tilsvarer volumet V1:
%%
%%Eksempel som bestemmer y1 = x1 - x1^3:
%%y1 = x1 - x1^3;
%%
%%C Bestem tilsvarende gassvolum V2. Tips: Velg en startverdi V_stor som
%%ut fra kurven p(V) helt sikkert er stoerre enn V2, reduser V_stor
%%med en passende skrittlengde dV, og bruk en while (...) ... end loekke
%%til aa lokalisere V2 slik at P2 = p(V2) er (omtrent) lik P1.
%%
%%Eksempel som lokaliserer x2 slik at y2 = x2 - x2^3 er (omtrent) lik 
%%y1 = x1 - x1^3 med verdien av x1 et sted mellom -1.15 og -0.58 (valgt
%%slik at vi faktisk har en loesning y2 = y1):
%%x_stor = 1.5;
%%dx = 0.1; %%skrittlengde
%%y_find = x_stor - x_stor^3;
%%while (y_find &lt; y1)
%%      x_stor = x_stor - dx;
%%      y_find = x_stor - x_stor^3;
%%end;
%%x2 = x_stor;
%%y2 = y_find;
%%
%%D Integrer p(V) numerisk fra V1 til V2, og sammenlign med P1*(V2-V1), 
%%dvs. arealet under den horisontale linjen.
%%
%%Eksempel som integrerer funksjonen 
%%y = x - x^3 fra x1 til x2 med saakalt adaptiv Simpson-kvadratur, og
%%regner ut forskjellen mellom integralet I og arealet y1*(x2-x1) under
%%den horisontale linjen:
%%y = @(x) (x - x^3); 
%%I = quad(y, x1, x2);
%%avvik = I - y1*(x2-x1);
%%
%%E Tegn inn linjen mellom (P1,V1) og (P2,V2). Skriv ut beregnede stoerrelser.
%%
%%Eksempel:
%%plot([x1,x2],[y1,y2]);
%%disp('x1,x2: ')
%%disp(x1)
%%disp(x2)
%%disp('y1,y2: ')
%%disp(y1)
%%disp(y2)
%%disp('Avvik mellom areal under kurve og rektangel: ')
%%disp(avvik)
%%
%%Endre x1, og eventuelt ogsaa x_stor og dx, og kjoer paa nytt, 
%%for aa oppnaa et mindre avvik.
\end{verbatim}

\vspace{0.5cm}
\noindent
Et par kommentarer, samt tips til videre arbeid:
\begin{itemize}
\item
Merk at skrittlengden $dV$ setter en begrensning p{\aa} hvor n{\o}yaktig koeksistenstrykket
$p_{co}$ kan bestemmes.
\item
Merk at fortegnet p{\aa} avviket mellom arealet under kurven $p(V)$ og rektanglet kan brukes 
til {\aa} avgj{\o}re om gjetningen p{\aa} $V_v$ skal justeres opp eller ned.
\item
Den iterative prosessen for lokalisering av $V_v$, og dermed $p_{co}$, kan gj{\o}res
manuelt eller automatisk. I algoritmen og eksemplet ovenfor er det skissert en manuell
l{\o}sning, der programmet simpelthen kj{\o}res p{\aa} nytt og ny verdi for $V1$ leses inn
fra ''kommandolinjen''.
\item
{\em Utfordring}: Bestem $dp/dT$ numerisk og sammenlign med Clausius-Clapeyrons ligning.
\end{itemize}


\vspace{1cm}
{\bf Oppgave 2} \\

$a)$ To enatomige gasser, neon og argon, blandes i forholdet 2:1 og er i termisk likevekt ved
temperaturen $T$. Forholdet mellom gassenes molare masser er (ca) 1:2. Hvis midlere kinetiske
energi pr neonatom er $U$, er midlere kinetiske energi pr argonatom 

A) $U$ \hspace{1cm} B) $U/2$ \hspace{1cm} C) $2U$ \hspace{1cm} D) $U/4$ \\

$b)$ En Carnot-varmepumpe brukes til {\aa} overf{\o}re varme fra utvendig luft ved fem kuldegrader
til innvendig luft ved 20 varmegrader. Hvor mye effekt m{\aa} varmepumpa levere for at overf{\o}rt
varme skal tilsvare 2.0 kW?

A) $23$ kW \hspace{1cm} B) $2.0$ kW \hspace{1cm} C) $1.8$ kW \hspace{1cm} D) $0.17$ kW \\

$c)$ Hvis trykket er lavere enn ved trippelpunktet, kan et stoff eksistere som

A) gass og v{\ae}ske, men ikke fast stoff  \hspace{1cm} B) gass og fast stoff, men ikke v{\ae}ske

C) v{\ae}ske og fast stoff, men ikke gass  \hspace{1cm} D) gass, v{\ae}ske og fast stoff \\

$d)$ En ideell gass kan ekspandere isotermt eller adiabatisk og utf{\o}re arbeid, hhv $W_i$ eller $W_a$. Da er

A) $W_i = W_a$ \hspace{1cm} B) $W_i &lt; W_a$ \hspace{1cm} C) $W_i &gt; W_a$ \hspace{1cm} D) svaret avhengig av temperaturen. \\

$e)$ En ideell gass tilf{\o}res 30 J varme ved konstant trykk. Da vil gassens indre energi

A) forbli uendret \hspace{1cm} B) {\o}ke med 30 J  

C) {\o}ke med mer enn 30 J \hspace{1cm} D) {\o}ke med mindre enn 30 J \\

$f)$ To ulike system med ideell gass har lik temperatur. Molekylene i system 1 har st{\o}rre masse enn molekylene
i system 2. Hvilken p{\aa}stand om molekylenes rms-hastighet ($v_{\rm rms} = \sqrt{\langle v^2 \rangle}$) og
midlere kinetiske energi $E_k$ er korrekt?

A) $v_{\rm rms}$ og $E_k$ er like i de to systemene

B) $v_{\rm rms}$ og $E_k$ er begge st{\o}rst i system 2

C) $v_{\rm rms}$ er st{\o}rst i system 2, $E_k$ er lik i de to systemene

D) $v_{\rm rms}$ er st{\o}rst i system 2, $E_k$ er st{\o}rst i system 1 \\



\end{document}
</pre></body></html>